广东省江门市2013届高三数学第一次模拟试题 理（含解析）新人教A版

1 20132013 年广东省江门市高考数学一模试卷 理科 年广东省江门市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 4 4 分 满分分 满分 3232 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 4 分 2013 江门一模 已知函数定义域为 M g x lnx 定义域为 N 则 M N A x x 1 B x 0 x 1 C x 0 x 1 D x 0 x 1 考点 交集及其运算 专题 计算题 分析 先分别求出函数的定义域 再进行交集运算即可 解答 解 1 x 0 x 1 M 1 N 0 M N 0 1 故选 B 点评 本题考查交集及其运算 2 4 分 2013 江门一模 在复平面内 O 是原点 向量对应的复数是 2 i 其中 i 是虚数单位 如果点 A 关于实轴的对称点为点 B 则向量对应的复数是 A 2 iB 2 iC 2 iD 1 2i 考点 复数的代数表示法及其几何意义 专题 计算题 分析 先求出点 A 的坐标 再求出点 A 关于实轴的对称点为点 B 的坐标 可得向量 对应 的复数 解答 解 由题意可得点 A 的坐标为 2 1 点 A 关于实轴的对称点为点 B 2 1 则向量对应的复数是 2 i 故选 C 点评 本题主要考查复数的代数表示及其几何意义 属于基础题 3 4 分 2013 江门一模 采用系统抽样方法从 1000 人中抽取 50 人做问卷调查 为此 将他们随机编号为 1 2 1000 适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为 8 抽到的 50 人中 编号落入区间 1 400 的人做问卷 A 编号落入区间 401 750 的人做问卷 B 其余的人做问卷 C 则抽到的人中 做问卷 C 的人数为 A 12B 13C 14D 15 考点 系统抽样方法 专题 概率与统计 2 分析 由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项 以 20 为公差的等差数列 求得此等差数列 的通项公式为 an 由 751 an 1000 求得正整数 n 的个数 即为所求 解答 解 由 1000 50 20 故由题意可得抽到的号码构成以 8 为首项 以 20 为公差的等 差数列 且此等差数列的通项公式为 an 8 n 1 20 20n 12 由 751 20n 12 1000 解得 38 2 n 50 6 再由 n 为正整数可得 39 n 50 且 n Z 故做问卷 C 的人数为 12 故选 A 点评 本题主要考查等差数列的通项公式 系统抽样的定义和方法 属于基础题 4 4 分 2013 江门一模 如图是某个四面体的三视图 该四面体的体积为 A 72B 36C 24D 12 考点 由三视图求面积 体积 专题 计算题 分析 通过三视图 判断几何体的形状 利用三视图的数据 求解几何体的体积即可 解答 解 由题意可知 几何体是三棱锥 底面三角形的一边长为 6 底面三角形的高为 4 棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点 棱锥的高为 3 所以几何体的体积 12 故选 D 点评 本题考查三视图视图能力与几何体的判断 几何体的体积的求法 考查计算能力 5 4 分 2013 江门一模 在 ABC 中 若 则 AC 3 A B C D 考点 正弦定理 专题 解三角形 分析 由已知可先求出 C 然后由正弦定理得 代入即可求解 解答 解 C 则由正弦定理可得 AC 4 故选 D 点评 本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的简单应用 属于基础试题 6 4 分 2013 江门一模 若 x 0 y 0 则 x y 1 是 x2 y2 1 的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 考点 必要条件 充分条件与充要条件的判断 专题 计算题 函数的性质及应用 分析 取特殊值得到反例 从而说明充分性不成立 利用不等式的性质加以证明 可得必 要性成立 由此即可得到本题的答案 解答 解 先看充分性 可取 x y 使 x y 1 成立 而 x2 y2 1 不能成立 故充分性不能成立 若 x2 y2 1 因为 x 0 y 0 所以 x y 2 x2 y2 2xy x2 y2 1 x y 1 成立 故必要性成立 综上所述 x y 1 是 x2 y2 1 的必要非充分条件 故选 B 点评 本题给出两个关于 x y 的不等式 求它们之间的充分必要关系 着重考查了不等式 的基本性质和充分必要条件的证明等知识 属于基础题 4 7 4 分 2013 江门一模 已知 x y 满足 x2 y2 4 则 z 3x 4y 5 的取值范围是 A 5 15 B 10 10 C 2 2 D 0 3 考点 二次函数的性质 函数的值域 两角和与差的正弦函数 正弦函数的定义域和值 域 专题 函数的性质及应用 分析 把 z 3x 4y 5 变为直线 3x 4y 5 z 0 本题要求直线和圆 x2 y2 4 有交点 根据 圆心到直线的距离小于或等于半径 求得 z 的范围 解答 解 z 3x 4y 5 即直线 3x 4y 5 z 0 由题意可得直线和圆 x2 y2 4 有交点 故有 2 化简可得 10 z 5 10 解得 5 z 15 故选 A 点评 此题考查了直线与圆的位置关系 涉及的知识有 点到直线的距离公式 待定系数 法求直线的解析式 利用了数形结合及转化的思想 若直线与圆相切时 圆心到直 线的距离等于圆的半径 熟练掌握此性质是解本题的关键 属于基础题 8 4 分 2013 江门一模 设 f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数 当 x 0 1 时 f x x 2x2 则 f x 在区间 0 2013 内零点的个数为 A 2013B 2014C 3020D 3024 考点 根的存在性及根的个数判断 奇偶性与单调性的综合 专题 函数的性质及应用 分析 由题意可求得函数是一个周期函数 且周期为 2 故可以研究出一个周期上的函数图 象 再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数 解答 解 f x 是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数 又 x 0 1 时 f x x 2x2 要研究函数 y f x 在区间 0 2013 零点个数 可将问题转化为 y f x 与 x 轴 在区间 0 2013 有几个交点 如图 5 由图知 f x 在区间 0 2013 内零点分别是 共有 2013 个零点 故选 A 点评 本题考查函数的零点 求解本题 关键是研究出函数 f x 性质 作出其图象 将 函数 y f x 在区间 0 2013 的零点个数的问题转化为交点个数问题是本题中的一 个亮点 此一转化使得本题的求解变得较容易 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 7 7 小题 考生作答小题 考生作答 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 满分分 满分 3535 分 分 9 5 分 2013 江门一模 已知数列 an 的首项 a1 1 若 n N an an 1 2 则 an 考点 数列递推式 专题 等差数列与等比数列 分析 由给出的递推式 取 n n 1 得另一个式子 两式作比后可得 n N 由此可得数列的所有奇数项构成常数列 所有偶数项构成常数列 则数列的通项公 式可求 解答 解 数列 an 中 由 an an 1 2 得 an 1 an 2 2 得 n N 数列 an 的奇数项和偶数项分别构成以 1 为公比的等比数列 由 a1 1 且 an an 1 2 得 数列 an 的通项公式为 故答案为 点评 本题考查了数列的递推式 考查了由递推式求数列的通项公式 由数列的递推式求 通项公式时 替换 n 的取值 由已知递推式得另一递推式 然后两式联立是求解该 类问题常用的方法 此题是中档题 10 5 分 2013 江门一模 执行程序框图 如果输入 a 4 那么输出 n 4 6 考点 程序框图 专题 图表型 分析 通过程序框图 按照框图中的要求将几次的循环结果写出 得到输出的结果 解答 解 如果输入的 a 是 4 那么 经过第一次循环得到 p 14 q 4 n 2 经过第二次循环得到 p 18 q 16 n 3 经过第三次循环得到 p 22 q 64 n 4 此时不满足 p q 执行输出 n 4 故答案为 4 点评 本题考查解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时 常采用写出几次的结果找 规律 7 11 5 分 2013 江门一模 如图 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1内 含正方体表 面 任取一点 M 则的概率 p 考点 几何概型 专题 概率与统计 分析 本题是几何概型问题 欲求点 M 满足的概率 先以 A 为原点建立空间 直角坐标系 由数量积公式得出点 M 到平面 ABCD 的距离大于等于 点 M 的轨迹是 正方体的 求出其体积 再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法求解即 可 解答 解 本题是几何概型问题 正方体的体积为 V 8 以 A 为原点建立空间直角坐标系 AB 为 x 轴 AD 为 y 轴 AA1为 z 轴 那么 A 0 0 0 C1 0 0 2 设 M x y z 那么 x y z 0 2 x y z 0 0 2 则 即 2z 1 z 即点 M 与平面 ABCD 的距离大于等于 点 M 的轨迹是正方体的 其体积为 V1 则的概率 p 为 故答案为 点评 本小题主要考查几何概型 几何概型的应用 几何体的体积等基础知识 考查空间 想象能力 化归与转化思想 属于基础题 8 12 5 分 2013 江门一模 在平面直角坐标系 Oxy 中 若双曲线的焦距 为 8 则 m 3 考点 双曲线的简单性质 专题 计算题 圆锥曲线的定义 性质与方程 分析 通过双曲线的方程 判断实轴所在轴 求出 c 利用焦距求出 m 的值即可 解答 解 因为在平面直角坐标系 Oxy 中 双曲线的焦距为 8 所以 m 0 焦点在 x 轴 所以 a2 m b2 m2 4 所以 c2 m2 m 4 又双曲线的焦距为 8 所以 m2 m 4 16 即 m2 m 12 0 解得 m 3 或 m 4 舍 故答案为 3 点评 本题考查双曲线的简单性质的应用 判断双曲线的焦点所在的轴是解题的关键 法 则容易出错 13 5 分 2013 江门一模 在平面直角坐标系 Oxy 中 直线 y a a 0 与抛物线 y x2 所围成的封闭图形的面积为 则 a 2 考点 定积分 专题 计算题 分析 联立方程 先求出其交点坐标 再利用微积分基本定理定理即可得出 解答 解 由可得可得 A a B a S ax 解得 a 2 故答案为 2 9 点评 此题考查了定积分的运算 考查了数形结合的思想 利用定积分表示封闭图形的面 积是解本题的关键 14 5 分 2013 江门一模 坐标系与参数方程选做题 在极坐标系 0 2 中 曲线 sin 2 与 cos 2 的交点的极坐标为 考点 点的极坐标和直角坐标的互化 专题 计算题 分析 将 代入 cos 2 消去 可得 tan 1 通过讨论进一步缩小 的范围 即可求出 的值 再代入任意一个方程即可求出 的值 解答 解 sin 2 即 将 代入 cos 2 得 tan 1 0 2 将 代入 得 2 故曲线 sin 2 与 cos 2 的交点的极坐标为 故答案为 点评 本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标 可直接代入计算出 亦可先化 为普通方程求出其交点坐标 然后再化为极坐标 15 5 分 2013 江门一模 几何证明选讲选做题 如图 圆 O 内的两条弦 AB CD 相交 于 P PA PB 4 PD 4PC 若 O 到 AB 的距离为 4 则 O 到 CD 的距离为 10 考点 圆內接多边形的性质与判定 专题 计算题 解三角形 分析 取 AD 中点 M 连接 OD OM OP OA 可得 OM CD 且 OP AB Rt OPA 中运用勾股 定理算出 OA 4 根据相交弦定理和题中数据算出弦 CD 10 从而在 Rt OMD 中用 勾股定理算出 OM 即得圆心 O 到 CD 的距离 解答 解 取 AD 中点 M 连接 OD OM OP OA 根据圆的性质 OM CD OM 即为 O 到 CD 的距离 PA PB 4 即 P 为 AB 中点 OP AB 可得 OP 4 Rt OPA 中 OA 4 PA PB 4 PD 4PC 由 PA PB PC PD 即 42 4PC2 可得 PC 2 因此 PD 4PC 8 得 CD 10 Rt OMD 中 DM CD 5 OD OA 4 可得 OM 故答案为 点评 本题给出圆的相交弦 在已知交点分弦的比值情况下求弦到圆心的距离 着重考查 了相交弦定理 垂径定理等圆的常用性质的知识 属于基础题 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8383 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 分 解答须写出文字说明 证明过程和演算步骤 11 16 13 分 2013 江门一模 已知函数 A 0 x R 的最 小值为 2 1 求 f 0 2 若函数 f x 的图象向左平移 0 个单位长度 得到的曲线关于 y 轴对称 求 的最小值 考点 函数 y Asin x 的图象变换 函数的值 y Asin x 中参数的物理意 义 专题 三角函数的图像与性质 分析 1 由函数的最值求出 A 从而求得函数的解析式 进而求得 f 0 的值 2 函数 f x 的图象变换后得到的图象对应的函数解析式为 根据此曲线关于 y 轴对称 可得 由此求得 的最小值 解答 解 1 因为函数 A 0 x R 的最小值为 2 所以 A 2 2 分 4 分 2 函数 f x 的图象向左平移 0 个单位长度 可得 6 分 因为的图象关于 y 轴对称 所以 8 分 解得 10 分 因为 0 所以 的最小值为 12 分 点评 本题主要考查由函数 y Asin x 的部分图象求解析式 函数 y Asin x 的图象变换规律以及对称性 属于中档题 17 14 分 2013 江门一模 春节期间 某商场决定从 3 种服装 2 种家电 3 种日用品 中 选出 3 种商品进行促销活动 1 试求选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率 12 2 商场对选出的某商品采用抽奖方式进行促销 即在该商品现价的基础上将价格提高 100 元 规定购买该商品的顾客有 3 次抽奖的机会 若中一次奖 则获得数额为 m 元的奖 金 若中两次奖 则共获得数额为 3m 元的奖金 若中 3 次奖 则共获得数额为 6m 元的奖 金 假设顾客每次抽奖中获的概率都是 请问 商场将奖金数额 m 最高定为多少元 才 能使促销方案对商场有利 考点 离散型随机变量的期望与方差 等可能事件的概率 相互独立事件 专题 概率与统计 分析 1 求互斥事件的概率一般有两种方法 直接法和间接法 本小题用用间接法比较 简便 事件 至少有一种是家电 的对立事件是 商品中没有家电 用公式 P A 1 P 即运用逆向思维计算 2 欲求 m 的值 需要先求奖金总额的期望值 要使促销方案对商场有利 应使顾 客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额即可 解答 解 1 设选出的 3 种商品中至少有一种是家电为事件 A 从 3 种服装 2 种家电 3 种日用品中 选出 3 种商品 一共有种不同的选法 1 分 选出的 3 种商品中 没有家电的选法有种 2 分 所以 选出的 3 种商品中至少有一种是家电的概率为 4 分 2 设顾客三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量 其所有可能的取值为 0 m 3m 6m 单元 元 5 分 0 表示顾客在三次抽奖都没有获奖 所以 6 分 同理 7 分 8 分 9 分 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 12 分 列式 2 分 计算 1 分 由 解得 m 75 13 分 所以故 m 最高定为 75 元 才能使促销方案对商场有利 14 分 点评 本题考查古典概型 离散型随机变量的期望 以及运用互斥事件求概率的方法 同 13 时考查期望的求法 属于中档题 18 14 分 2013 江门一模 如图 直角梯形 ABCD 中 AB CD AB BC AB 1 BC 2 过 A 作 AE CD 垂足为 E F G 分别是 CE AD 的中点 现将 ADE 沿 AE 折起 使二面角 D AE C 的平面角为 135 1 求证 平面 DCE 平面 ABCE 2 求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面所成的角 专题 空间位置关系与距离 空间角 分析 1 先证线线垂直 由线线垂直 线面垂直 面面垂直 2 作平面的垂线 得直线在平面内的射影 再在三角形中求解即可 或利用向量的数量积公式 求直线向量与平面法向量夹角的余弦即为线面角的正 弦 解答 解 1 证明 DE AE CE AE DE CE E DE CE 平面 CDE AE 平面 CDE AE 平面 ABCE 平面 DCE 平面 ABCE 2 方法一 以 E 为原点 EA EC 分别为 x y 轴 建立空间直角坐标系 DE AE CE AE DEC 是二面角 D AE C 的平面角 即 DEC 135 AB 1 BC 2 A 2 0 0 B 2 1 0 C 0 1 0 E 0 0 0 D 0 1 1 F G 分别是 CE AD 的中点 F G 2 0 0 11 分 由 1 知是平面 DCE 的法向量 设直线 FG 与面 DCE 所成角 则 故求直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 14 方法二 作 GH AE 与 DE 相交于 H 连接 FH 由 1 知 AE 平面 CDE 所以 GH 平面 CDE GFH 是直线 FG 与平面 DCE 所成角 G 是 AD 的中点 GH 是 ADE 的中位线 GH 1 DE AE CE AE DEC 是二面角 D AE C 的平面角 即 DEC 135 在 EFH 中 由余弦定理得 FH2 EF2 EH2 2 EF EH cos FEH GH 平面 CDE 所以 GH FH 在 Rt GFH 中 直线 FG 与面 DCE 所成角的正弦值为 点评 本题考查面面垂直的判定及直线与平面所成的角 求直线与平面所成的角有两种思 路 一是 通过作角 证角 求角 二是 利用向量数量积公式求解 直线向 量与平面法向量夹角的余弦即为直线与平面所成角的正弦 19 14 分 2013 江门一模 已知椭圆 C 的中心在原点 O 离心率 右焦点为 1 求椭圆 C 的方程 2 设椭圆的上顶点为 A 在椭圆 C 上是否存在点 P 使得向量与共线 若存 在 求直线 AP 的方程 若不存在 简要说明理由 考点 直线与圆锥曲线的关系 椭圆的标准方程 专题 探究型 圆锥曲线的定义 性质与方程 15 分析 1 设椭圆 C 的方程为 由离心率焦点坐标可得及 再根据 a2 b2 c2 联立方程组解出即可 2 假设椭圆 C 上是存在点 P x0 y0 使得向量与共线 由向量共线 及点 P 在椭圆上得方程组 解出可得点 P 坐标 进而可求得直线 AP 方程 解答 解 1 设椭圆 C 的方程为 椭圆 C 的离心率 右焦点为 a2 b2 c2 故椭圆 C 的方程为 2 假设椭圆 C 上是存在点 P x0 y0 使得向量与共线 即 1 又 点 P x0 y0 在椭圆上 2 由 1 2 组成方程组解得 或 P 0 1 或 当点 P 的坐标为 0 1 时 直线 AP 的方程为 y 0 当点 P 的坐标为时 直线 AP 的方程为 故椭圆上存在满足条件的点 P 直线 AP 的方程为 y 0 或 点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系 椭圆方程的求解及向量共线问题 考查学生 分析问题解决问题的能力 20 14 分 2013 江门一模 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 2 n 2 3Sn 4 2an 2 Sn 1总成等差数列 1 求 Sn 2 对任意 k N 将数列 an 的项落入区间 3k 32k 内的个数记为 bk 求 bk 考点 数列的求和 数列的函数特性 等差关系的确定 16 专题 计算题 点列 递归数列与数学归纳法 分析 1 由已知可得 4an 3Sn 4 2 Sn 1 结合 an Sn Sn 1 n 2 可 Sn与 Sn 1的递推关系 构造等比数列 Sn 1 可求 2 由 1 及 an Sn Sn 1 n 2 可求 an 然后由 代入通项 可得 k 2 log32 n 2k 2 log32 从而可求 n 的取值 进而可求 bk 解答 解 1 n 2 3Sn 4 2an 2 Sn 1总成等差数列 所以 2 2an 3Sn 4 2 Sn 1 1 分 因为 an Sn Sn 1 n 2 所以 4 Sn Sn 1 3Sn 4 2 Sn 1 即 Sn 3Sn 1 2 3 分 又因为 a1 2 Sn 1 1 0 S1 1