上海市七宝中学2012-2013学年高一数学下学期期中试题（含解析）

1 2012 20132012 2013 学年上海市七宝中学高一 下 期中数学试卷学年上海市七宝中学高一 下 期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 3 分 共分 共 3636 分 分 1 3 分 考点 同角三角函数基本关系的运用 专题 计算题 分析 对已知式平方 求出 sin 的值 即可 解答 解 所以 sin 故答案为 点评 本题是基础题 考查同角三角函数的基本关系式 注意二倍角公式的应用 常考题 型 2 3 分 函数的周期为 考点 三角函数的周期性及其求法 专题 三角函数的图像与性质 分析 先求出函数 y tan 2x 的周期为 结合函数的图象特征可得函数 的周期 解答 解 由于函数 y tan 2x 的周期为 结合函数的图象特征可得 函数 的图象 是把函数 y tan 2x 的图象中位于 x 轴下方的部分沿着 x 轴对称到 x 轴的上 方去 位于 x 轴上方的部分保持不变得到的 故函数的不变 周期仍为 故答案为 2 函数 的图象如图所示 点评 本题主要考查正切函数的图象特征 正切函数的周期性 属于中档题 3 3 分 如果 tan cos 0 那么角 的终边在第 三或四 象限 考点 三角函数值的符号 专题 三角函数的图像与性质 分析 利用角所在的象限与三角函数值的符号的关系即可得出 解答 解 tan cos cos sin 0 且 cos 0 角 的终边在第三或第四象限角 故答案为 三或四 点评 准确记忆三角函数在不同象限内的符号是解决本题的关键 其口决是 第一象限全 为正 第二象限负余弦 第三象限负正切 第四象限负正弦 4 3 分 若 2 弧度的圆心角所对的弧长为 4cm 则这个圆心角所夹的扇形的面积是 4cm2 考点 扇形面积公式 专题 计算题 分析 先求出扇形的弧长 利用周长求半径 代入面积公式 s r2进行计算 解答 解 弧度是 2 的圆心角所对的弧长为 4 所以圆的半径为 2 所以扇形的面积为 4cm2 故答案为 4cm2 3 点评 本题是基础题 考查扇形面积的求法 注意题意的正确理解 考查计算能力 5 3 分 方程 sinx 1 的解集是 x x k k Z 考点 带绝对值的函数 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 分析 根据绝对值的意义 去掉绝对值 得到角的正弦值等于正负 1 当正弦值等于 1 时 写出角的结果 当正弦值等于 1 时 写出角的结果 把两个结果整理成一个表达式 得到结果 解答 解 sinx 1 sinx 1 当 sinx 1 时 x 2k k z 当 sinx 1 时 x 2k k z x k k z 故答案为 x x k k Z 点评 本题考查带有绝对值的函数及正弦函数的定义域和值域 本题解题的关键是去掉绝 对值 得到正弦函数的等式 本题是一个基础题 6 3 分 求值 cos2 cos2 120 cos2 240 的值为 考点 三角函数的化简求值 专题 计算题 分析 利用诱导公式把 cos2 120 cos2 240 转化为 cos2 60 cos2 60 展开后 利用同角三角函数的基本关系求得答案 解答 解 cos2 cos2 120 cos2 240 cos2 cos2 60 cos2 60 cos2 cos2 sin2 故答案为 点评 本题主要考查了三角函数的化简求值 同角三角函数的基本关系的应用 诱导公式 的应用 考查了学生对三角函数基本公式 的应用 4 7 3 分 已知 则 考点 同角三角函数基本关系的运用 专题 计算题 分析 根据两角和与差的三角函数 分别求出 sin cos cos sin 的值 进而求得 解答 解 由已知可得 由 得 sin cos cos sin 故答案为 点评 本题考查了三角函数的和与差公式应用 考查计算能力 常考题型 属于基础题 型 8 3 分 设 0 且函数 f x sin x cos x 是偶函数 则 的 值为 考点 余弦函数的奇偶性 专题 计算题 分析 从偶函数的定义入手 注意适当变形 通过待定系数法求解 解答 解 f x sin x cos x sin cosx cos sinx cosxcos sinxsin f x sinxcos cosxsin cosxcos sinxsin cos sinx sinxsin sinxcos sinxsin 2sinxcos 2sinxsin sinx sin cos 0 2k 1 k Z 因为 0 所以 故答案为 点评 本题通过偶函数来考查待定系数法求参数的值 还涉及到两角和与差的三角函数公 5 式的正用 注意角的范围 9 3 分 若 则 cosx sinx 考点 对数的运算性质 同角三角函数间的基本关系 专题 计算题 分析 由已知中 由对数的运算性质我们可得 sinx cosx 利用平方法 可先后求出 2sinx cosx 值和 cosx sinx 2值 进 而根据 我们可以确定 cosx sinx 的符号 进而得到答案 解答 解 sinx cosx sinx cosx 2 1 2sinx cosx 2sinx cosx cosx sinx 2 1 2sinx cosx 1 又 cosx sinx cosx sinx 故答案为 点评 本题考查的知识点是对数的运算性质 同角三角函数间的基本关系 其中利用平方 法先后求出 2sinx cosx 值和 cosx sinx 2值 是解答的关键 本题易忽略 的限制 而错解为 10 3 分 设函数 f x 是以 2 为周期的奇函数 且 f 7 若 sin 则 f 4cos2 的值为 7 考点 三角函数的恒等变换及化简求值 6 专题 计算题 分析 利用二倍角的余弦函数公式化简 cos2 把 sin 的值代入求出 cos2 的值 进而 得到 f 4cos2 f 然后由函数 f x 是以 2 为周期的奇函数 可求得 f 的值 解答 解 sin cos2 1 2sin2 f 4cos2 f 又函数 f x 是以 2 为周期的奇函数 f 7 f 7 则 f f 2 f 7 故答案为 7 点评 本题考查的知识点是二倍角的余弦函数公式 其中根据已知中函数的周期性与奇偶 性 寻找已知与求知函数值之间的关系是解答本题的关键 11 3 分 设 tan 和 tan 是方程 mx2 2m 3 x m 2 0 的两个实根 则 tan 的最小值为 考点 两角和与差的正切函数 一元二次方程的根的分布与系数的关系 专题 计算题 分析 先根据 tan 和 tan 是方程 mx2 2m 3 x m 2 0 的两个实根 得到两根之和 以及两根之积的表达式 并根据有根得到 m 的取值范围 再结合两角和的正切公式 即可得到结论 解答 解 2m 3 2 4m m 2 4m 9 0 m 且 m 0 tan tan tan tan tan 且 故答案为 点评 本题主要考查一元二次方程中根于系数的关系以及两角和的正切公式的应用 考查 计算能力 7 12 3 分 下列命题 终边在坐标轴上的角的集合是 k Z 若 2sinx 1 cosx 则 tan 必为 ab 0 asinx bcosx sin x 中 若 a 0 则 arctan 函数 y sin 在区间 上的值域为 方程 sin 2x a 0 在区间 0 上有两个不同的实数解 x1 x2 则 x1 x2 其中正确命题的序号为 考点 正弦函数的定义域和值域 象限角 轴线角 同角三角函数间的基本关系 正弦函 数的图象 专题 综合题 分析 根据终边在 x 轴上的角的集合为 k k Z 终边在 y 轴上的角的 集合为 k k Z 即可判断出 正确 可取 x 符合条件但结论不成立 此结论是常用的辅助角公式故正确 令 t 则由 x 的范围求出 t 的范围再结合 y sint 的图象以及 t 的范围即可 判断出此命题的正误 利用换元法再结合数形结合的思想可作出判断 解答 解 由于终边在 x 轴上的角的集合为 k k Z 终边在 y 轴上的 角的集合为 k k Z 所以终边在坐标轴上的角的集合 为 k k Z k k Z k Z 故 对 由于当 x 时 2sinx 1 cosx 仍成立但 tan tan没意义故 错 当 ab 0 时 asinx bcosx sinx cosx 由于 故可令 cos 则 sin 所 8 以 asinx bcosx sin x 中 若 a 0 则 arctan 故 对 令 t 则由于 x 故 t 结合函数 y sint 在 t 上的图象可知其值域为 1 故 错 令 y sin 2x sint 则 t 在同一直角坐标系中作出 y sint t 的图象和 y a 使得两图象有两个交点则可得 t1 t2 即 2 2 所以 x1 x2 故 对 故答案为 点评 本题主要考查了命题真假的判断 解题的关键是把握住此类问题的判断准则 正确 的给出证明 错误的举出反例 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 4 分 若 A B 为锐角三角形 ABC 的两个内角 则点 P sinA cosB cosA sinB 位 于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 考点 三角函数值的符号 专题 计算题 分析 由 A B 为锐角三角形的两个内角 知 A B 所以 sinA cosB 0 同理可得 cosA sinB 0 由此能求出点 P 所在的象限 解答 解 A B 为锐角三角形的两个内角 A B A B 0 sinA sin B cosB sinA cosB 0 同理可得 cosA sinB 0 故选 D 点评 本题考查三角函数值的符号 解题时要认真审题 仔细解答 14 4 分 函数 f x 的定义域是 9 A RB 2k 2k k Z C 2k 2k k Z D 2k 2k k Z 考点 函数的定义域及其求法 专题 计算题 分析 首先根号下大于等于 0 即 sin cos x 0 利用正弦函数的图象 可得 2k cos x 2k 借助于余弦函数的有界性可求 解答 解 首先根号下大于等于 0 即 sin cos x 0 又由 sin x 0 得 2k x 2k k 为整数 所以 2k cos x 2k 1 cos x 1 所以 k 取 0 即 0 cos x 1 所以 2k 2k k 为整数 故选 D 点评 本题的考点是函数的定义域及其求法 主要考查函数的定义域 涉及三角函数 三 角不等式的求解 15 4 分 函数 y sin 2x 的图象是由函数 y sin2x 的图象 A 向左平移单位 B 向右平移单位 C 向左平单位 D 向右平移单位 考点 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 分析 根据函数的平移变化 分析选项 可得答案 解答 解 要得到函数 的图象可将 y sin2x 的图象向左平移 或向右平移单位 故选 D 点评 本题主要考查三角函数的平移 三角函数的平移原则为左加右减上加下减 16 4 分 函数 f x cosx tanx 在区间上的图象为 10 A B C D 考点 正弦函数的图象 函数 y Asin x 的图象变换 专题 计算题 分析 去掉绝对值符号 将 f x 化简 即可判断选项 解答 解 f x cosx tanx 当 f x cosxtanx sinx 当 f x sinx 对照选项 C 正确 故选 C 点评 此题解题的关键是化简函数的表达式 通过基本三角函数的图象判断选项 考查计 算能力 三 解答题 共三 解答题 共 4848 分 分 17 8 分 已知 都是锐角 求 sin 的值 考 点 两角和与差的余弦函数 同角三角函数间的基本关系 专 题 三角函数的图像与性质 分 析 由 都是锐角 得出 的范围 由 sin 和 cos 的值 利用同角 三角函数间的基本关系分别求出 cos 和 sin 的值 然后把所求式子的角 变为 利用两角和与差的正弦函数公式化简 把各自的值代入即即 可求出值 解 答 解 0 11 sin sin sin cos cos sin 点 评 此题考查了同角三角函数间的基本关系 以及两角和与差的正弦函数公式 熟练掌握 公式是解本题的关键 同时注意角度的范围 18 8 分 定义行列式运算 a1a4 a2a3 若 0 1 求 tanA 的值 2 求函数 f x cos2x tanAsinx x R 的值域 考点 二阶行列式的定义 二次函数的性质 二倍角的余弦 正弦函数的定义域和值域 专题 计算题 分析 1 根据二阶行列式的定义 利用二阶行列式的基本运算求得得 sinA 2cosA 0 利用 tanA 求得答案 2 首先对函数 f x 化简 然后根据 sinx 1 1 可知当 时 f x 有最大值 当 sinx 1 时 f x 有最小值 求出函数的值域 解答 解 1 由 0 得 sinA 2cosA 0 cosA 0 tanA 2 4 分 2 f x cos2x 2sinx 2 sinx 2 x R sinx 1 1 当 sinx 时 f x 有最大值 当 sinx 1 f x 有最小值 3 所以 值域为 3 6 分 点评 本题考查二阶行列式的定义 三角函数的二倍角 函数的值域 做题时注意正弦函 数的值域 属于基础题 19 8 分 若 且 1 求 sin2 的值 2 求的值 考点 同角三角函数基本关系的运用 12 专题 计算题 分析 1 由 的范围 求出 2的范围 根据 cos 的值 利用诱导公式 及二倍角的余弦函数公式化简所求的式子 把 cos 的值代入即可求出值 2 由 的范围 求出 的范围 由 cos 的值 利用同角三角函数 间的基本关系求出 sin 的值 进而求出 tan 的值 利用两角和 与差的正切函数公式化简可得出所求式子的值 解答 解 1 又 则 2 又 sin tan 则 点评 此题考查了诱导公式 二倍角的余弦函数公式 两角和与差的正切函数公式 以及 同角三角函数间的基本关系 熟练掌握公式是解本题的关键 20 12 分 已知函数 f x 2sin2 1 写出函数 f x 的最小正周期 2 求函数 f x 的单调递减区间 3 若不等式 f x m 2 在上恒成立 求实数 m 的取值范围 考点 二倍角的余弦 两角和与差的正弦函数 二倍角的正弦 三角函数的周期性及其求 法 正弦函数的单调性 专题 三角函数的图像与性质 分析 1 三角函数的恒等变换化简 f x 的解析式为 2sin 2x 1 由此求得函 13 数的周期 2 由 2x 2k 2k k Z 求得 x 的范围 即可求得 f x 的单调递减区间 3 首先根据角的范围求出 f x 的最值 然后由已知条件得出 f x 2 m f x 2 进而推出 m f x max 2 且 m f x min 2 即可得出答案 解答 解 1 f x 2sin2 1 cos 2x cos2x 1 sin2x cos2x 2sin 2x 1 函数 f x 的最小正周期 T 2 2x 2k 2k k Z 解得 x k k k Z 函数 f x 的单调递减区间 k k k Z 3 2x 即 2 sin 2x 1 3 f x max 3 f x min 2 f x m 2 f x 2 m f x 2 m f x max 2 且 m f x min 2 1 m 4 即 m 的取值范围是 1 4 点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值 周期性和求法 属于中档题 21 12 分 如图所示 ABCD 是