高一物理运动学公式整理

一一 运动学公式运动学公式 1 平均速度定义式 tx 当式中取无限小时 就相当于瞬时速度 t 如果是求平均速率 应该是路程除以时间 请注意平均速率与平均速度在大小上 面的区别 2 两种平均速率表达式 以下两个表达式在计算题中不可直接应用 如果物体在前一半时间内的平均速率为 后一半时间内的平均速率为 则整 1 2 个过程中的平均速率为 2 21 如果物体在前一半路程内的平均速率为 后一半路程内的平均速率为 则整 1 2 个过程中的平均速率为 21 21 2 t x t x 路 位 时间 路程 平均速率 时间 位移大小 平均速度大小 3 加速度的定义式 ta 在物理学中 变化量一般是用变化后的物理量减去变化前的物理量 应用该式时尤其要注意初速度与末速度方向的关系 与同向 表明物体做加速运动 与反向 表明物体做减速运动 a a 与没有必然的大小关系 a 1 1 匀变速直线运动的三个基本关系式 匀变速直线运动的三个基本关系式 速度与时间的关系at 0 位移与时间的关系 涉及时间优先选择 必须注意对于匀减速 2 0 2 1 attx 问题中给出的时间不一定就是公式中的时间 首先运用 判断出物体at 0 真正的运动时间 例例 1 1 火车以的速度开始刹车 刹车加速度大小 求经过 3s 和 6s 时火hkmv 54 2 3sma 车的位移各为多少 位移与速度的关系 不涉及时间 而涉及速度 ax t 2 2 0 2 一般规定为正 a 与 v0同向 a 0 取正 a 与 v0反向 a 0 取负 0 v 同时注意位移的矢量性 抓住初 末位置 由初指向末 涉及到 x 的正负问题 注意运用逆向思维 注意运用逆向思维 当物体做当物体做匀减速直线运动至停止 可等效认为反方向初速为零的匀加速直匀减速直线运动至停止 可等效认为反方向初速为零的匀加速直 线运动 线运动 例例 2 2 火车刹车后经过 8s 停止 若它在最后 1s 内通过的位移是 1m 求火车的加速度和刹车时 火车的速度 1 深刻理解 要是直线均可 运动还是往返运动 只轨迹为直线 无论单向 指大小方向都不变加速度是矢量 不变是 加速度不变的直线运动 2 公式 会 串 起来 2 2 2 1 22 0 2 2 0 2 2 0 0 t xt t vv vaxvvt attvx atvv 得消去基本公式 根据平均速度定义 V t x 2 0 000 0 2 0 2 1 22 2 1 2 1 t t vtav vvatvv atv t attv Vt 2 V VVt 0 2 t x 例 3 物体由静止从 A 点沿斜面匀加速下滑 随后在水平面上做匀减速直线运动 最后停止于 C 点 如图所示 已知 AB 4m BC 6m 整个运动用时 10s 则沿 AB 和 BC 运动的加速度a1 a2 大小分别是多少 推导 第一个 T 内 第二个 T 内 又 2 0 2 1 aTTvx 2 1 2 1 aTTvx aTvv 01 x x x aT2 故有 下列常用推论 a 平均速度公式 vvv 0 2 1 b 一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 vvvvt 0 2 2 1 A C B c 一段位移的中间位置的瞬时速度 2 22 0 2 vv vx d 任意两个连续相等的时间间隔 T 内位移之差为常数 逐差相等 2 aTnmxxx nm 关系 不管是匀加速还是匀减速 都有 关系 不管是匀加速还是匀减速 都有 22 0 22 0tt vvvv 中间位移的速度大于中间时刻的速度中间位移的速度大于中间时刻的速度 以上公式或推论 适用于一切匀变速直线运动 记住一定要规定正方向 选定参照物 注意 上述公式都只适用于匀变速直线运动 即 加速度大小 方向不变的运动 注意 在求解加速度时 若计数点间间距不满足注意 在求解加速度时 若计数点间间距不满足 任意两个连续相等的时间间隔 任意两个连续相等的时间间隔 T T 内位移之 内位移之 差为常数差为常数 一般用逐差法求加速度比较精确 一般用逐差法求加速度比较精确 2 2 和逐差法求加速度应用分析和逐差法求加速度应用分析 2 aTx 1 1 由于匀变速直线运动的特点是 物体做匀变速直线运动时 若加速度为 由于匀变速直线运动的特点是 物体做匀变速直线运动时 若加速度为 a a 在各个连续 在各个连续 相等的时间相等的时间 T T 内发生的位移依次为内发生的位移依次为 X X1 1 X X2 2 X X3 3 X Xn n 则有 则有 X X2 2 X X1 1 X X3 3 X X2 2 X X4 4 X X3 3 X Xn n X Xn n 1 1 aT aT2 2 即任意两个连续相等的时间内的位移差相符 可以依据这个特点 判断原物体是否做匀即任意两个连续相等的时间内的位移差相符 可以依据这个特点 判断原物体是否做匀 变速直线运动或已知物体做匀变速直线运动 求它的加速度 变速直线运动或已知物体做匀变速直线运动 求它的加速度 例 4 某同学在研究小车的运动的实验中 获得一条点迹清楚的纸带 已知打点计时器 每隔 0 02s 打一个计时点 该同学选 A B C D E F 六个计数点 对计数点进行测 量的结果记录在下图中 单位是 cm 试计算小车的加速度为多大 解 由图知 x1 AB 1 50cm x2 BC 1 82cm x3 CD 2 14cm x4 DE 2 46cm x5 EF 2 78cm 则 x2 x1 0 32cm x3 x2 0 32cm x4 x3 0 32cm x5 x4 0 32cm 小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差相等位移之差相等 小车的运动是匀加速直线运动 即 又 cmx32 0 2 aTx 2 2 2 2 0 2 02 0 2 1032 0 sm T x a 说明 该题提供的数据可以说是理想化了 实际中很难出现 x2 x1 x3 x2 x4 x3 x5 x4 因为实验总是有误差的 例 5 如下图所示 是某同学测量匀变速直线运动的加速度时 从若干纸带中选出的一 条纸带的一部分 他每隔 4 个点取一个计数点 图上注明了他对各计算点间距离的测 量结果 试验证小车的运动是否是匀变速运动 解 x2 x1 1 60 x3 x2 1 55 x4 x3 1 62 x5 x4 1 53 x6 x5 1 63 故可以得出结论 小车在任意两个连续相等的时间里的位移之差不相等位移之差不相等 但是在实 验误差允许的范围内相等 小车的运动可认为是匀加速直线运动 上面的例 2 只是要求我们判断小车在实验误差内做什么运动 若进一步要我们求出 该小车运动的加速度 应怎样处理呢 此时 应用逐差法处理数据 由于题中条件是已知 x1 x2 x3 x4 x5 x6共六个数据 应分为 3 组 2 14 1 3T xx a 2 25 2 3T xx a 2 36 3 3T xx a 即 333 3 1 3 1 2 36 2 25 2 14 321 T xx T xx T xx aaaa 2 123654 33 T xxxxxx a 即全部数据都用上 这样相当于把 2n 个间隔分成 n 个为第一组 后 n 个为第二组 这样起到了减小误差的目的 而如若不用逐差法而是用 再求加速度有 2 56 5 2 45 4 2 34 3 2 23 2 2 12 1 T xx a T xx a T xx a T xx a T xx a 2 16 2 16 54321 55 1 5 1 T xx T xx aaaaaa 相当于只用了 S6与 S1两个数据 这样起不到用多组数据减小误差的目的 很显然 若 题目给出的条件是偶数段 都要分组进行求解 分别对应 即 大段之和减去小段之和 2 2 若在练习中出现奇数段 如 若在练习中出现奇数段 如 3 3 段 段 5 5 段 段 7 7 段等 这时我们发现不能恰好分成两段等 这时我们发现不能恰好分成两 组 组 考虑到实验时中间段的数值较接近真实值 不分析中间段 应分别采用下面求法 考虑到实验时中间段的数值较接近真实值 不分析中间段 应分别采用下面求法 3 3 另外 还有两种特殊情况 说明如下 另外 还有两种特殊情况 说明如下 如果题目中数据理想情况 发现 S2 S1 S3 S2 S4 S3 此时不需再用逐差法 直接使用即可求出 若题设条件只有像 此时 又如 此时 2 2 一组比例式 一组比例式 初速为零的匀加速直线运动规律 典例 自由落体运动 1 在 1T 末 2T 末 3T 末 ns 末的速度比为 1 2 3 n 2 在 1T 内 2T 内 3T 内 nT 内的位移之比为 12 22 32 n2 3 在第 1T 内 第 2T 内 第 3T 内 第 nT 内的位移之比为 1 3 5 2n 1 各个 相同时间间隔均为 T 4 从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为 1 21 32 nn 1 5 从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比 1n 23 12 1 n 6 通过连续相等位移末速度比为 1 23n 3 3 自由落体运动的三个基本关系式 自由落体运动的三个基本关系式 1 速度与时间的关系gt 2 位移与时间的关系 2 2 1 gth 3 位移与速度的关系gh2 2 4 4 竖直上抛运动 竖直上抛运动 速度和时间的对称 分过程 上升过程匀减速直线运动 下落过程初速为 0 的匀加速直线运动 全过程 是初速度为 V0加速度为 g 的匀减速直线运动 适用全过程 x Vo t g t2 Vt 1 2 Vo g t Vt2 Vo2 2gx x Vt的正 负号的理解 上升最大高度 H 上升的时间 t V g o 2 2 V g o 对称性 上升 下落经过同一位置时的加速度相同 而速度等值反向 上升 下落经过同一段位移的时间相等 g v tt 0 下上 从抛出到落回原位置的时间 t 2 下上 tt g Vo 注意 自由落体运动就是初速为零的匀加速直线运动规律 故有下列比例式均成立 1 在 1T 末 2T 末 3T 末 ns 末的速度比为 1 2 3 n 2 在 1T 内 2T 内 3T 内 nT 内的位移之比为 12 22 32 n2 3 在第 1T 内 第 2T 内 第 3T 内 第 nT 内的位移之比为 1 3 5 2n 1 各个 相同时间间隔均为 T 4 从静止开始通过连续相等位移所用时间之比为 1 21 32 nn 1 5 从静止开始通过连续相等位移的平均速度之比 1n 23 12 1 n 6 通过连续相等位移末速度比为 1 23n 5 5 一题多解分析 一题多解分析 学完运动学一章后 问题是公式多 解题时无法选用合适公式 并用多种解法求解 达到 巩固公式 灵活运用公式的目的 例题 屋檐定时滴出雨滴 当第 5 滴正欲滴下时 第 1 滴刚好到达地面 而第 3 滴与第 2 滴正分别位于高为 1m 的窗户的上下沿 取 g 10m s2 问 1 此屋檐离地面的高度 2 滴水的时间间隔是多少 首先 要画出题设情景的示意图 如图所示 然后在图 中标注有关物理量 从中找出几何关系 要引入一个参数 即设两滴 雨滴之间的时间间隔为T 然后列方程求解 解法一 常规方法 学会做减法解法一 常规方法 学会做减法 第 2 滴与第 3 滴雨滴之间的距离等于这两个雨滴的位移之差 即s32 s2 s3 雨滴 2 下落的时间为 3T 运动的位移为 1 2 2 1 3 2 sgT 雨滴 3 下落的时间为 2T 运动的位移为 2 2 3 1 2 2 sgT 由几何关系 有 s32 s2 s3 3 由 1 2 3 解得 4 32 22 1 s0 2s 55 10 s T g 此屋檐离地面的高度为 5 22 1 11 4 10 0 8 m 3 2m 22 sgT 对本题也可以这么看 把图中同一时刻 5 个雨滴的位置 看成一个雨滴在 5 个不同时刻的 位置 即某一雨滴在t 0 时在位置 5 到达位置 4 3 2 1 的时间分别为T 2T 3T 4T 因 此本题又有以下解法 解法二 用初速为零的匀变速直线运动的规律求解解法二 用初速为零的匀变速直线运动的规律求解 比例法比例法 初速为零的匀变速直线运动的物体 在连续相等时间内的位移比为 1 3 5 因此有 s54 s43 s32 s21 1 3 5 7 所以 3232 154433221 55 1 35716 ss sssss 得 132 1616 1m 3 2m 55 ss 由 得 2 1 1 4 2 sgT 1 3 2 s 0 2s 88 10 s T g 解法三 用位移公式求解解法三 用位移公式求解 雨滴经过位置 3 时 速度为 v3 g 2T 2gT 1 由位移公式 有 2 2 323 1 2 sv TgT 5 4 3 2 1 s32 s1 s3 s2 由 1 2 得 3 32 22 1 s0 2s 55 10 s T g 此屋檐离地面的高度为 4 22 1 11 4 10 0 8 m 3 2m 22 sgT 解法四 用速度位移公式求解解法四 用速度位移公式求解 雨滴经过位置 3 时 速度为 v3 g 2T 2gT 1 雨滴经过位置 2 时 速度为 v2 g 3T 3gT 2 由速度位移公式 有 3 22 2332 2vvgs 由 1 2 3 得 4 32 22 1 s0 2s 55 10 s T g 此屋檐离地面的高度为 5 22 1 11 4 10 0 8 m 3 2m 22 sgT 解法五 用平均速度等于速度的平均值求解解法五 用平均速度等于速度的平均值求解 雨滴经过位置 3 时 速度为 v3 g 2T 2gT 1 雨滴经过位置 2 时 速度为 v2 g 3T 3gT 2 则雨滴经过位置 3 2 时间内的平均速度为 3 32 32 2 vv v 又 4 3232 svT 由 1 2 3 4 得 5 32 22 1 s0 2s 55 10 s T g 此屋檐离地面的高度为 6 22 1 11 4 10 0 8 m 3 2m 22 sgT 解法六 用平均速度等于中间时刻速度求解 先求时间间隔 解法六 用平均速度等于中间时刻速度求解 先求时间间隔 雨滴运动到位置 3 2 中间时刻的时间为 t 2 5T 此时雨滴的速度为 vt gt 2 5gT 1 由于中间时刻的速度等于这段时间内的平均速度 所以雨滴在位置 3 2 间运动的平均速度 为 2 32t vv 又 3 3232 svT 由 1 2 3 得 4 32 22 1 s0 2s 55 10 s T g 此屋檐离地面的高度为 5 22 1 11 4 10 0 8 m 3 2m 22 sgT 解法七 用平均速度等于中间时刻速度求解 先求高度 解法七 用平均速度等于中间时刻速度求解 先求高度 雨滴在位置 3 2 间运动的平均速度等于该段过程中间时刻的速度 即 1 32 2 5 2 5vgTgT 雨滴在整个运动中的平均速度等于全过程中间时刻的速度 即 2 51 2 2vgTgT 有 3 3232 151 4 svT svT 由 1 2 3 得 4 132 1616 1m 3 2m 55 ss 由 得 5 2 1 1 4 2 sgT 1 3 2 s 0 2s 88 10 s T g 解法八 用图象法求解解法八 用图象法求解 画出某一雨滴运动的v t图象如图 在v t图象中 面积等于位移 由图可知 1 2 32 23 2 51 2 gTgTT ssgT 阴 屋檐离地面高度为 2 2 1 44 8 2 TgT ssgT 由 1 2 解得 T 0 2s s1 3 2m 3 从以上解题过程可以看出 用运动学公式解题 方法具有多样性 要注意以下几点 一 首先要画出运动的示意图 并注意几何关系 二 公式要熟练 才能灵活运用 三 可以适当 引入一个参数 便于求解 专题专题 追击问题分析追击问题分析 追及 相遇问题的特点 讨论追及 相遇的问题 其实质就是分析讨论两物体在相同时间 内能否到达相同的空间位置问题 一定要抓住两个关系 即时间关系和位移关系 一个条件 即两者速度相等 它往往是物体间能否追上 追不上或 两者 距离最大 最小的临界条件 也是分析判断的切入点 提示 在分析时 最好结合图像来分析运动过程 tv 一 把握实质 一 把握实质 1 1 相遇和追击问题的实质 相遇和追击问题的实质 研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题 2 2 解相遇和追击问题的关键解相遇和追击问题的关键 画出物体运动的情景图 理清三大关系 1 时间关系 为先后运动的时间差 2 位移关系 ttt BA t xxx BA t s v m s 1 0 T 2T 3T 4T 2gT 3gT 4gT 其中为运动开始计时的位移之差 x 3 速度关系 两者速度相等两者速度相等 它往往是物体间能否追上或 两者 距离最大 最小的临界 条件 也是分析判断的切入点 二 特征分析 二 特征分析 3 相遇和追击问题剖析 一 追及问题 一 追及问题 1 1 追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系 追及问题中两者速度大小与两者距离变化的关系 甲物体追赶前方的乙物体 若甲的速度大于乙的速度 则两者之间的距离 若甲 的速度小于乙的速度 则两者之间的距离 若开始甲的速度小于乙的速度过一段时间 后两者速度相等 则两者之间的距离 填最大或最小 2 2 分析追及问题的注意点 分析追及问题的注意点 要抓住一个条件 两个关系 一个条件是两物体的速度满足的临界条件 如 两物体距离最大 最小 恰好追上或恰好追不上等 两个关系是时间关系和位移关系 通过画草图找两物体的位移关系是解题的突破口 若被追赶的物体做匀减速运动 一定要注意追上前该物体是否已经停止运动 仔细审题 充分挖掘题目中的隐含条件 同时注意图象的应用 vt 三 追击 相遇问题的分析方法三 追击 相遇问题的分析方法 A 画出两个物体运动示意图 根据两个物体的运动性质 选择同一参照物 列出两个物体的位 移方程 B 找出两个物体在运动时间上的关系 C 找出两个物体在运动位移上的数量关系 D 联立方程求解 说明 追击问题中常用的临界条件 速度小者追速度大者 追上前两个物体速度相等时 有最大距离 速度大者减速追赶速度小者 追上前在两个物体速度相等时 有最小距离 即必须在 此之 前追上 否则就不能追上 四 追击类型 分析四 追击类型 分析 6 6 种模型 种模型 1 匀加速运动追匀速运动的情况 开始时匀加速运动追匀速运动的情况 开始时v v1 1 v v2 2 v1v2时 两者距离变小 相遇时满足x1 x2 x 全程只相遇 即追上 一次 课堂练习 1 一小汽车从静止开始以 3m s2的加速度行驶 恰有一自行车以 6m s 的速度从车 边匀速驶过 求 1 小汽车从开动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远 此时距离 是多少 2 小汽车什么时候追上自行车 此时小汽车的速度是多少 2 匀速运动追匀加速运动的情况 开始时匀速运动追匀加速运动的情况 开始时v v1 1 v v2 2 v1 v2时 两者距离变小 v1 v2时 若满足x1 x2 x 则后者撞上前者 或超越前者 此条件下理论上全程 要相遇两次 课堂练习 2 一个步行者以 6m s 的最大速率跑步去追赶被红灯阻停的公共汽车 当他距离公 共汽车 25m 时 绿灯亮了 汽车以 1m s2的加速度匀加速启动前进 问 人能否追上汽车 若 能追上 则追车过程中人共跑了多少距离 若不能追上 人和车最近距离为多少 3 匀减速运动追匀速运动的情况 开始时匀减速运动追匀速运动的情况 开始时v v1 1 v v2 2 v1 v2时 两者距离变小 v1 v2时 若满足x1 x2 x 则后者撞上前者 或超越前者 此条件下理论上全程 要相遇两次 课堂练习 3 在一条平直的公路上 乙车以 10m s的速度匀速行驶 甲车在乙车的后面作初速 度为 15m s 加速度大小为 0 5m s2的匀减速运动 则两车初始距离L满足什么条件时可以使 1 两车不相遇 2 两车只相遇一次 3 两车能相遇两次 设两车相遇时互不影响各自 的运动 课堂练习 4 汽车正以 10m s 的速度在平直公路上前进 突然发现正前方有一辆自行车以 4m s 的速度做同方向的匀速直线运动 汽车立即关闭油门做加速度大小为 6 m s2的匀减速运动 汽 车恰好不碰上自行车 求关闭油门时汽车离自行车多远 4 4 匀速运动追匀减速运动的情况 开始时匀速运动追匀减速运动的情况 开始时v v1 1 v v2 2 v1v2时 两者距离变小 相遇时满足x1 x2 x 全程只相遇一次 课堂练习 5 当汽车B在汽车A前方 7m 时 A正以vA 4m s 的速度向前做匀速直线运动 而汽 车B此时速度vB 10m s 并关闭油门向前做匀减速直线运动 加速度大小为a 2m s2 此时开 始计时 则A追上B需要的时间是多少 5 5 匀减速运动的物体追同向匀减速运动的物体匀减速运动的物体追同向匀减速运动的物体 追赶者不一定能追上被追者 但在两物体始终不相遇 当后者初速度大于前者初速度时 它们间有相距最小距离的时候 两物体在运动过程中总存在速度相等的时刻 课堂练习 6 甲 乙两物体相距s 在同一直线上同方向做匀减速运动 速度减为零后就保持 静止不动 甲物体在前 初速度为v1 加速度大小为a1 乙物体在后 初速度为v2 加速度大 小为a2且知v1 v2 但两物体一直没有相遇 求甲 乙两物体在运动过程中相距的最小距离为 多少 提示 若不考虑速度大小的关系 可做三种图像分析 tv 6 6 初速度为零的匀加速运动初速度为零的匀加速运动的物体甲追赶同方向的的物体甲追赶同方向的匀速运动匀速运动的物体乙的物体乙 只要时间足够长 追赶着一定能追上被追赶者发生碰撞 追上前有最大距离的条件 两物体速度相等 即 若位移相等即追上 同一地点出发 vv 乙甲 课堂练习 7 一辆值勤的警车停在公路旁 当警员发现从他旁边以v 8m s的速度匀速行驶的 货车有违章行为时 决定前去拦截 经 2 5s 警车发动起来 以a 2m s2加速度匀加速开出 警车以加速度a维持匀加速运动能达到的最大速度为 126km h 试问 1 警车要多长时间才能追上违章的货车 2 在警车追上货车之前 两车间的最大距离是多少 二二 相遇问题 相遇问题 同向运动的两物体的相遇问题即追及问题 分析同上 在此不作分析 相向运动的物体 当各自发生的位移绝对值的和等于开始时两物体间的距离时即相遇 五 具体方法分析 五 具体方法分析 常用 4 种方法 基本公式法 图像法 相对运动法 数学方法 1 1 基本公式法 基本公式法 根据运动学公式 把时间关系渗透到位移关系和速度关系中列式求解 2 2 图像法 图像法 正确画出物体运动的 v t 图像 根据图像的斜率 截距 面积的物理意义结 合三大关系求解 在利用求解时 两图线与 轴围成的面积之差表示相对位移 即 vt t BA xxx 3 3 相对运动法 相对运动法 巧妙选择参考系 简化运动过程