江苏省南京中考数学总复习锐角三角函数

用心 爱心 专心1 20112011 南京中考数学总复习 锐角三角函数南京中考数学总复习 锐角三角函数 例 1 特殊的锐角三角函数值 填写表格 反馈 已知 A 是锐角 且 sinA 3 2 那么 90 A 等于 当锐角 30 时 则 cos 的值是 A 大于 1 2 B 小于 1 2 C 大于 3 2 D 小于 3 2 例 2 与三角形的有关计算 已知 Rt ABC 中 C 90 tanA 4 3 BC 8 则 AC 等 于 A 6 B 32 3 C 10D 12 反馈 如图 在等腰 Rt ABC中 C 90o AC 6 D是AC上一点 若 tan DBA 5 1 则AD的长为 在 ABC 中 A 75 B 60 AB 22 则 AC 例 3 锐角三角函数之间的关系 若 sin28 cos 则 反馈 直角三角形两锐角的正切函数的积为 在 Rt ABC 中 C 90 若 sinA 是方程 5 2 x 14x 8 0 的一个根 则 sin A tan A tan2 tan4 tan6 tan88 例 4 锐角三角函数的计算 sin230 cos245 2sin60 tan45 30 45 60 sin cos tan 用心 爱心 专心2 反馈 0 2cos602009 9 先化简 再求代数式的值 22 2 11 1 aa aa a 其中a tan60 2sin30 例 5 解直角三角形 在 ABC 中 C 90 BC 24cm cosA 5 13 求这个三角形 的周长 反馈 已知 如图 在 Rt ABC中 90 C 3AC 点D为BC边上一点 且 2BDAD 60ADC 求 ABC周长 结果保留根号 DC B A 例 6 方位角 如图 一巡逻艇航行至海面 B 处时 得知其正北方向上 C 处一渔船发 生故障 已知港口 A 处在B处的北偏西 37 方向上 距 B 处 20 海里 C 处在A处的北偏 东 65 方向上 求 B C 之间的距离 结果精确到 0 1 海里 参考数据 sin370 60 cos370 80 tan370 75 sin650 91 cos650 42 tan652 14 用心 爱心 专心3 反馈 为打击索马里海盗 保护各国商船的顺利通行 我海军某部奉命前往该海域执 行护航任务 某天我护航舰正在某小岛A北偏西45 并距该岛20海里的B处待命 位于 该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击 船长发现在其北偏东60 的方向有我军护 航舰 如图所示 便发出紧急求救信号 我护航舰接警后 立即沿BC航线以每小时 60 海里的速度前去救援 问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处 结果精 确到个位 参考数据 21 431 7 C A B 60 45 北 北 某地有一居民楼 窗户朝南 窗户的高度为 hm 此地一年中的冬至这一天的正午时刻太 阳光与地面的夹角最小为 夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大 小明想 为自己家的窗户设计一个直角三角形遮阳篷 BCD 要求它既能最大限度地遮挡夏天炎热的 阳光 又能最大限制地使冬天温暖的阳光射入室内 小明查阅了有关资料 获得了所在地 区 和 的相应数据 24 36 73 30 小明又得窗户的高 AB 1 65m 若同时满足下面两个条件 1 当太阳光与地面的夹角为 时 要想使太阳光刚好全部射 入室内 2 当太阳光与地面的夹角为 时 要想使太阳光刚好不射入室内 请你借助下 面的图形 帮助小明算一算 遮阳篷 BCD 中 BC 和 CD 的长各是多少 精确到 0 01m 以下数据供计算中选用 sin24 36 0 416 cos24 36 0 909 tan24 36 0 458 65 37 北 北 A C B D 65 37 北 北 A C B 用心 爱心 专心4 sin73 30 0 959 cos73 30 0 284 tan73 30 3 376 例 7 俯角 仰角 如图 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 60 看这栋高楼底部的俯角为 30 热气球与高楼的水平距离为 66 m 这栋高楼有多高 结果精确到 0 1 m 参考数据 73 13 反馈 如图 线段ABDC 分别表示甲 乙两建筑物的高 ABBCDCBC 从B点测得D点的仰角 为 60 从A点测得D点的仰角 为 30 已知甲建筑物高36AB 米 1 求乙建筑物的高DC 2 求甲 乙两建筑物之间的距离BC 结果精确到 0 01 米 参考数据 21 41431 732 C A B D 乙 CB A 甲 用心 爱心 专心5 坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋 公元1112 年 为砖彻 八角形十三层楼阁式建筑 数学活动小组开展课外实践活动 在一个阳光明媚的上午 他们去测量太子灵踪塔的高度 携带的测量工具有 测角仪 皮尺 小镜子 1 小华利用测角仪和皮尺测量塔高 图 1 为小华测量塔高的示意图 她先在塔前的平 地上选择一点A 用测角仪测出看塔顶 M的仰角35 在A点和塔之间选择一点B 测出看塔顶 M的仰角45 然后用皮尺量出A B两点的距离为18 6m 自身的高 度为1 6m 请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度 tan350 7 结果保留整数 2 如果你是活动小组的一员 正准备测量塔高 而此时塔影NP的长为am 如图 2 你能否利用这一数据设计一个测量方案 如果能 请回答下列问题 在你设计的测量方案中 选用的测量工具是 要计算出塔的高 你还需要测量哪些数据 例 8 坡度 庞亮和李强相约周六去登山 庞亮从北坡山脚C处出发 以 24 米 分钟 的速度攀登 同时 李强从南坡山脚B处出发 如图 已知小山北坡的坡度31 i 山 坡长为 240 米 南坡的坡角是 45 问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶 A 将山路AB AC看成线段 结果保留根号 反馈 我市某区为提高某段海堤的防海潮能力 计划将长 96m 的一堤段 原海堤的横 断面如图中的梯形 ABCD 的堤面加宽 1 6m 背水坡度由原来的 1 1 改成 1 2 已知原背水 坡长 AD 8 0m 求完成这一工程所需的土方 要求保留两个有效数字 提供数据 21 41 31 73 52 24 AB CD M N 图 1图 2 P M N 用心 爱心 专心6 i 1 2 i 1 1 1 6m E D C B AF 云南 2009 年秋季以来遭遇百年一遇的全省特大旱灾 部分坝塘干涸 小河 小溪断流 更为严重的情况是有的水库已经见底 全省库塘蓄水急剧减少 为确保城乡居民生活用水 有关部门需要对某水库的现存水量进行统计 以下是技术员在测量时的一些数据 水库大 坝的横截面是梯形ABCD AD BC EF为水面 点 E 在 DC 上 测得背水坡 AB 的长为 18 米 倾角 B 30 迎水坡 CD 上线段 DE 的长为 8 米 ADC 120 1 请你帮技术员算出水的深度 精确到 0 01 米 参考数据732 13 2 就水的深度而言 平均每天水位下降必须控制在多少米以内 才能保证现有水量至 少能使用 20 天 精确到 0 01 米 7 120 30 F E D C B A 例 9 几何综合型 如图 AB 是半圆 O 的直径 C 为半圆上一点 N 是线段 BC 上一点 不与 B C 重合 过 N 作 AB 的垂线交 AB 于 M 交 AC 的延长线于 E 过 C 点作半圆 O 的切线交 EM 于 F 1 求证 ACO NCF 2 若 NC CF 3 2 求 sinB 的值 反馈 已知 如图 在 ABC 中 AB AC AE 是角平分线 BM 平分 ABC 交 AE 于点 M 经过 B M 两点的 O 交 BC 于点 G 交 AB 于点 F FB 恰为 O 的直径 1 求证 AE 与 O 相切 E M N O C B A F 用心 爱心 专心7 2 当 BC 4 3 1 cos C时 求 O 的半径 请量力而行 已知 在 ABC 中 AB AC 点 D 为 BC 边的中点 点 F 是 AB 边上一点 点 E 在线段 DF 的延长线上 BAE BDF 点 M 在线段 DF 上 ABE DBM 1 如图 1 当 ABC 45 时 求证 AE 2MD 2 如图 2 当 ABC 60 时 则线段 AE MD 之间的数量关系为 3 在 2 的条件下延长 BM 到 P 使 MP BM 连接 CP 若 AB 7 AE 72 求 tan ACP 的值 例 10 大综合型 请量力而行 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 半径为 1 的 圆 A 与边 AB 相交于点 D 与边 AC 相交于点 E 连结 DE 并延长 与线段 BC 的延长线交于点 P 1 当 B 30 时 连结 AP 若 AEP 与 BDP 相似 求 CE 的长 2 若 CE 2 BD BC 求 BPD 的正切值 用心 爱心 专心8 3 若 1 tan 3 BPD 设 CE x ABC 的周长为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 反馈 请量力而行 如图 10 以点 M 1 0 为圆心的圆与y轴 x轴分别交于点 A B C D 直线 3 35 3 3 xy与 M 相切于点 H 交x轴于点 E 求y轴于点 F 1 请直接写出 OE M 的半径 r CH 的长 2 如图 11 弦 HQ 交x轴于点 P 且 DP PH 3 2 求 cos QHC 的值 3 如图 12 点 K 为线段 EC 上一动点 不与 E C 重合 连接 BK 交 M 于点 T 弦 AT 交x轴于点 N 是否存在一个常数a 始终满足 MN MKa 如果存在 请求出a的值 如果不存在 请说明理由 用心 爱心 专心9 答 案 例 1 反馈 30 D 例 2 A 反馈 2 32 例 3 62 反馈 1 5 4 3 4 1 点拨 直角三角形两锐角的正切函数的积为 1 例 4 3 4 6 2 反馈 3 3 例 5 60 反馈 3572 例 6 BC 之间的距离约为 21 6 海里 反馈 我护航舰约需 28 分钟就可到达该商船所在的位置C BC 的长约为 0 26m CD 的长约为 0 57m 例 7 这栋楼高约为 152 2 m 反馈 1 54m 2 31 18m 1 太子灵踪塔 MN的高度为45m 2 测角仪 皮尺 站在 P 点看塔顶的仰角 自身的高度 30 45 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 13 用心 爱心 专心10 例 8 李强以 122米 分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A 反馈 完成这工程约需土方 2 4 103m3 1 2 07m 2 0 10m 例9 1 略 2 sinB 3 4 反馈 1 略 2 BO 3 1 如图 1 连接 AD AB AC BD CD AD BC 又 ABC 45 BDMBAE BDABABCABBD 2cos即 ABE DBM ABE DBM MDAE DB AB DM AE 22 2 AE 2MD 3 如图 2 连接 AD EP AB AC ABC 60 D ABC 为等边三角形 又 D 为 BC 中点 AD BC DAC 30 BD DC 2 1 AB BAE BDM ABE DBM ABE DBM 2 DB AB BM BE AEB DMB EB EBM 又 BM MP EB BP 又 EBM ABC 60 BEP 为等边三角形 EM BP BMD 90 AEB 90 2 3 tan21 772 22 EABAEABBE ABAEAEBRt中在 D 为 BC 中点 M 为 PB 中点 DM PC MDB PCB EAB PCB 2 3 tan PCB 3 4 7 3 4 7 tan 3 2 7 sin NDADNANCDDCNDNDCRt ABDABADABDRt 中在 中在 过 N 作 NH AC 垂足为 H 用心 爱心 专心11 在 8 21 cos3 8 7 2 1 NAHANAHAHNHANHRt中 5 3 tan 8 35 ACPAHACCH 例 10 1 CE 1 2 2 设 BC BD x ACB 90 222 1 3xx x 4 BC BD 4 过 D 作 DH BC 交 BC 于 H 如图 2 DH AC BDDH BAAC 4 53 DH 12 5 DH 同理可得 4 5 CH DH AC CEPC DHPH 2 124 55 CP CP CP 4 ECP 90 tanBPD 1 2 3 如图 3 当 1 tan 3 BPD 时 设 CE x CP 3x 由 2 BDDH BAAC CEPC DHPH 设 BD m 1 1 m x DH m 3 1 1 m x PH m 33 1 mx CH m 33BCmx 222 1 33 1 mmxx 12 51 4 x mxm 舍 y m 1 x 1 3m 3x 3x 3 H H A BC D E P 图3 图2 P E D C B A 图1 P E D C B A 点拨 此题还有其它解法 过 D 作一垂线交线段 AC 此法也较为容易 反馈 1 如图 OE 5 2r CH 2 2 如图 连接QC QD 则90CQD QHCQDC 易知CHPDQP 故 DPDQ PHCH 3 22 DQ 3DQ 由于4CD 用心 爱心 专心12 3 coscos 4 QD QHCQDC CD 3 如图 连接AK AM 延长AM 与圆交于点G 连