高二数学上学期 期中复习 理 新人教A版

用心 爱心 专心1 高二数学上学期高二数学上学期 期中复习期中复习 理理 新人教新人教 A A 版版 一 学习目标 一 学习目标 1 掌握三种随机抽样各自的特点 抽样的等概率性及利用样本估计总体的频率分布 直方图 2 熟练掌握古典概型 几何概型中概率的计算公式 3 掌握线性回归方程的求解公式及其简单运用 二 重点 难点 二 重点 难点 重点 掌握随机抽样 概率的运算 频率分布直方图及概率的运用 难点 将实际问题转化为概率模型 并正确应用不同的概率模型进行概率计算 从而 解决问题 三 考点分析 三 考点分析 高考对本讲内容的要求为 注重理解 并能进行简单的运用 高考中 除概率以外 本讲内容都是以选择题或填空题的形式出现 注重对基本知识点概念的运用 概率在高考 中所占分值较大 一般既有小题 也有大题 因此我们要针对概率多加练习 一 算法和程序框图 1 算法是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤 它具有程序性 明确性 有穷性等特征 2 程序框图又简称为框图 是一种用规定的图形 指向线及文字说明来准确 直观地表 示算法的图形 画程序框图的规则是 使用标准的图形符号 框图一般按从上到下 从左到 右的方向画 除判断框外 大多数程序框图的符号只有一个进入点和一个退出点 判断框 是具有超过一个退出点的唯一的符号 起始框只有一条流出线 终止框只有一条流入线 判断框分两大类 一类是对 是 与 否 两分支的判断 有且仅有两个结果 另一类是 对多分支的判断 有几种不同的结果 3 任何一种算法都是由三种基本逻辑结构组成 它们是顺序结构 条件结构和循环结构 二 基本算法语句 基本算法语句包括输入语句 输出语句 赋值语句 条件语句 循环语句 输入语句的一般格式为 INPUT 提示内容 变量 输出语句的一般格式为 PRINT 提示内容 表达式 赋值语句是算法语句中最基本的语句 其一般格式为 变量表达式 条件语句有两种格式 格式一 格式二 用心 爱心 专心2 循环语句有两种形式 当型和直到型 即 WHILE 语句和 UNTIL 语句 WHILE 语句 的一般格式为 UNTIL 语句的一般格式为 三 中国古代数学中的算法案例 包括更相减损术 辗转相除法 秦九韶算法等 其中更相减损术和辗转相除法是求两 个正整数的最大公约数的算法 更相减损术的算法思想是 用两个数中较大的数减去较小的数 再将差数和较小的数 构成一对新数 再用其中较大的数减去较小的数 反复执行此步骤 直到差数和较小的数 相等 此时 这个数便是原来两个数的最大公约数 辗转相除法的算法思想是 用两个数中较大的数除以较小的数 所得的余数和较小的 数构成一对新数 继续上面的除法 直到大数被小数除尽 则这个较小的数就是原来两个 数的最大公约数 秦九韶算法是用于求高次多项式函数在某一点处的值的算法 注意 注意 设计算法时 一般选用步骤较少 结构较好的算法 理解好三种逻辑结构和程 序框图的画法是设计算法 编写程序的重要基础 用循环语句写算法时 要分清循环次数 是否确定 若不确定 则用 WHILE 语句 条件语句的形式较为复杂 要借助框图写出程 序 四 三种随机抽样 1 简单随机抽样 设一个总体的个数为 N 如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本 且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等 就称这样的抽样为简单随机抽样 实现简单随 机抽样的常用方法 抽签法和随机数表法 结论 用简单随机抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为n的样本时 每次抽取一个 个体时任一个体被抽到的概率为 N 1 在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 N n 2 系统抽样 当总体中的个数较多时 可将总体分成均衡的几部分 然后按照预先确定 的规则 从每一部分抽取 1 个个体 得到所需要的样本 这种抽样叫做系统抽样 也称为 机械抽样 系统抽样的步骤可概括为 1 将总体中的个体编号 采用随机的方式将总体中的个体编号 2 将总体按编号进行分段 为将总体按编号进行分段 要确定分段的间隔k 当 n N 是整数时 n N k 当 n N 不是整数时 通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数 用心 爱心 专心3 N 能被n整除 这时 n N k 3 确定起始的个体编号 在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号为l 4 抽取样本 按照预先确定的规则 常将l加上间隔k 抽取样本 knlklkll 1 2 3 分层抽样 当已知总体由差异明显的几部分组成时 常将总体分成几部分 然后按照 各部分所占的比例进行抽样 这种抽样叫做分层抽样 其中所分成的各部分叫做层 结论 分层抽样是等概率抽样 它也是公平的 用分层抽样从个体数为 N 的总体中抽 取一个容量为n的样本时 在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等 都等于 N n 五 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1 众数 中位数 在一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 将一组数据按从大到小 或从小到大 的顺序排列 处在中间位置上的一个数据 或 中间两个数据的平均数 叫做这组数据的中位数 2 平均数与方差 如果有 n 个数据分别是 n xxx 21 那么 n i i x n x 1 1 叫做这 n 个数据的平均数 如果有 n 个数据分别是 n xxx 21 那么 1 1 2 n i i xx n S 2叫做这 n 个数据的 方差 同时 s 1 1 n i i xx n 2叫做这 n 个数据的标准差 3 频率分布直方图 折线图与茎叶图 样本中所有数据 或数据组 的频率和样本容量的比 就是该数据的频率 所有数据 或数据组 的频率的分布变化规律叫做频率分布 可以用频率分布直方图 折线图 茎 叶图来表示 注 频率分布直方图中小正方形的面积 组距 组距 频率 频率 六 概率 1 事件的分类 随机事件 必然事件 不可能事件 2 概率的意义及概率与频率的区别 概率是确定的一个数 但频率在试验前是不确定的 3 古典概型及其概率的计算公式 4 几何概型的意义及其概率的计算方法 能计算简单的几何概型的概率 知识点一 算法与程序框图知识点一 算法与程序框图 例例 1 下列语句中是算法的个数为 从济南到巴黎 先从济南坐火车到北京 再坐飞机到巴黎 统筹法中 烧水泡茶 的故事 测量某棵树的高度 判断其是否为大树 用心 爱心 专心4 已知三角形的一部分边长和角 借助正余弦定理求得剩余的边角 再利用三角形的 面积公式求出该三角形的面积 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查对算法的概念和算法的特征的理解 2 解题思路 解题思路 按照算法的定义和特点一一进行判定 解答过程 解答过程 正确选项为 C 中我们对 树的大小 没有明确的标准 无法完成任务 不是有效的算法构造 中 勾画了从济南到巴黎的行程安排 完成了任务 中 通过 合理的安排来节约时间 完成了烧水泡茶的任务 中 纯数学问题 借助正 余弦定理 解三角形 进而求出三角形的面积 解题后的思考 解题后的思考 算法过程要做到能一步一步地执行 每一步执行的操作 必须确切 不能含混不清 且在有限步之内完成后必须得出结果 例例 2 求两底面半径分别为 1 和 4 且高均为 4 的圆台的表面积及体积 写出该问题的一 个算法 并画出程序框图 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查算法的设计及作出程序框图 2 解题思路 解题思路 先用自然语言表示算法 然后结合程序框图进行解答 解答过程解答过程 解 解 算法设计如下 第一步 1 r 1 2 r 4 h 4 第二步 L 22 12 hrr 第三步 lrrsrsrs 213 2 22 2 11 L 第四步 s 321 sss v 3 1 2211 ssss h 第五步 输出 s 和 v 程序框图如下 用心 爱心 专心5 解题后的思考 解题后的思考 通过此例 可以很好地体会算法思想 例例 3 已知函数 f x 3x 程序框图 如下图 表示的是给定 x 的值 求其相应 函数值的算法 请将该程序框图补充完整 其中 处填 处填 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 算法与程序框图的简单运用 2 解题思路 解题思路 先分析算法 然后结合三种逻辑结构进行填写 用心 爱心 专心6 解答过程 解答过程 x 3 y x 3 解题后的思考 解题后的思考 注意体会算法的基本思想 例例 4 给出下面的程序框图 则输出的数是 A 2450 B 2550 C 5050 D 4900 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查循环结构的运用 2 解题思路 解题思路 首先理解循环的起始量 循环体 循环的终止条件 进而分析求解 解答过程 解答过程 把 i 2 sum 0 代入 得到 sum 0 2 2 i 2 2 4 接着 sum 2 4 6 i 6 仍然符合条件 依次求解下去得到 sum 12 i 8 sum 20 i 10 执行 50 次 sum 得到 2 6 12 20 这一数列中 共有 50 个数 然后结合数列的知识 2 1 naa nn 用累加法求出数列的通项 1 2 642 nnnan 则第 50 项即为所求 故选 C 解题后的思考 解题后的思考 对循环体要准确理解 一步一步地进行求解 并发现规律得到结果 知识点二 随机抽样的运用知识点二 随机抽样的运用 例例 5 某校共有学生 2000 名 各年级男 女生人数如下表 已知在全校学生中随机抽取 1 名 抽到二年级女生的概率为 0 19 现用分层抽样的方法在全校抽取 64 名学生 则应在 三年级抽取的学生人数为 人 一年级二年级三年级 女生373xy 男生377370z A 12B 16C 18D 24 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查了分层抽样 以及在抽样过程中概率的运算问题 2 解题思路 解题思路 要求抽取的人数 关键是先把各个年级的人数求出来 然后结合分层抽 用心 爱心 专心7 样的方法得解 解答过程 解答过程 由已知可得二年级女生人数为 2000 0 19 380 人 则一 二 三年级 的学生总数分别为 750 750 500 所以 若要抽取 64 人 则应在三年级抽取 2000 500 64 16 人 故选 B 解题后的思考 解题后的思考 该题是对概率与抽样综合的一个考查 灵活地考查了分层抽样的运用 例例 6 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况 拟采用分层抽样的方法从 A B C 三个区中抽取 7 个工厂进行调查 已知 A B C 三个区中分别有 18 27 18 个工厂 I 求从 A B C 三个区中应分别抽取的工厂个数 若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比 用列举法计算这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查了抽样中的分层抽样与概率的综合运用 2 解题思路 解题思路 先确定总体的个数 然后利用分层抽样确定比例 再进行求解 同时要 用列举法得到抽样的结果 可结合古典概型进行求解 解答过程 解答过程 I 工厂总数为63182718 样本容量与总体中的个体数的比为 9 1 63 7 所以从 A B C 三个区中分别抽取的工厂个数为 2 3 2 设 21 A A为在 A 区中抽得的 2 个工厂 321 BBB为在 B 区中抽得的 3 个工厂 21 C C为在 C 区中抽得的 2 个工厂 在这 7 个工厂中随机抽取 2 个 全部可能的结果有 2212211131211121 BABACACABABABAAA 121221113121221232 CBBBCBCBBBBBCACABA 21231322 CCCBCBCB 共 21 种 随机地抽取的 2 个工厂至少有 1 个来自 A 区的结果 记为事件 X 有 322212211131211121 BABABACACABABABAAA 2212 CACA 共 11 种 所以这 2 个工厂中至少有 1 个来自 A 区的概率为 21 11 XP 解题后的思考 解题后的思考 近几年高考对抽样的考查 经常与概率问题综合在一起 我们要加强 对知识点交汇试题的练习 知识点三 用样本估计总体的运用知识点三 用样本估计总体的运用 例例 7 随机抽取某中学甲 乙两班各 10 名学生 测量他们的身高 单位 cm 获得身 高数据的茎叶图如图 用心 爱心 专心8 1 根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高 2 计算甲班的样本方差 3 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学 求身高为 176cm 的同学被抽中的概率 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 本题考查茎叶图及样本方差和概率的运算 2 解题思路 解题思路 先理解茎叶图 解决问题 1 然后利用数据求样本方差 最后运用古 典概型求解概率 解答过程 解答过程 1 由茎叶图可知 甲班学生身高集中于 160 179cm 之间 而乙班学生身高集中于 170 180cm 之间 因此乙班学生的平均身高高于甲班 2 170 10 182179179171170168168163162158 x 甲班的样本方差为 22222 170168 170168 170163 170162 170158 10 1 57 170182 170179 170179 170171 170170 22222 3 设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有 181 173 181 176 181 178 181 179 179 173 179 176 179 178 178 173 178 176 176 173 共 10 个基本事件 而事件 A 含有 4 个基本事件 5 2 10 4 A P 解题后的思考 解题后的思考 对茎叶图的理解要深刻 同时要借助数据进行运算 求解平均值 方 差等 还要能研究相关的概率问题 本题是一道很好的综合题 例例 8 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x 吨 与相应 的生产能耗 y 吨标准煤 的几组对照数据 x3456 y2 5344 5 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 axby 3 已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤 试根据 2 求出的线 性回归方程 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查散点图 线性回归方程的求解 2 解题思路 解题思路 先作出散点图 然后判定其是否符合线性回归的模型 然后结合线性回 归方程求解运算 解答过程 解答过程 1 由题设所给数据 可得散点图如图 用心 爱心 专心9 2 由题给数据 计算得 86 4 1 2 i i x 5 4 4 6543 x 5 3 4 5 4435 2 y 已知 5 66yx 4 1i ii 所以 由最小二乘法确定的回归方程的系数为 4 1 2 2 4 1 4 4 i i i ii xx yxyx b 7 0 5 4486 5 35 44 5 66 2 35 0 5 47 05 3 xbya 因此 所求的线性回归方程为 35 0 7 0 xy 3 由 2 的线性回归方程及技改前生产 100 吨甲产品产生的能耗 得降低的生产 能耗为 90 0 7 100 0 35 19 65 吨标准煤 解题后的思考 解题后的思考 本题能培养同学们分析问题 解决问题的能力 同时也考查了同学们 的运算能力 知识点四 概率问题的实际运用知识点四 概率问题的实际运用 例例 9 4 张卡片上分别写有数字 1 2 3 4 从这 4 张卡片中抽取 2 张 则取出的 2 张 卡片上的数字之和为奇数的概率为 A 3 1 B 2 1 C 3 2 D 4 3 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查运用古典概型公式解决实际问题 2 解题思路 解题思路 先求出试验中的所有基本事件数 然后分析 取出的 2 张卡片上的数字 之和为奇数 所包含的基本事件数 再结合概型公式求解 解答过程 解答过程 从 4 张卡片中有序地抽取两张的取法共有 4 3 12 种 其中取得一奇一偶 的取法共有 4 2 8 种 先任取 后取与第一张奇偶不同的 取出的 2 张卡片上的数字之 用心 爱心 专心10 和为奇数的概率为 3 2 12 8 P 故选 C 解题后的思考 解题后的思考 注意在求所有基本事件数的时候 要做到不重不漏 保证其完备性 例例 10 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n 记向量 a n m 与向量 b 1 1 的夹 角为 则 2 0 的概率是 A 12 5 B 2 1 C 12 7 D 6 5 思路分析 思路分析 1 题意分析 题意分析 考查概率与向量的综合运用 2 解题思路 解题思路 先分析满足 m n 的条件 然后进行求解运算 解答过程 解答过程 2 0 nm2 nm cos 22 nm 满足条件 m n 的概率为 6 1 36 6 nm 的概率为 12 5 36 15 2 0的概率为 12 7 12 5 6 1 故选 C 解题后的思考 解题后的思考 体现了知识点的综合 很好地考查了同学们处理问题的能力及对知识 的驾驭能力 小结 小结 以上几个知识点是高考常考内容 也是常见题型 需要同学们熟练掌握 达到举一反 三的效果 尤其是概率问题 为高考中的一个热点 其所占分值较大 同学们尤需多加练 习 算法与程序框图 随机抽样 用样本估计总体 概率与统计都是新课标教材新增的内 容 考查时注重的是对基本概念的简单理解和运用 以中等题居多 基本上不和别的知识 点综合 属于单一考查的知识点 有时候背景变化稍多 但只要同学们能理解是考查哪方 面的内容即可 立足基础 是我们学习的目标 答题时间 50 分钟 一 选择题 1 电子钟一天显示的时间是从 00 00 到 23 59 每一时刻都由四个数字组成 则一天 中任一时刻显示的四个数字之和为 23 的概率为 A 180 1 B 288 1 C 360 1 D 480 1 2 下面的程序框图 如果输入三个实数 a b c 要求输出这三个数中最大的数 那么 在空白的判断框中 应该填入下面四个选项中的 用心 爱心 专心11 A cx B xc C cb D bc 3 下图是根据 山东统计年鉴 2007 中的资料作出的 1997 年至 2006 年山东省城镇居 民百户家庭人口数的茎叶图 图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的 百位数字和十位数字 右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字 从图中可以 得到 1997 年至 2006 年山东省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 A 304 6B 303 6 C 302 6 D 301 6 4 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩 统计如下表 则这 100 人成绩的标准差为 分数54321 人数2010303010 A 3B 2 10 5 C 3D 8 5 5 某林场有树苗 30000 棵 其中松树苗 4000 棵 为调查树苗的生长情况 采用分层抽 样的方法抽取一个容量为 150 的样本 则样本中松树苗的数量为 棵 A 30B 25 C 20D 15 二 填空题 6 阅读下面的程序框图 若输入4m 6n 则输出a i 注 框图中的赋值符号 也可以写成 或 用心 爱心 专心12 7 为了调查某厂工人生产某种产品的能力 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量 产品数量的分组区间为 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 由此得到频率 分布直方图如图 则这 20 名工人中一天生产该产品数量在区间 55 75内的人数是 人 8 一个骰子连续投 2 次 点数和为 4 的概率为 9 从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 人 其生活能否自理的情况如下表所示 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人 三 解答题 10 为了了解 中华人民共和国道路交通安全法 在学生中的普及情况 调查部门对某 校 6 名学生进行问卷调查 这 6 人的得分情况如下 用心 爱心 专心13 5 6 7 8 9 10 把这 6 名学生的得分看成一个总体 求该总体的平均数 用简单随机抽样的方法从这 6 名学生中抽取 2 名 将他们的得分组成一个样本 求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率 11 现有 8 名奥运会志愿者 其中志愿者 123 AAA 通晓日语 123 BBB 通晓俄语 12 CC 通晓韩语 从中选出通晓日语 俄语和韩语的志愿者各 1 名 组成一个小组 求 1 A被选中的概率 求 1 B和 1 C不全被选中的概率 用心 爱心 专心14 1 C 解析 当 时 的那两位数字的和小于 9 时 则 分 的那两位数字的和要求超 出 14 这是不可能的 所以只有 时 的和为 9 即 09 或 18 分 的和为 14 59 或者 时 的和为 10 即 19 分 的和为 13 49 或 58 这 4 种 情况 因一天 24 小时共有 24 60 分钟 所以概率 360 1 6024 4 P 故选 C 2 A 解析 利用条件语句进行分析 从而得到结果 3 B 解析 先理解