【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.7.3合情推理与演绎推理 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 7 31 7 3 合情推理与演绎推合情推理与演绎推 理理 文文 一 选择题 1 给出下列三个类比结论 ab n anbn 与 a b n 类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay 与 sin 类比 则有 sin sin sin a b 2 a2 2ab b2 与 a b 2 类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中结论正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 答案 B 2 定义 A B B C C D D A 的运算分别对应下图中的 1 2 3 4 那么下图中 的 A B 所对应的运算结果可能是 1 2 3 4 A B A B D A D B B D A C C B C A D D C D A D 答案 B 3 在数列 an 中 若存在非零整数 T 使得 am T am 对于任意的正整数 m 均成立 那么 称数列 an 为周期数列 其中 T 叫做数列 an 的周期 若数列 xn 满足 xn 1 xn xn 1 n 2 n N 且 x1 1 x2 a a 1 a 0 当数列 xn 的正周期 最小时 该数列的前 2009 项的和是 A 669 B 670 C 1339 D 1340 答案 D 4 规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步 现程序设计师让机器狗以 前进 3 步 然 后再退 2 步 的规律移动 如果将此机器狗放在数轴原点 面向正方向 以 1 步的距离为 1 个单位长度移动 令 P n 表示第 n 秒时机器狗所在的位置坐标 且 P 0 0 则下列结 论中错误的是 A P 2007 403 B P 2008 404 C P 2009 403 D P 2010 404 答案 D 5 在集合 a b c d 上定义两种运算 和 各元素间运算结果如下 2 那么 d a c A a B b C c D d 答案 A 6 下列推理是归纳推理的是 A A B 为定点 动点 P 满足 PA PB 2a AB 则 P 点的轨迹为椭圆 B 由 a1 1 an 3n 1 求出 S1 S2 S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C 由圆 x2 y2 r2 的面积 r2 猜想出椭圆 1 的面积 S ab x2 a2 y2 b2 D 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B 二 填空题 7 在如下数表中 已知每行 每列中的数都是成等差数列 那么 位于下表中的第 n 行第 n 1 列的数是 答案 n2 n 8 已知函数 f x x 0 观察下列计算 f1 x f x f2 x f f1 x x x 2 x x 2 f3 x f f2 x f4 x f f3 x 根据以上事实 由 x 3x 4 x 7x 8 x 15x 16 归纳推理可得 当 n N 且 n 2 时 fn x f fn 1 x 解析 依题意得 f1 x x x 2 f2 x x x 2 x x 2 2 x 3x 4 x 22 1 x 22 f3 x x 3x 4 x 3x 4 2 x 7x 8 x 23 1 x 23 3 f4 x 由此归纳可得 fn x x 7x 8 x 7x 8 2 x 15x 16 x 24 1 x 24 x 0 x 2n 1 x 2n 答案 x 0 x 2n 1 x 2n 9 观察下列等式 x2 x 1 0 1 x2 x 1 1 x2 x 1 x2 x 1 2 x4 2x3 3x2 2x 1 x2 x 1 3 x6 3x2 6x4 7x3 6x2 3x 1 可以推测 x2 x 1 4 的展开式中 系数最大的项是 答案 19x4 三 解答题 10 先阅读下面结论的证明 再解决后面的问题 已知 a1 a2 R a1 a2 1 求证 a a 2 12 2 1 2 证明 构造函数 f x x a1 2 x a2 2 f x 2x2 2 a1 a2 x a a 2x2 2x a a 2 12 22 12 2 因为对一切 x R 恒有 f x 0 所以 4 8 a a 0 从而 a a 2 12 22 12 2 1 2 1 若 a1 a2 a3 an R a1 a2 an 1 试写出上述结论的推广式 2 参考上述证法 对你推广的结论加以证明 解析 1 若 a1 a2 a3 an R a1 a2 an 1 求证 a a a 2 12 22 n 1 n 2 证明 构造函数 f x x a1 2 x a2 2 x an 2 nx2 2 a1 a2 an x a a a 2 12 22 n nx2 2x a a a 2 12 22 n 对一切 x R 恒有 f x 0 4 4n a a a 0 2 12 22 n a a a 2 12 22 n 1 n 11 已知椭圆具有性质 若 M N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点 点 P 是椭圆上任意一 点 且当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 kPM kPN 时 那么 kPM 与 kPN 之积是与点 P 的位置无关的定值 试对双曲线 1 写出具有类似特性的性质 并加以证明 x2 a2 y2 b2 解析 类似的性质为 若 M N 是双曲线 1 上关于原点对称的两个点 点 P 是双曲 x2 a2 y2 b2 线上任意一点 当直线 PM PN 的斜率都存在 并记为 kPM kPN 时 那么 kPM 与 kPN 之积 是与点 P 的位置无关的定值 证明如下 设点 M P 的坐标分别为 m n x y 则 N m n 4 因为点 M m n 在已知双曲线上 所以 n2 m2 b2 b2 a2 同理 y2 x2 b2 b2 a2 则 kPM kPN y n x m y n x m y2 n2 x2 m2 定值 b2 a2 x2 m2 x2 m2 b2 a2 12 在 Rt ABC 中 AB AC AD BC 于点 D 求证 那么在四面体 ABCD 1 AD2 1 AB2 1 AC2 中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 图 解析 如图 所示 由 ABD CAD 及射影定理知 AD2 BD DC AB2 BD BC AC2 BC DC 1 AD2 1 BD DC BC2 BD BC DC BC BC2 AB2 AC2 又 BC2 AB2 AC2 1 AD2 AB2 AC2 AB2 AC2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 1 AB2 1 AC2 类比 AB AC AD BC 猜想 四面体 ABCD 中 AB AC AD两两垂直 AE 平面 BCD 则 1 AE2 1 AB2 1 AC2 1 AD2 图 证明 如图 连接 BE 并延长交 CD