上海交通大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：导数及其应用

上海交通大学附中上海交通大学附中 20132013 届高三数学一轮复习单元训练 导数及其应用届高三数学一轮复习单元训练 导数及其应用 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 满分 150 分 考试时间 120 分钟 第 卷 选择题 共 60 分 一 选择题一 选择题 本大题共 12 个小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项 是符合题目要求的 1 曲线xey x 2 在点 1 0 A处的切线方程为 A 013 yxB 013 yx C 013 yxD 013 yx 答案 A 2 已知函数 5 sin xxf 根据函数的性质 积分的性质和积分的几何意义 探求 2 2 dxxf的值 结果是 A 6 1 2 B C 1D 0 答案 D 3 曲线 3 sin 0 2 yxx 与两坐标轴所围成图形的面积为 A 1B 2C 5 2 D 3 答案 A 4 由直线1x x 2 曲线sinyx 及 x 轴所围图形的面积为 A B sin2sin1 C sin1 2cos1 1 D 2 1cos12cos 1 答案 D 5 如果 10N 的力能使弹簧压缩 10cm 为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处 则克服弹力所做的功为 A 0 28JB 0 12JC 0 26JD 0 18J 答案 D 6 2 2 1 cos x dx 等于 A B 2C 2 D 2 答案 D 7 函数 2 4f xx 的导函数是 A 2fxx B 4fxx C 8fxx D 16fxx 答案 C 8 函数 f x满足 0 0f 其导函数 fx的图象如下图 则 f x的图象与x轴所围成的封 闭图形的面积为 A 3 1 B 3 4 C 2D 3 8 答案 B 9 如图曲线 2 xy 和直线 4 1 1 0 yxx所围成的图形 阴影部分 的面积为 A B C D 答案 D 10 在函数 xxy8 3 的图象上 其切线的倾斜角小于4 的点中 坐标为整数的点的个数是 A 3B 2C 1D 0 答案 D 11 曲线 3 11y x 在点 P 1 12 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 A 9B 3C 9D 15 答案 C 12 xxfsin 在0 x和 2 x两处的瞬时变化率为 21 kk 和 则 21 kk 为 A 1B 1C 0D 无法确定 答案 B 第 卷 非选择题 共 90 分 二 填空题二 填空题 本大题共 4 个小题 每小题 5 分 共 20 分 把正确答案填在题中横线上 13 正弦曲线 y sinx 与余弦曲线 y cosx 及直线 x 0 和直线 x 所围成区域的面积为 答案 2 21 14 一物体沿直线以 23 v ttt 的单位 秒 v 的单位 米 秒 的速度做变速直线运动 则 该物体从时刻 t 0 到 5 秒运动的路程 s 为 米 答案 29 2 15 若 x exf 1 则 0 12 1 lim t ftf t 答案 e 2 或 1 2 e 16 若直线yax a为实常数 与函数 x exf e为自然对数的底数 的图象相切 则切 点坐标为 答案 1 e 三 解答题三 解答题 本大题共 6 个小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知函数 f x x3 3ax a R 1 当 a l 时 求 f x 的极小值 2 若直线 x y m 0 对任意的 m R 都不是曲线 y f x 的切线 求 a 的取值范围 3 设 g x f x x l 1 求 g x 的最大值 F a 的解析式 答案 1 当 a 1 时 2 33fxx 令 fx 0 得 x 0 或 x 1 当 0 1x 时 0fx 当 01 x 时 0fx f x在 0 1上单调递减 在 01 上单调递增 f x的极小值为 1f 2 2 2 33fxxa 3a 要使直线xym 0 对任意的mR 总不是曲线y f x的切线 当且仅当 1 3a 1 3 a 3 因 3 3g xf xxax 在 1 1 上为偶函数 故只求在 0 1 上最大值 当0a 时 fx 0 f x在 0 1上单调递增且 00f g xf xf x 113F afa 当0a 时 2 333fxxaxaxa i 当1a 即1a 时 g xf xf x f x 在 0 1上单调递增 此时 131F afa ii 当01a 即01a 时 g xf x 在0 a 上单调递减 在 1a 上单调递 增 10 当 1130fa 即 1 1 3 a 时 g xf xf x 在0 a 上单调递增 在 1a 上单调递减 故 2F afaa a 20当 1130fa 即 1 0 3 a 时 当 113fafa 即 1 0 4 a 时 113F afa 当 113fafa 即 11 43 a 时 2F afaa a 综上 1 13 4 1 2 1 4 31 1 aa F aaaa a 18 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器 如图 已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为 0 45 容器的高为cm10 制作该容器需要多少面积的铁皮 该容器的容积又是多少 衔接部分忽略 不计 结果精确到 2 1 0 cm 答案 用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器 如图 已知该圆锥的母线与底面所在平面的夹角为 0 45 容器的高为cm10 制作该容器需要多少面积的铁皮 该容器的容积又是多少 衔接部分忽 略不计 结果精确到 2 1 0 cm 19 若函数 f x ax3 bx 4 当 x 2 时 函数 f x 有极值 4 3 1 求函数 f x 的解析式 2 若函数 g x f x k 有三个零点 求实数 k 的取值范围 答案 1 由题意可知 f x 3ax2 b 于是Error 解得Error 故所求的解析式为 f x x3 4x 4 1 3 2 由 1 可知 f x x2 4 x 2 x 2 令 f x 0 得 x 2 或 x 2 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表所示 因此 当 x 2 时 f x 有极大值 当 x 2 时 f x 有极小值 图 略 28 3 4 3 故要使 g x f x k 有三个零点 实数 k 的取值范围是 k 4 3 28 3 20 已知函数 2 0 22 mxm f xm x 1 若 ln1f xxm 在 1 上恒成立 求 m 取值范围 2 证明 2 ln2 3 ln3 n lnn 32 235 12 nnn n N 答案 令 2 ln10 22 mxm g xxm x 在 1 x 上恒成立 22 12 1 2 222 mmxmxm g x xxx 1 当 2 111 m 时 即1m 时 0g x 在 1 恒成立 g x 在其上递减 max 1 0gg 原式成立 当 2 11 m 即 0 m 1 时 max 2 1 0 1 1 0gggg m 不能恒成立 综上 1m 2 由 1 取 m 1 有 lnx 11 2 x x 2 1 ln 2 x xx 令 x n 2 1 ln 2 n nn 222 1 2ln23ln3 ln 23 1 2 nnnn 222 1 21 12 6 n nn n 化简证得原不等式成立 21 已知函数 32 25f xxaxx 1 若函数f x 在 2 3 1 上单调递减 在 1 上单调递增 求实数 a 的值 2 是否存在正整数 a 使得f x 在 1 3 1 2 上既不是单调递增函数也不是单调递减函数 若 存在 试求出 a 的值 若不存在 请说明理由 答案 1 32 25f xxaxx 在 2 3 1 上单调递减 在 1 上单调递增 f x 3x2 2ax 2 f 1 0 a 1 2 2 令 f x 3x2 2ax 2 0 a 是正整数 a 2 22 某分公司经销某种品牌产品 每件产品的成本为 3 元 并且每件产品需向总公司交 a 元 3 a 5 的管理费 预计当每件产品的售价为 x 元 9 x 11 时 一年的销售量为 12 x 2万件 1 求分公司一年的利润 L 万元 与每件产品的售价 x 的函数关系式 2 当每件产品的售价为多少元时 分公司一年的利润 L 最大 并求出 L 的最大值 Q a 本小题考查函数 导数及其应用等知识 考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 答案 分公司一年的利润L 万元 与售价x的函数关系式为 2 3 12 911 Lxaxx 2 12 2 3 12 L xxxax 12 1823 xax 令0L 得 2 6 3 xa 或12x 不合题意 舍去 35a 228 86 33 a 在 2 6 3 xa 两侧 L 的值由正变负 所以 1 当 2 869 3 a 即 9 3 2 a 时 2 max 9 93 129 9 6 LLaa 2 当 228 96 33 a 即 9 5 2 a