中学数学运动问题

中考数学中考数学 运动型问题运动型问题 浅析浅析 中考数学中考数学 运动型问题运动型问题 浅析浅析 内容摘要 运动型问题是近年来中考的一个热点问题 解这类题目要 以静制动 即把动态问题 变为静态问题来解 一般方法是抓住变化中的 不变量 以不变应万 变 关键词 点线面运动型问题 不变应万变 数形结合 分类讨论 正文 运动型问题是近年来中考的一个热点问题 这类题型能较全面地考查学生的数学 思想和综合应用能力 是历年各地中考的压轴首选题 解这类题目要 以静制动 即把动态问题 变为静态问题来解 一般方法是抓 住变化中的 不变量 以不变应万变 首先根据题意理清题目中两个变量 x y 的变 化情况并找出相关常量 其次按照图形中的几何性质及相互关系 找出一个基本关系 式 把相关的量用一个自变量的表达式表达出来 然后再根据题目的要求 依据几何 代数知识解出 最后确定自变量的取值范围 画出相应的图象 一 一 点点 运动型问题运动型问题 点 运动型问题就是在三角形 四边形 圆形等一些几何图形上 设计一个或两 个动点 点的运动引起一些图形形状变化的问题 其变化过程中伴随着等量关系 变 量关系 图形的特殊状态 图形间的特殊关系等 这类问题起点不高 但考查较全面 常常集几何 代数于一体 主要体现数形结合或分类讨论 有较强的综合性 1 1 例题剖析 例题剖析 在正方形 ABCD 中 AB 1 弧 AC 是以点 B 为圆心 AB 长为半径的圆的一段 点 E 是边 AD 上的任意一点 点 E 与点 A D 不重合 过 E 作弧 AC 所在圆的切线 交边 DC 于点 F G 为切点 1 当时 求证 G 为线段 EF 的中点 0 45DEF 2 设 AE x FC y 求 y 关于 x 的函数解析式 并写出函数定义域 3 将 DEF 沿直线 EF 翻折后得 D1EF 如图 11 当时 讨论与 6 5 EF DAD1 是否相似 如果相似 请加以证明 如果不相似 只要求写出结论 不FED1 要求写出理由 本题综合运用了正方形 等腰三角形 圆的切线 全等三角形的性质和勾股定理 切线长定理以及相似三角形的判定等 考查了数形结合思想 图形运动思想 方程思 想 字母表示数以及分类思想 解 1 证明 DEF 450 得 DFE 900 DEF 450 DFE DEF DE DF AD DC AE FC 因为 AB 是圆 B 的半径 AD AB 所以 AD 切圆 B 于点 A 同理 CD 切圆 B 于点 C 又因为 EF 切圆 B 于点 G 所以 AE EG FC FG 因此 EG FG 即 G 为线段 EF 的中点 2 AE EG x FC FG y ED 1 x FD 1 y 在 Rt DEF 中 由 ED2 FD2 EF2 得 1 x 2 1 y 2 x y 2 10 1 1 x x x y 3 当时 由 2 得 EF EG FG AE FC 得 6 5 EF x x x 1 1 6 5 2 1 3 1 21 xx 即或 当时 证明 设直线 EF 交线段 DD1于 3 1 AE 2 1 AE 2 1 AEDAD1 FED1 点 H 又 EF DD1且 DH D1H FDEEDF 11 得 AE ED EH AD1 D1AD FED FED1 2 1 AE1 AE AD1D EHD 900 又 ED1F EDF 900 ED1F AD1D DAD1 FED1 当时 与不相似 3 1 AEDAD1 FED1 2 2 拓展练习 拓展练习 直角坐标系中 点 A 的坐标为 1 0 以线段 OA 为边在第四象限内作等边 AOB 点 C 为 x 正半轴上一动点 OC 1 连结 BC 以线段 BC 为边在第四象限内作等边 CBD 直线 DA 交 y 轴于点 E 1 OBC 与 ABD 全等吗 判断并证明你的结论 2 随着点 C 位置的变化 点 E 的位置是否 会发生变化 若没有变化 求出点 E 的坐标 若有变化 请说明理由 二 二 线线 运动型问题运动型问题 从运动变化角度来看 线 运动型问题 的设计有一定的难度 易出现的错误在于不能准确把握运动过程中直线运动的可能位 置而导致结果可能的变化 解题时需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形 把握 直线运动与变化的全过程 抓住其中的等量关系和变量关系 并特别关注一些不变量 x y E O B C D A 不变关系或特殊关系 虽然试题大多属于静态的知识和方法 但是这些试题中常渗透 着运动与变化的思想方法 需要用运动和变化的观点去研究和解决 1 1 例题剖析 例题剖析 已知 如图 矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上 AB 的中点与原点重合 AB 2 AD 1 定点 Q 的坐标为 0 2 动点 P 在 x 轴上移动 若过点 P Q 两点的直线与矩形 ABCD 的边 有公共点 则动点 P 的横坐标 a 的取值范围是多少 解析 分别连接点 Q 与 D C 两点 求直线 QD QC 与 x 轴的交点坐标 即可求得 2 a 2 2 2 拓展练习 拓展练习 图 1 是用钢丝制作的一个几何探究工具 其中 ABC 内接于 G AB 是 G 的直径 AB 6 AC 3 现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中 如图 2 然后点 A 在 射线 OX 上由点 O 开始向右滑动 点 B 在射线 OY 上也随之向点 O 滑动 如图 3 当点 B 滑动至与点 O 重合时运动结束 试说明在运动过程中 原点 O 始终在 G 上 设点 C 的坐标为 试探求与 之间的函数关系式 并写出自变量 的取xyyxx 值范围 在整个运动过程中 点 C 运动的路程是多少 三 三 面面 运动型问题运动型问题 解答 面 运动型问题的关键在于弄清图形运动过程中的几个分界点 再结合有 P x y BA C D Q O 关性质定理及判定定理或公式进行求解 初中数学的面运动有平移 翻折和旋转 图 形变换是一种重要的思想方法 它是一种以变化的 运动的观点来处理孤立的 离散 的问题的思想 很好地领会这种解题的思想实质 并能准确合理地使用 在解题中会 收到奇效 也将有效地提高思维品质 在解题中我们要通过实验 操作 观察和想象 的方法掌握运动的本质 在面 图形 的运动中找到不变量 然后解决问题 1 1 例题剖析 例题剖析 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 B 45 AE 为 BC 边上的高 将 ABE 沿 AE 所在 直线翻折后得 AB E 那么 AB E 与四边形 AECD 重叠部分的面积是 本题考查了图形的翻折问题 既考查了轴对称的有关概念和性质 又考查了对图 形运动变化的理解能力和空间想象力 解题思路 这类题体现了运动变化的过程 如果图形不能打开思路之门 不妨动 手折折试试 如图 我们知道平面图形经过翻折运动后所得的图形与原图形是全等 形 那么 BAE EAF DAF 则我们可以证明 ABE ADG S ABE S ADG 22 2 1 1 又因为 S菱形 2 所以 AB E 与四边形 AECD 重叠部分222 的面积 四边形 AECG 的面积 222 2 2 拓展练习 拓展练习 在 Rt ABC 中 A B CM 是斜边 AB 上的中线 将 ACM 沿直线 CM 折叠 点 A 落在点 D 处 如果 CD 恰好与 AB 垂直 那么 A 等于 度 考查目标 本题考