一道数列问题的解法探讨(数学论文)

一道数列问题的解法探讨一道数列问题的解法探讨 问题问题 已知等差数列和等比数列 其中 n a n b 11 ba 22 ba 试判断 时 与的大小关系 并给出证明 0 1 a 2 an3 n a n b 分析一分析一 先通过特例探索结论的大致方向 即通过 比较与4 3 n n a 的大小 设数列的公差为 数列的公比为 由 n b n ad n bq 11 ba 得 即 22 ba qada 11 1 1 qad0 1 a 2 ad0 即q1 2212 2 11 2 133 qqadaqaab 2 1 1 qa0 即 3 b 3 a 213 2 11 3 144 qqadaqaab0 4 b 4 a 可猜想当 时 证明如下 n3 n b n a dnaqaab n nn 1 1 1 1 111 1 1 qnqa n 111 32 1 nqqqqa nn 1111 32 1 qqqqa nn 2321 43 2 1 nqnqqqa nn 0 即 n b n a 说明 在这里 特例不仅为我们探明了结论 更为我们 探出了解决问题的思路 分析二分析二 利用分析法证明 要证当时 成立 只需证明3 n n b n a 成立 而 故只需证明 1 1 n qa dna1 1 1 1 qad 成立 由于 1 1 1 n qa 11 1 qna 1 a0 即证 1 1 n q 11 qn 即证 11 32 qqqq nn 11 qn 而 故只需证明1 q0 32nn qq1 q 1 n 由于 故当 时 q1n3 2 n q1 3 n q1q111 左右分别相加 即得 式 所以 当 时 有 n3 n b n a 分析三分析三 利用数学归纳法 当时 易证 13 n 3 b 3 a 假设当时 即 2kn k b k a 1 1 k qb dka1 1 那么 当时 1 kn 1 111 kk k qbqqbb dkaq1 1 dkqqa1 1 dkqda1 1 dkda1 1 因为 1 1 11 n adkadaqa 11 q1 所以 当时 1 kn 1 k b 1 k a 根据 对任意正整数 都有 21n3 n b n a 分析四分析四 由数形结合探明结论 在同一坐标系中 作出过 11 1 aP 两点的直线和指数曲线 借助该图 容易看出 当 22 2 aPn 时 并且在区间 上 两点 3 n b n a nn 1 n3 11 1 nn bnP 连线的斜率恒大于两点 连线的斜率 nn bnP 11 1 nn anP nn anP 故得下面的解法 当 时 n3 1 nn aa 1 1 qad0 1 nn bb 1 1 n qa 2 1 n qa 1 2 1 qqa n 0 故 可得 2 1 2 1 1 1 1 1 n n nn nn q qa qqa aa bb 1 1 nn bb 1 nn aan3 对 赋值 可得 n 23 bb 23 aa 34 bb 34 aa 45 bb 45 aa 1 nn bb 1 nn aa 左右分别相加 得 2 bbn 2 aan 又 22 ba n b n a 分析五分析五 借助二项式定理进行放缩 由 得 所以 当时 qada 11 1 1 a d q 3 n n b 1 1 n qa 1 1 1 1 n a d a 1 1 1 1 1 a d Can 1 1 1 1 1 a d Can 1 1n adna 说明 若写成也可用二项式定理证明 11 1 1 n n qab 分析六分析六 考虑反证法 先猜想结论 当 时 n3 n b n a 下用反证法证明 若不然 则存在 使得 3 0 n 00 nn ab 易验证 不妨设是使 成立的最小 3 b 3 a 4 b 4 a 0 n nn ab 3 n 正整数 由于 故有 11 ba 22 ba 00 11nn aabb 00 22nn aabb 若为奇数 则为偶数 设 显然 0 n1 0 n1 0 n 2m m 0 n 由于均为正数 故 由 式 0 1n bb 0 1n bb 0 1 2 n bb m b2 mn aaa2 0 1 可得 即 由于 这与是使 的最小正整 mm ab22 mm ab m 0 n 0 n nn ab 3 n 数矛盾 若为偶数 由 式 同理可推得矛盾 0 n 这说明假设不成立 故当 时 n3