理科数学2010-2019高考真题分类训练34专题十一概率与统计第三十四讲古典概型与几何概型—附解析答案

专题十一 概率与统计 第三十四讲 古典概型与几何概型 2019 年 1 2019 全国 I 理 6 我国古代典籍 周易 用 卦 描述万物的变化 每一 重卦 由从 下到上排列的 6 个爻组成 爻分为阳爻 和阴爻 如图就是一重卦 在 所有重卦中随机取一重卦 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 2 2019 江苏 6 从 3 名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务 则选出的 2 名同学中至少有 1 名女同学的概率是 3 2019 全国 I 理 15 甲 乙两队进行篮球决赛 采取七场四胜制 当一队赢得四场胜利 时 该队获胜 决赛结束 根据前期比赛成绩 甲队的主客场安排依次为 主主客客主客 主 设甲队主场取胜的概率为 0 6 客场取胜的概率为 0 5 且各场比赛结果相互独立 则 甲队以 4 1 获胜的概率是 4 2019 全国 II 理 18 11 分制乒乓球比赛 每赢一球得 1 分 当某局打成 10 10 平后 每球交换发球权 先多得 2 分的一方获胜 该局比赛结束 甲 乙两位同学进行单打比赛 假设甲发球时甲得分的概率为 0 5 乙发球时甲得分的概率为 0 4 各球的结果相互独立 在 某局双方 10 10 平后 甲先发球 两人又打了 X 个球该局比赛结束 1 求 P X 2 2 求事件 X 4 且甲获胜 的概率 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆 构成 三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC 直角边AB AC ABC 的三边所围成的区域记为 黑色部分记为 其余部分记为 在整个图形中随机取 一点 此点取自 的概率分别记为 1 p 2 p 3 p 则 A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 2 2018 全国卷 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果 哥 德巴赫猜想是 每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和 如307 23 在不超过 30 的素数中 随机选取两个不同的数 其和等于 30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 3 2017 新课标 如图 正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图 正方形内切圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 在正方形内随机取一点 则此 点取自黑色部分的概率是 A 1 4 B 8 C 1 2 D 4 4 2017 山东 从分别标有1 2 9的9张卡片中不放回地随机抽取 2 次 每次抽取 1 张 则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 A 5 18 B 4 9 C 5 9 D 7 9 5 2016 年全国 I 某公司的班车在 7 30 8 00 8 30 发车 小明在 7 50 至 8 30 之间到达发 车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 则他等车时间不超过 10 分钟的概率是 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 6 2016 年全国 II 从区间 0 1随机抽取 2n 个数 1 x 2 x n x 1 y 2 y n y 构成 n个数对 11 x y 22 xy nn xy 其中两数的平方和小于 1 的数对共有m个 则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 A 4n m B 2n m C 4m n D 2m n 7 2015 广东 袋中共有15个除了颜色外完全相同的球 其中有10个白球 5个红球 从 袋中任取2个球 所取的2个球中恰有1个白球 1个红球的概率为 A 5 21 B 10 21 C 11 21 D 1 8 2014 新课标 1 4 位同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动 则周六 周 日都有同学参加公益活动的概率为 A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 9 2014 江西 掷两颗均匀的骰子 则点数之和为 5 的概率等于 A 1 18 B 1 9 C 1 6 D 1 12 10 2014 湖南 在区间 2 3 上随机选取一个数X 则1X 的概率为 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 11 2014 辽宁 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中 其中2AB 1BC 则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是 A D C B A 2 B 4 C 6 D 8 12 2014 陕西 从正方形四个顶点及其中心这 5 个点中 任取 2 个点 则这 2 个点的距离 小于该正方形边长的概率为 A 1 5 B 2 5 C 3 5 D 4 5 13 2014 湖北 由不等式 02 0 0 xy y x 确定的平面区域记为 1 不等式 2 1 yx yx 确定的平面区域记为 2 在 1 中随机取一点 则该点恰好在 2 内的概率为 A 8 1 B 4 1 C 4 3 D 8 7 14 2013 陕西 如图 在矩形区域 ABCD 的 A C 两点处各有一个通信基站 假设其信号 覆盖范围分别是扇形区域 ADE 和扇形区域 CBF 该矩形区域内无其他信号来源 基站工 作正常 若在该矩形区域内随机地选一地点 则该地点无 信号的概率是 A 1 4 B 1 2 C 2 2 D 4 15 2013 安徽 若某公司从五位大学毕业生甲 乙 丙 丁 戊中录用三人 这五人被录 用的机会均等 则甲或乙被录用的概率为 A 2 3 B 2 5 C 3 5 D 9 10 16 2013 新课标 1 从1 2 3 4中任取2个不同的数 则取出的2个数之差的绝对值为2的 概率是 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D 1 6 17 2013 湖南 已知事件 在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P 使 APB 的最大边是 AB 发生的概率为 1 2 则 AD AB A 1 2 B 1 4 C 3 2 D 7 4 18 2012 辽宁 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C 现作一矩形 邻边长分别等于线 段 AC CB 的长 则该矩形面积小于 32 2 cm的概率为 1 2 D A C B E F A B C C B A A 1 6 B 1 3 C 2 3 D 4 5 19 2012 北京 设不等式组 02 02 x y 剟 剟 表示的平面区域为D 在区域D内随机取一个点 则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是 A 4 B 2 2 C 6 D 4 4 20 2011 新课标 有 3 个兴趣小组 甲 乙两位同学各自参加其中一个小组 每位同学参 加各个小组的可能性相同 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A 1 3 B 1 2 C 2 3 D 3 4 二 填空题 21 2018 江苏 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生 现从中任选 2 名学生去参加活动 则恰 好选中 2 名女生的概率为 22 2018 上海 有编号互不相同的五个砝码 其中 5 克 3 克 1 克砝码各一个 2 克砝码 两个 从中随机选取三个 则这三个砝码的总质量为 9 克的概率是 结果用最简 分数表示 23 2017 江苏 记函数 2 6f xxx 的定义域为D 在区间 4 5 上随机取一个 数x 则xD 的概率是 24 2016 年山东 在 1 1 上随机地取一个数k 则事件 直线ykx 与圆 22 5 9xy 相交 发生的概率为 25 2015 江苏 袋中有形状 大小都相同的 4 只球 其中 1 只白球 1 只红球 2 只黄球 从中一次随机摸出 2 只球 则这 2 只球颜色不同的概率为 26 2014 新课标 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行 则 2 本数学 书相邻的概率为 27 2014 重庆 某校早上 8 00 上课 假设该校学生小张与小王在早上 7 30 7 50 之间到 校 且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的 则小张比小王至少早 5 分钟到校的 概率为 用数字作答 28 2014 新课标 2 甲 已两名运动员各自等可能地从红 白 蓝 3 种颜色的运动服中选 择 1 种 则他们选择相同颜色运动服的概率为 29 2014 浙江 在 3 张奖券中有一 二等奖各 1 张 另 1 张无奖 甲 乙两人各抽取 1 张 两人都中奖的概率是 30 2013 山东 在区间 3 3 上随机取一个数x 使得121xx 成立的概率为 31 2013 福建 利用计算机产生1 0之间的均匀随机数a 则事件 013 a 发生的概 率为 32 2013 新课标 从1 2 3 4 5中任意取出两个不同的数 其和为5的概率是 33 2013 湖北 在区间 2 4 上随机地取一个数 x 若 x 满足 xm 的概率为 5 6 则 m 34 2012 江苏 现有 10 个数 它们能构成一个以 1 为首项 3 为公比的等比数列 若从 这 10 个数中随机抽取一个数 则它小于 8 的概率是 35 2012 浙江 从边长为 1 的正方形的中心和顶点这五点中 随机 等可能 取两点 则 该两点间的距离为 2 2 的概率是 36 2011 湖南 已知圆 22 12 C xy 直线 4325 lxy 1 圆C的圆心到直线l的距离为 2 圆C上任意一点A到直线l的距离小于 2 的概率为 37 2011 江苏 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 则其中一个数是另一个的两 倍的概率为 三 解答题 38 2016 年全国 II 某险种的基本保费为 a 单位 元 继续购买该险种的投保人称为续 保人 续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下 上年度出险次数 0 1 2 3 4 5 保 费 0 85a a 1 25a 1 5a 1 75a 2a 设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下 一年内出险次数 0 1 2 3 4 5 概 率 0 30 0 15 0 20 0 20 0 10 0 05 求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率 若一续保人本年度的保费高于基本保费 求其保费比基本保费高出60 的概率 求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值 39 2015 安徽 已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起 现需要通过检测将其区分 每次随 机检测一件产品 检测后不放回 直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结果 1 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率 2 已知每检测一件产品需要费用 100 元 设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用 单位 元 求X的分布列和均值 数学期望 40 2014 山东 海关对同时从 A B C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测 从 各地区进口此种商品的数量 单位 件 如右表所示 工作人员用分层抽样的方法从这 些商品中共抽取 6 件样品进行检测 地区 A B C 数量 50 150 100 求这 6 件样品中来自 A B C 各地区商品的数量 II 若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测 求这 2 件商品来自 相同地区的概率 41 2014 天津 某校夏令营有 3 名男同学CBA 和 3 名女同学ZYX 其年级情况如下 表 一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X Y Z 现从这 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛 每人被选到的可能性相同 用表中字母列举出所有可能的结果 设M为事件 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学 求事 件M发生的概率 42 2013 辽宁 现有 6 道题 其中 4 道甲类题 2 道乙类题 张同学从中任取 2 道题解答 试求 I 所取的 2 道题都是甲类题的概率 II 所取的 2 道题不是同一类题的概率 43 2013 湖南 某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点 指纵 横 直线的交叉点以及三角形的顶点 处都种了一株相同品种的作物 根据历年的种植经验 一株该种作物的年收获量 Y 单位 kg 与它的 相近 作物株数 X 之间的关系如下表 所示 X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 这里 两株作物 相近 是指它们之间的直线距离不超过 1 米 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 求它们恰好 相近 的概率 从所种作物中随机选取一株 求它的年收获量的分布列与数学期望 44 2012 新课标 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝 10 元的价格出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花做垃圾处理 若花店一天购进 17 枝玫瑰花 求当天的利润y 单位 元 关于当天需求量n 单 位 枝 n N 的函数解析式 花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 i 假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花 求这 100 天的日利润 单位 元 的 平均数 ii 若花店一天购进 17 枝玫瑰花 以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的 概率 求当天的利润不少于 75 元的概率 45 2012 山东 袋中有五张卡片 其中红色卡片三张 标号分别为 1 2 3 蓝色卡片两张 标号分别为 1 2 从以上五张卡片中任取两张 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率 现袋中再放入一张标号为 0 的绿色卡片 从这六张卡片中任取两张 求这两张卡片 颜色不同且标号之和小于 4 的概率 46 2011 陕西 如图 A 地到火车站共有两条路径 1 L和 2 L 据统计 通过两条路径所用 的时间互不影响 所用时间落在各时间段内的频率如下表 时间 分钟 10 20 20 30 30 40 40 50 50 60 1 L的频率 0 1 0 2 0 3 0 2 0 2 2 L的频率 0 0 1 0 4 0 4 0 1 现甲 乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站 为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站 甲和乙应如何选择各自的路径 用 X 表示甲 乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数 针对 的选择 方案 求X的分布列和数学期望 47 2011 山东 甲 乙两校各有 3 名教师报名支教 其中甲校 2 男 1 女 乙校 1 男 2 女 I 若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名 写出所有可能的结果 并求选出的 2 名 教师性别相同的概率 II 若从报名的 6 名教师中任选 2 名 写出所有可能的结果 并求选出的 2 名教师来 自同一学校的概率 专题十一 概率与统计 第三十四讲 古典概型与几何概型 答案部分 1 解析解析 在所有重卦中随机取一重卦 基本事件总数 6 264n 该重卦恰有 3 个阳爻包含的基本个数 33 63 C C20m 则该重卦恰有 3 个阳爻的概率 205 6416 m p n 故选 A 2 解析解析 从 3名男同学和 2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务 基本事件总数 2 5 C10n 选出的 2名同学中至少有 1 名女同学包含的基本事件个数 112 322 C CC7m 所以选出的 2名同学中至少有 1 名女同学的概率是 7 10 m P n 3 解析解析 由题意可得 一共比赛了 5 场 且第 5 场甲获胜 前 4 场甲队胜 3 场 输 1 场 有 2 种情况 甲队主场输 1 场 其概率为 122 122 C0 6 0 4 C0 50 12P 甲队客场输 1 场 其概率为 221 222 C0 6C0 5 0 50 18P 由于第 5 场必定是甲队胜 所以 2 12 0 60 18PPP 则甲队以 4 1 获胜的概率为 0 18 4 解析解析 1 X 2就是10 10平后 两人又打了2个球该局比赛结束 则这2个球均由甲得分 或者均由乙得分 因此P X 2 0 5 0 4 1 0 5 1 04 05 2 X 4且甲获胜 就是10 10平后 两人又打了4个球该局比赛结束 且这4个球的得分 情况为 前两球是甲 乙各得1分 后两球均为甲得分 因此所求概率为 0 5 1 0 4 1 0 5 0 4 0 5 0 4 0 1 2010 2018 年 1 A 解析 通解 设直角三角形ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 则区域 I 的面积即 ABC的面积 为 1 1 2 Sbc 区域 的面积 2 2 1 22 c S 2 2222 11111 2 2222822 a b bccbabcbc 所以 12 SS 由几 何概型的知识知 12 pp 故选 A 优解 不妨设 ABC为等腰直角三角形 2 ABAC 则2 2 BC 所以区域 I 的面积即 ABC的面积 为 1 1 2 22 2 S 区域 的面积 2 2 2 2 1 2 2 2 S 区域 的面积 2 3 2 22 2 S 根据几何概型的概率计算公式 得 12 2 2 pp 3 2 2 p 所以 13 pp 23 pp 123 ppp 故选 A 2 C 解析 不超过 30 的素数有 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 共 10 个 从中 随机选取两个不同的数有 2 10 C种不同的取法 这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的 有 3 对 所以所求概率 2 10 31 C15 P 故选 C 3 B 解析 设正方形的边长为2a 由题意可知太极图的黑色部分的面积是圆的面积的一 半 根据几何概型的概率计算 所求概率为 2 2 1 2 48 a a 选 B 4 C 解析 不放回的抽取 2 次有 11 98 C C9 872 如图 2 1 3 4 5 6 7 8 92 3 4 5 6 7 8 9 1 可知 1 2 与 2 1 是不同 所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 11 54 2C C 40 所求 概率为 405 728 5 B 解析 由题意得图 8 308 208 108 007 50 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为 1 2 6 C 解析 由题意得 1 2 ii xyin 在如图所示方格中 而平方和小于 1 的点 均在如图所示的阴影中 由几何概型概率计算公式知 4 1 m n 4 m n 故选 C 7 B 解析 基本事件总数为 2 15 C 恰有1个白球与 1 个红球的基本事件为 11 105 C C 所求 概率为 11 105 2 15 10 21 C C C 8 D 解析 4 4 227 28 P 9 B 解析 掷两颗均匀的骰子的所有基本事件有6 636 种 点数之和为 5 的有 4 中 所以所求概率为 41 369 10 B 解析 区间长度为3 2 5 2 1 的长度为1 2 3 故满足条件的概率为 2 3 P 11 B 解析 由几何模型的概率计算公式 所求概率 1 2 24 S P S 阴影 长方形 12 B 解析 5 个点中任取 2 个点共有 10 种方法 若 2 个点之间的距离小于边长 则这 2 个点中必须有 1 个为中心点 有 4 种方法 于是所求概率 42 105 P 13 D 解析 由题意作图 如图所示 1 的面 积为 1 2 22 2 图中阴影部分的面积 为 1227 2 2224 则所求的概率 7 8 P 选 D 14 A 解析 由题设可知矩形 ABCD 面积为 2 曲边形 DEBF 的面积为2 2 故所求概率 为 2 2 1 24 选 A 15 D 解析 总的可能性有 10 种 甲被录用乙没被录用的可能性 3 种 乙被录用甲没被 录用的可能性 3 种 甲乙都被录用的可能性 3 种 所以最后的概率 333 1 10 p 16 B 解析 任取两个不同的数有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4共 6 种 2 个数 之差的绝对值为 2 的有 1 32 4 故 21 63 P 17 D 解析 由已知 点 P 的分界点恰好是边 CD 的四等分点 由勾股定理可得 222 3 4 ABABAD 解得 2 7 16 AD AB 即 7 4 AD AB 故选 D 18 C 解析 如图所示 令 AC x CB y 则 12 0 y 0 x yx 矩形面积设为S 则 12 32S xy xx 解得0 48 12xx 或 该矩形面积小于 32 2 cm的概率为 82 123 故选 C 19 D 解析 不等式组 02 02 x y 剟 剟 表示坐标平面内的一个正方形区域 设区域内的点的坐 标为 x y 则随机事件 在区域 D 内取点 此点到坐标原点的距离大于 2 表示的区域 就是圆 22 4xy 的外部 即图中的阴影部分 故所求的概率为 4 4 20 A 解析 记三个兴趣小组分别为 1 2 3 甲参加 1 组记为 甲 1 则基本事件为 甲 1 乙 1 甲 1 乙 2 甲 1 乙 3 甲 2 乙 1 甲 2 乙 2 甲 2 乙 3 甲 3 乙 1 甲 3 乙 2 甲 3 乙 3 共 9 个 记事件 A 为 甲 乙两位同学参加同一个兴趣小组 其中 事件 A 有 甲 1 乙 1 甲 2 乙 2 甲 3 乙 3 共 3 个 因此 1 3 P A 21 3 10 解析 记 2 名男生分别为A B 3 名女生分别为a b c 则从中任选 2 名 学生有AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc 共 10 种情况 其中 恰好选中 2 名女生有ab ac bc 共 3 种情况 故所求概率为 3 10 22 1 5 解析 从 5 个砝码随机取 3 个共有 3 5 C10 种 总质量为 9 克共有 9 5 3 1 9 5 2 2 两种情况 所以三个砝码的总质量为 9 克的概率是 3 5 221 C105 23 5 9 解析 由 2 60 xx 解得23x 根据几何概型的计算公式得概率为 3 2 5 5 4 9 24 4 3 解析 圆 22 5 9xy 的圆心为 5 0 C 半径3r 故由直线与圆相交可得 2 50 1 k r k 即 2 5 3 1 k k 整理得 2 9 16 k 得 33 44 k 25 5 6 解析 从 4 只球中一次随机摸出 2 只球 有 6 种结果 其中这 2 只球颜色不同有 5 种结果 故所求概率为 5 6 26 2 3 解析 设 2 本数学书分别为 A B 语文书为 G 则所有的排放顺序有 ABC ACB BAC BCA CAB CBA 共 6 种情况 其中数学书相邻的有 ABC BAC CAB CBA 共 4 种情况 故 2 本数学书相邻的概率 42 63 P 27 9 32 解析 设小张与小王的到校时间分别为 7 00 后第x分钟 第y分钟 根据题意 可画出图形 如图所示 则总事件所占的面积为 2 5030 400 小张比小王至少早 5 分钟到校表示的事件 5 3050 3050Ax yyxxy 如图中阴 影部分所示 阴影部分所占的面积为 1225 15 15 22 所以小张比小王至少早 5 分钟 到校的概率为 9 32 P A 28 1 3 解析 甲 乙两名运动员各自等可能地从红 白 蓝 3 种颜色的运动服中选择 1 种的所有可能情况为 红 白 白 红 红 蓝 蓝 红 白 蓝 蓝 白 红 红 白 白 蓝 蓝 共 9 种 他们选择相同颜色运动服的所有可能情况 为 红 红 白 白 蓝 蓝 共 3 种 故所求概率为 1 3 P 29 1 3 解析 设 3 张奖券中一等奖 二等奖和无奖分别为 a b c 甲 乙两人各抽取一张 的所有情况有 ab ac ba bc ca cb共六种 其中两人都中奖的情况有 ab ba共 2 种 所以概率为 1 3 30 1 3 解析 设 12f xxx 则 3 31 1221 12 3 23 x f xxxxx x 由21 1x 解得12x 即当13x 时 1f x 由几何概型公式得所求概率为 3 121 3 3 63 31 3 1 解析 本题考查的是几何概型求概率 013 a 即 3 1 a 所以 3 1 1 3 1 P 32 1 5 解析 从 5 个正整中任意取出两个不同的数 有 2 5 10C 种 若取出的两数之和等 于 5 则有 1 4 2 3 共有 2 个 所以取出的两数之和等于 5 的概率为 21 105 33 3 解析 由几何概型 得 2 5 4 2 6 m 解得3m 34 5 3 解析 由题意得 1 3 n n a 易知前 10 项中奇数项为正 偶数项为负 所以小 于 8 的项为第一项和偶数项 共 6 项 即 6 个数 所以 63 105 P 35 2 5 解析 若使两点间的距离为 2 2 则为对角线一半 选择点必含中心 概率为 1 4 2 5 42 105 C C 36 解析 1 5 根据点到直线的距离公式得 25 5 5 d 2 1 6 设直线43xyc 到圆心的距离为 3 则 3 5 c 取15c 则直线 4315xy 把圆截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即所求的概率 由于圆的 半径是2 3 则可得直线4315xy 截得的劣弧所对的圆心角为60 故所求的概率 是 1 6 37 1 3 解析 从 1 2 3 4 这四个数中一次随机取两个数 基本事件为 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共 6 个 符合 一个数是另一个数的两倍 的基本事件为 1 2 2 4 共 2 个 所以概率为 1 3 38 解析 设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A 1 1 0 300 15 0 55P AP A 设续保人保费比基本保费高出60 为事件B 0 100 053 0 5511 P AB P B A P A 解 设本年度所交保费为随机变量X X 0 85a a 1 25a 1 5a 1 75a 2a P 0 30 0 15 0 20 0 20 0 10 0 05 平均保费 0 85 0 300 151 250 20 1 50 20 1 750 1020 05EXaaaaa 0 2550 150 250 30 1750 11 23aaaaaaa 平均保费与基本保费比值为1 23 39 解析 1 记 第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品 为事件A 11 23 2 5 3 10 A A P A A 2 X的可能取值为200 300 400 2 2 2 5 1 200 10 A P X A 3112 3232 3 5 3 300 10 AC C A P X A 136 400 1 200 300 1 101010 P XP XP X 故X的分布列为 X 200 300 400 P 1 10 3 10 6 10 136 200300400350 101010 EX 40 解析 I 因为样本容量与总体中的个数的比是 61 50 150 10050 所以样本中包含三个地区的个体数量分别是 1 501 50 1 1503 50 1 1002 50 所以 A B C 三个地区的商品被选取的件数分别为 1 3 2 II 设 6 件来自 A B C 三个地区的样品分别为 12312 A B B B C C 则抽取的这 2 件商品构成的所有基本事件为 123 A BA BA B 12 A CA C 1213111223 B BB BB CB CB B 2122313212 B CB CB CB CC C 共 15 个 每个样品被抽到的机会均等 因此这些基本事件的出现是等可能的 记事件 D 抽取的这 2 件商品来自相同地区 则事件 D 包含的基本事件有 12132312 B BB BB BC C共 4 个 所有 4 15 P D 即这 2 件商品来自相同地区的概率为 4 15 41 解析 I 从 6 名同学中随机选出 2 人参加知识竞赛的所有可能结果为 A B A C A X A Y A Z B C B X B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z 共 15 种 II 选出的 2 人来自不同年级且恰有 1 名男同学和 1 名女同学的所有可能接过为 A Y A Z B X B Z C X C Y 共 6 种 因此 事件M发生的概率 62 155 P M 42 解析 I 将 4 道甲类题依次编号为 1 2 3 4 2 道一类题依次编号为 5 6 任取 2 道题 基本事件为 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 3 2 4 2 5 2 6 3 4 3 5 3 6 4 5 4 6 5 6 共 15 个 而且这些基本事件的出现是等可 能的 用 A 表示 都是甲类题 这一事件 则 A 包含的基本事件有 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 共 6 个 所以 P A 62 155 II 基本事件向 I 用 B 表示 不是同一类题 这一事件 则 B 包含的基本事件有 1 5 1 6 2 5 2 6 3 5 3 6 4 5 4 6 共 8 个 所以 P B 8 15 43 解析 由图知 三角形边界共有 12 个格点 内部共有 3 个格点 从三角形上顶点按逆时针方向开始 分别有 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 2 1 对格点 共 8 对格点 恰好 相近 所以 从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物 它们恰好 相 近 的概率 9 2 312 8 P 三角形共有 15 个格点 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个 坐标分别为 4 0 0 4 15 4 51 YP所以 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个 坐标分别为 0 0 1 3 2 2 3 1 15 4 48 YP所以 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 3 个的格点有 6 个 坐标分别为 1 0 2 0 3 0 0 1 0 2 0 3 15 6 45 YP所以 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个 坐标分别为 1 1 1 2 2 1 15 3 42 YP所以 如下表所示 X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42 频数 2 4 6 3 概率 P 15 2 15 4 15 6 15 3 46 15 690 15 12627019