理科数学2010-2019高考真题分类训练12专题四三角函数与解三角形第十二讲 解三角形—附解析答案

专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 2019 年 1 2019 全 国 理 17 ABC 的 内 角 A B C 的 对 边 分 别 为 a b c 设 22 sinsin sinsinsinBCABC 1 求 A 2 若22abc 求 sinC 2 2019 全国 理 15 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 若 6 2 3 bac B 则ABC 的面积为 3 2019 全国 理 18 ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知sinsin 2 AC abA 1 求 B 2 若 ABC 为锐角三角形 且 c 1 求 ABC 面积的取值范围 4 2019 江苏 12 如图 在ABC 中 D 是 BC 的中点 E 在边 AB 上 BE 2EA AD 与 CE 交于点O 若6AB ACAO EC 则 AB AC 的值是 5 2019 江苏 15 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 1 若 a 3c b 2 cosB 2 3 求 c 的值 2 若 sincos 2 AB ab 求sin 2 B 的值 6 2019 浙江 14 在ABC 中 90ABC 4AB 3BC 点D在线段AC上 若45BDC 则BD cosABD 7 2019 北京 15 在ABC 中 a 3 b c 2 1 cos 2 B 求 b c 的值 求sin B C 的值 8 2019 天津理 15 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知2bca 3 sin4 sincBaC 求cosB的值 求sin 2 6 B 的值 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 在 ABC中 5 cos 25 C 1 BC 5 AC 则 AB A 4 2 B 30 C 29 D 2 5 2 2018 全国卷 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 若ABC 的面积 为 222 4 abc 则C A 2 B 3 C 4 D 6 3 2017 山东 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 若ABC 为锐角三 角形 且满足sin 1 2cos 2sincoscossinBCACAC 则下列等式成立的是 A 2ab B 2ba C 2AB D 2BA 4 2016 年天津 在ABC 中 若 13AB BC 3 120C 则 AC A 1 B 2 C 3 D 4 5 2016 年全国 III 在ABC 中 4 B BC 边上的高等于 1 3 BC 则cosA A 3 10 10 B 10 10 C 10 10 D 3 10 10 6 2014 新课标 钝角三角形ABC的面积是 1 2 1AB 2BC 则AC A 5 B 5 C 2 D 1 7 2014 重庆 已知ABC 的内角A B C满足sin2sin AABC sin CAB 1 2 面积S满足12S 记a b c分别为A B C所对的边 则下列不 等式一定成立的是 A 8 cbbc B 16 2ab ab C 126 abc D 1224abc 8 2014 江西 在ABC 中 a b c分别为内角A B C所对的边长 若 22 6cab 3 C 则ABC 的面积是 A 3 B 2 39 C 2 33 D 33 9 2014 四川 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的俯角分别为75 30 此时气球的高是60cm 则河流的宽度BC等于 A CB 60m 75 30 A 240 3 1 m B 180 21 m C 120 3 1 m D 30 3 1 m 10 2013 新课标 已知锐角ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 2 23cos A cos20A 7a 6c 则b A 10 B 9 C 8 D 5 11 2013 辽宁 在ABC 内角 A B C所对的边长分别为 a b c 若sincosaBC 1 sincos 2 cBAb 且ab 则B A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 12 2013 天津 在 ABC 中 2 3 4 ABBCABC 则sin BAC A 10 10 B 10 5 C 3 10 10 D 5 5 13 2013陕西 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 若coscossinbCcBaA 则 ABC 的形状为 A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 不确定 14 2012 广东 在ABC 中 若60 45 3 2ABBC 则AC A 4 3 B 2 3 C D 15 2011 辽宁 ABC 的三个内角 A B C 所对的边分别为 a b c 2 sincoscosaABbA 2a 则 a b A 2 3 B 2 2 C 3 D 2 16 2011 天津 如图 在 ABC中 D是边AC上的点 且 23ABADABBD 2BCBD 则sinC的值为 B A C D A 3 3 B 3 6 C 6 3 D 6 6 16 2010 湖南 在ABC 中 角 A B C所对的边长分别为 a b c 若120C 2ca 则 A ab B ab C ab D a与b的大小关系不能确定 二 填空题 18 2018 江苏 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 120ABC ABC 的平 分线交AC于点 D 且1BD 则4ac 的最小值为 19 2018 浙江 在ABC 中 角A B C所对的边分别为a b c 若7a 2b 60A 则sinB c 20 2017 浙江 已知ABC 4ABAC 2BC 点D为AB延长线上一点 2BD 连结CD 则BDC 的面积是 cosBDC 21 2017 浙江 我国古代数学家刘徽创立的 割圆术 可以估算圆周率 理论上能把 的 值计算到任意精度 祖冲之继承并发展了 割圆术 将 的值精确到小数点后七位 其 结果领先世界一千多年 割圆术 的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积 6 S 6 S 22 2016 年全国 II ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 若 4 cos 5 A 5 cos 13 C 1a 则b 23 2015 广东 设ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 若3a 1 sin 2 6 C 则b 24 2015 福建 若锐角ABC 的面积为10 3 且5AB 8AC 则BC等于 25 2015 新课标 在平面四边形ABCD中 75ABC 2BC 则AB 的取值范围是 26 2015 北京 在ABC 中 4a 5b 6c 则 sin2 sin A C 27 2015 天津 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知ABC 的面积为 3 15 2bc 1 cos 4 A 则a的值为 28 2015 湖北 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到A处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北30的方向上 行驶 600m 后到达B处 测得此山顶在西偏北75的 方向上 仰角为30 则此山的高度CD m 29 2014 新课标 如图 为测量山高MN 选择A和另一座山的山顶C为测量观测点 从 A点测得M点的仰角60MAN C点的仰角45CAB 以及75MAC 从C点测得60MCA 已知山高100BCm 则山高MN m C N A B M 30 2014 广东 在ABC 中 角CBA 所对应的边分别为cba 已知cosbC cos2cBb 则 b a 31 2013 安徽 设ABC 的内角 A B C所对边的长分别为 a b c 若2bca 则 3sin5sin AB 则角C 32 2013 福建 如图ABC 中 已知点 D 在 BC 边上 AD AC 2 2 sin 3 BAC 3 2AB 3AD 则BD的长为 A BC D 33 2012 安徽 设ABC 的内角 A B C所对的边为 a b c 则下列命题正确的是 若 2 abc 则 3 C 若2abc 则 3 C 若 333 abc 则 2 C 若 2ab cab 则 2 C 若 22222 2ab ca b 则 3 C 34 2012 北京 在ABC 中 若 1 2 7 cos 4 abcB 则b 35 2011 新课标 ABC 中 60 3 BAC 则 AB 2BC 的最大值为 36 2011 新课标 ABC 中 120 7 5BACAB 则ABC 的面积为 37 2010 江苏 在锐角三角形ABC a b c分别为内角A B C所对的边长 6cos ba C ab 则 tantan tantan CC AB 38 2010 山东 在ABC 中 角 A B C所对的边分别为 a b c 若2 2ab sincos2BB 则角A的大小为 三 解答题 39 2018 北京 在ABC 中 7a 8b 1 cos 7 B 1 求A 2 求AC边上的高 40 2018 全国卷 在平面四边形ABCD中 90ADC 45A 2AB 5BD 1 求cosADB 2 若2 2DC 求BC 41 2018 天津 在ABC 中 内角A B C所对的边分别为a b c 已知 sincos 6 bAaB 1 求角B的大小 2 设2a 3c 求b和sin 2 AB 的值 42 2017 新课标 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知ABC 的 面积为 2 3sin a A 1 求sinsinBC 2 若6coscos1BC 3a 求ABC 的周长 43 2017 新课标 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知sin3cos0AA 2 7a 2b 1 求c 2 设D为BC边上一点 且AD AC 求ABD 的面积 44 2017 新课标 ABC 的内角A B C的对边分别为a b c 已知 2 sin 8sin 2 B AC 1 求cosB 2 若6ac ABC 面积为 2 求b 45 2017 天津 在ABC 中 内角 A B C所对的边分别为 a b c 已知ab 5a 6c 3 sin 5 B 求b和sin A的值 求 sin 2 4 A 的值 46 2017 北京 在ABC 中 A 60 3 7 ca 求sinC的值 若7a 求ABC 的面积 47 2016 年山东 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 tantan 2 tantan coscos AB AB BA 证明 2abc 求cosC的最小值 48 2016 年四川 在 ABC 中 角 A B C 所对的边分别是 a b c 且 coscossinABC abc I 证明 sinsinsinABC II 若 222 6 5 bcabc 求tanB 49 2016 年全国 I ABC 的内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 2cos coscos C aB bAc I 求 C II 若7 cABC 的面积为 3 3 2 求ABC 的周长 50 2015 新课标 2 ABC 中 D 是 BC 上的点 AD 平分 BAC ABD 面积是 ADC 面 积的 2 倍 求 sin sin B C 若 AD 1 DC 2 2 求 BD 和 AC 的长 51 2015 湖南 设ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c tanabA 且B为钝角 1 证明 2 BA 2 求sinsinAC 的取值范围 52 2014 山东 ABC 中 a b c分别为内角A B C所对的边长 已知 6 3 cos 32 aABA 求b的值 II 求ABC 的面积 53 2014 安徽 设ABC 的内角 A B C所对边的长分别是 a b c 且3b 1c 2AB 求a的值 求sin 4 A 的值 54 2013新课标 如图 在 ABC中 ABC 90 AB 3 BC 1 P为 ABC内一 点 BPC 90 若 PB 1 2 求 PA 若 APB 150 求 tan PBA 55 2013新课标 ABC 在内角 A B C的对边分别为 a b c 已知cossinabCcB 求B 若2b 求 ABC面积的最大值 56 2012 安徽 设 ABC的内角CBA 所对边的长分别为 a b c 且有2sincosBA sincoscossinACAC 求角 A 的大小 若2b 1c D为BC的中点 求AD的长 57 2012 新课标 已知a b c分别为ABC 三个内角A B C的对边 cosaC 3 sin0aCbc 求A 若2 a ABC 的面积为3 求b c 58 2011 山东 在 ABC中 a b c分别为内角A B C所对的边长 已知 cos2cos2 cos ACca Bb I 求 sin sin C A 的值 II 若 1 cos 4 B 2b ABC 的面积S 59 2011 安徽 在ABC 中 a b c分别为内角A B C所对的边长 a 3 b 2 1 2cos 0BC 求边 BC 上的高 60 2010 陕西 如图 A B 是海面上位于东西方向相距 5 33 海里的两个观测点 现 位于 A 点北偏东 45 B 点北偏西 60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号 位于 B 点南 偏西 60 且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即即前往营救 其航行速度为 30 海里 小时 该救援船到达 D 点需要多长时间 61 2010 江苏 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H 单位 m 如示意图 垂直放置的 标杆 BC 的高度h 4m 仰角 ABE ADE H h d E A D B C 1 该小组已经测得一组 的值 tan 1 24 tan 1 20 请据此算出 H 的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精确度 若电视塔的实际高度为 125m 试问d 为多少时 最大 高考真题专项分类 理科数学 第 1 页 共 21 页 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 2019 年 1 解 1 由 已 知 得 222 sinsinsinsinsinBCABC 故 由 正 弦 定 理 得 222 bcabc 由余弦定理得 222 1 cos 22 bca A bc 因为0180A 所以60A 2 由 1 知120BC 由题设及正弦定理得 2sinsin 1202sinACC 即 631 cossin2sin 222 CCC 可得 2 cos60 2 C 由于0120C 所以 2 sin60 2 C 故 sinsin6060CC sin60 cos60cos60 sin60CC 62 4 2 解析 由余弦定理有 222 2cosbacacB 因为6b 2ac 3 B 所以 222 36 2 4cos 3 ccc 所以 2 12c 2 1 sinsin6 3 2 ABC SacBcB 3 解析解析 1 由题设及正弦定理得sin sinsinsin 2 AC ABA 因为sin0A 所以sinsin 2 AC B 高考真题专项分类 理科数学 第 2 页 共 21 页 由180ABC 可得sincos 22 ACB 故cos2sincos 222 BBB 因为cos0 2 B 故 1 sin 22 B 因此60B 2 由题设及 1 知 ABC的面积 3 4 ABC Sa 由正弦定理得 sin 120 sin31 sinsin2tan2 C cA a CCC 由于ABC 为锐角三角形 故090A 090C 由 1 知120A C 所以3090C 故 1 2 2 a 从而 33 82 ABC S 因此 ABC 面积的取值范围是 33 82 4 解析解析 设 2 ADABAAOC 1 1 3 AOAEEOAEECAEACAEAEACABAC 所以 1 23 2 解得 1 2 1 4 所以 11 24 AOADABAC 1 3 ECACAEABAC 2211312 66 43233 AO ECABACABACABAB ACAC 2213 22 ABAB ACAC 因为 2213 22 AB ACABAB ACAC 所以 2213 22 ABAC 所以 2 2 3 AB AC 所以3 AB AC 5 解析解析 1 由余弦定理 222 cos 2 acb B ac 得 222 2 3 2 32 3 cc c c 即 2 1 3 c 高考真题专项分类 理科数学 第 3 页 共 21 页 所以 3 3 c 2 因为 sincos 2 AB ab 由正弦定理 sinsin ab AB 得 cossin 2 BB bb 所以cos2sinBB 从而 22 cos 2sin BB 即 22 cos4 1 cosBB 故 2 4 cos 5 B 因为sin0B 所以cos2sin0BB 从而 2 5 cos 5 B 因此 2 5 sincos 25 BB 6 解析 解析 在直角三角形ABC中 4AB 3BC 5AC 4 sin 5 C 在BCD 中 sinsin BDBC CBDC 可得 12 2 5 BD 135CBDC 22437 2 sinsin 135 cossin 225510 CBDCCC 所以 7 2 coscos 90sin 10 ABDCBDCBD 7 解析 解析 I 由余弦定理 222 2cosbacacB 得 222 1 32 3 2 bcc 因为2bc 所以 2 22 1 232 3 2 ccc 解得5c 所以7b 高考真题专项分类 理科数学 第 4 页 共 21 页 II 由 1 cos 2 B 得 3 sin 2 B 由正弦定理得 5 3 sinsin 14 c CB b 在ABC 中 B 是钝角 所以C 为锐角 所以 2 11 cos1 sin 14 CC 所以 4 3 sinsincoscossin 7 BCBCBC 8 解析解析 在ABC 中 由正弦定理 sinsin bc BC 得sinsinbCcB 又由 3 sin4 sincBaC 得3 sin4 sinbCaC 即34ba 又因为2bca 得到 4 3 ba 2 3 ca 由余弦定理可得 222 222 416 1 99 cos 2 24 2 3 aaa acb B aa 由 可得 2 15 sin1 cos 4 BB 从而 15 sin22sincos 8 BBB 22 7 cos2cossin 8 BBB 故 153713 57 sin 2sin2 coscos2 sin 666828216 BBB 2010 2018 年 1 A 解析 因为 2 13 cos2cos121 255 C C 所以由余弦定理 得 222 3 2cos25 1 2 5 1 32 5 ABACBCAC BCC 所以4 2 AB 故选 A 高考真题专项分类 理科数学 第 5 页 共 21 页 2 C 解析 根据题意及三角形的面积公式知 222 1 sin 24 abc abC 所以 222 sincos 2 abc CC ab 所以在ABC 中 4 C 故选 C 3 A 解析 由sin 1 2cos 2sincoscossinBCACAC 得sin2sincossincossinBBCACB 即2sincossincosBCAC 所以2sinsinBA 即2ba 选 A 4 A 解析 由余弦定理得 2 13931ACACAC 选 A 5 C 解析 设 ABC中角A B C的对边分别是a b c 由题意可得 12 sin 342 acc 则 3 2 2 ac 在 ABC中 由余弦定理可得 2222222 95 23 22 baccacccc 则 10 2 bc 由余弦定理 可得 222 222 59 10 22 cos 21010 2 2 ccc bca A bc cc 故选 C 6 B 解析 11 sin 22 AB BCB 2 sin 2 B 所以45B 或135B 当45B 时 22 2cos1ACABBCAB BCB 此时1 2ABACBC 易得90A 与 钝角三角形 矛盾 当135B 时 22 2cos5ACABBCAB BCB 7 A 解析 因为ABC 由 1 sin2sin sin 2 AABCCAB 得 1 sin2sin2sin2 2 ABC 即 1 sin sin sin2 2 ABABABABC 整理得 1 sinsinsin 8 ABC 又 111 sinsinsin 222 SabCbcAacB 高考真题专项分类 理科数学 第 6 页 共 21 页 因此 3222222 11 sinsinsin 864 Sa b cABCa b c 由12S 得 2223 1 12 64 a b c 即816 2abc 因此选项 C D 不一定成立 又0bca 因此 8bc bcbc a 即 8bc bc 选项 A 一定成立 又0abc 因此 8ab ab 显然不能得出 16 2ab ab 选项 B 不一定成立 综上所述 选 A 8 C 解析 由 22 6cab 可得 222 26abcab 由余弦定理及 3 C 可得 222 abcab 所以由 得6ab 所以 13 3 sin 232 ABC Sab 9 C 解析 tan15tan 6045 23 60tan6060tan15120 3 1 BC 10 D 解析 2 25cos10A 1 cos 5 A 由余弦定理解得5b 11 A 解析 边换角后约去sinB 得 1 sin 2 AC 所以 1 sin 2 B 但 B 非最大角 所以 6 B 12 C 解析 由余弦定理可得5AC 再由正弦定理得 3 10 sin 10 A 13 B 解析 coscossinbCcBaA 由正弦定理得 2 sincossincossinBCCBA 2 sin sinBCA 2 sinsinAA sin1A ABC 是直角三角形 14 B 解析 由正弦定理得 3 2 2 3 sinsinsin60sin45 BCACAC AC AB 15 D 解析 由正弦定理 得 22 sinsinsincos2sinABBAA 即 22 sin sincos 2sinBAAA sin2sinBA sin 2 sin bB aA 16 D 解析 设ABc 则ADc 2 3 c BD 4 3 c BC 在 ABD中 由余弦定 高考真题专项分类 理科数学 第 7 页 共 21 页 理得 222 2 4 1 3 cos 23 ccc A c 则 2 2 sin 3 A 在 ABC中 由正弦定理得 4 3 sinsin2 2 3 c cBC CA 解得 6 sin 6 C 17 A 解析 因为120C 2ca 所以 222 2coscababC 222 1 22 2 aabab 所以 22 0 ab abab abab ab 因为0 0ab 所以0 ab ab ab 所以ab 故选 A 18 9 解析 因为120ABC ABC 的平分线交AC于点D 所以60ABDCBD 由三角形的面积公式可得 111 sin120sin60sin60 222 acac 化简得acac 又0a 0c 所以 11 1 ac 则 1144 4 4 5529 caca acac acacac 当且仅当2ca 时取等号 故4ac 的最小值为 9 19 21 7 3 解析 因为7a 2b 60A 所以由正弦定理得 3 2 sin21 2 sin 77 bA B a 由余弦定理 222 2cosabcbcA 可得 2 230cc 所以3c 20 15 2 10 4 解析 由余弦定理可得 222222 4241 cos 22 4 24 ABBCAC ABC ABBC 由 22 sincos1ABCABC 高考真题专项分类 理科数学 第 8 页 共 21 页 所以 2 115 sin1 cos1 164 ABCABC 1 sin 2 BDC SBDBCDBC 11 sin sin 22 BDBCABCBDBCABC 11515 2 2 242 B C A D 因为BDBC 所以DBCD 所以2ABCDBCDD 1 1 1 cos10 4 coscos 2224 ABCABC BDC 21 3 3 2 解析 单位圆内接正六边形是由 6 个边长为 1 的正三角形组成 所以 6 13 3 61 1 sin60 22 S 22 21 13 解析 4 cos 5 A 5 cos 13 C 所以 3 sin 5 A 12 sin 13 C 所以 63 sinsinsincoscossin 65 BACACAC 由正弦定理得 sinsin ba BA 解得 21 13 b 23 1 解析 由 1 sin 2 B 得 6 B 或 5 6 因为 6 C 所以 5 6 B 所以 6 B 于是 2 3 A 有正弦定理 得 3 21 sin 32 b 所以1b 高考真题专项分类 理科数学 第 9 页 共 21 页 24 7 解析 由已知得ABC 的面积为 1 sin20sin 2 AB ACAA 10 3 所以 3 sin 2 A 0 2 A 所以 3 A 由余弦定理得 222 2cosBCABACAB ACA 49 7BC 25 62 62 解析 如图作PBC 使75 BC 2BC 作出直线AD分别交线段PB PC于A D两点 不与端点重合 且使75 BAD 则四边形ABCD就是符合 题意的四边形 过C作AD的平行线交PB于点Q 在PBC 中 可求得 62BP 在QBC 中 可求得62BQ 所以AB的取值范围为 62 62 Q D A P B C 26 1 解析 222 3 cos 24 bca A bc 而 sin22sincos243 cos21 sinsin64 AAAa A CCc 27 8 解析 因为0A 所以 2 15 sin1cos 4 AA 又 115 sin3 15 28 ABC SbcAbc 24bc 解方程组 2 24 bc bc 得6b 4c 由余弦定理得 22222 1 2cos6426464 4 abcbcA 所以8a 高考真题专项分类 理科数学 第 10 页 共 21 页 28 100 6 解析 依题意 30 BAC 105 ABC 在ABC 中 由 180 ACBBACABC 所以 45 ACB 因为600 AB 由正弦定理可得 30sin45sin 600BC 即2300 BC m 在BCDRt 中 因为 30 CBD 2300 BC 所以 2300 30tan CD BC CD 所以6100 CD m 29 150 解析 在三角形ABC中 100 2AC 在三角形MAC中 sin60sin45 MAAC 解得100 3MA 在三角形MNA中 3 sin60 2100 3 MN 故150MN 30 2 解析 由bBcCb2coscos 得 sincossincos2sinBCCBB 即sin 2sinBCB sin2sinAB 2ab 故2 a b 31 3 2 解析 3sin5sinAB 3 2 2 1 2 cos2 53 222 C ab cba Cacbba 所以 3 2 32 3 解析 2 2 sinsin cos 23 BACBADBAD 根据余弦定理可得 222 cos 2 ABADBD BAD ABAD 222 2 2 3 2 3 3 32 3 23 BD BD 33 解析 222 2 21 cos 2223 abcabab abcCC abab 222222 4 1 2cos 2823 abcabab abcCC abab 当 2 C 时 22232233 cabca cb cab 与 333 abc 矛盾 取2 1abc 满足 2ab cab 得 2 C 高考真题专项分类 理科数学 第 11 页 共 21 页 取2 1abc 满足 22222 2ab ca b 得 3 C 34 4 解析 根据余弦定理可得 22 1 4 7 2 2 7 4 bbb 解得 b 4 35 2 7 解析 在ABC 中 根据 sinsinsin ABACBC CBA 得 3 sinsin2sin sin3 2 AC ABCCC B 同理2sinBCA 因此22sin4sinABBCCA 2 2sin4sin 3 CC 4sin2 3cos2 7sin CCC 36 15 3 4 解析 根据 sinsin ABAC CB 得 535 3 sinsin 7214 AB CB AC 2 5 311 cos1 1414 C 所以sinsin sincoscossinABCBCBC 31115 33 3 21421414 37 4 解析 方法一 考虑已知条件和所求结论对于角 A B 和边 a b 具有轮换性 当 A B 或 a b 时满足题意 此时有 1 cos 3 C 2 1 cos1 tan 21 cos2 CC C 2 tan 22 C 1 tantan2 tan 2 AB C tantan tantan CC AB 4 方法二 方法二 22 6cos6cos ba CabCab ab 2222 2222 3 6 22 abcc abab ab ab tantansincossinsincossinsin tantancossinsincossinsin CCCBABACAB ABCABCAB 2 1sin cossinsin C CAB 高考真题专项分类 理科数学 第 12 页 共 21 页 由正弦定理 得 上式 222 2 22 1 4 1 1 3cos 6 62 ccc cC ab ab 38 6 解析 由sincos2BB 得1 2sincos2BB 即sin21B 因02B 所以2 24 BB 又因为2 2 ab 由正弦定理得 22 sin sin 4 A 解得 1 sin 2 A 而 ab 则0 4 AB 故 6 a 39 解析 1 在ABC 中 1 cos 7 B 2 B 2 4 3 sin1cos 7 BB 由正弦定理得 sinsin ab AB 78 sin4 3 7 A 3 sin 2 A 2 B 0 2 A 3 A 2 在ABC 中 sinsin sincoscossinCABABAB 3114 3 2727 3 3 14 如图所示 在ABC 中 sin h C BC sinhBCC 3 33 3 7 142 AC边上的高为 3 3 2 40 解析 1 在ABD 中 由正弦定理得 sinsin BDAB AADB 由题设知 52 sin45sinADB 所以 2 sin 5 ADB 高考真题专项分类 理科数学 第 13 页 共 21 页 由题设知 90ADB 所以 223 cos1 255 ADB 2 由题设及 1 知 2 cossin 5 BDCADB 在BCD 中 由余弦定理得 222 2cosBCBDDCBD DCBDC 2 2582 5 2 2 5 25 所以5BC 41 解析 1 在ABC 中 由正弦定理 sinsin ab AB 可得sinsinbAaB 又由 sincos 6 bAaB 得 sincos 6 aBaB 即 sincos 6 BB 可得tan3B 又因为 0 B 可得 3 B 2 在ABC 中 由余弦定理及2a 3c 3 B 有 222 2cos7bacacB 故7b 由 sincos 6 bAaB 可得 3 sin 7 A 因为ac 故 2 cos 7 A 因此 4 3 sin22sincos 7 AAA 2 1 cos22cos1 7 AA 所以 sin 2 sin2 coscos2 sinABABAB 4 31133 3 727214 42 解析 1 由题设得 2 1 sin 23sin a acB A 即 1 sin 23sin a cB A 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A 故 2 sinsin 3 BC 2 由题设及 1 得 121 cos coscossinsin 632 BCBCBC 高考真题专项分类 理科数学 第 14 页 共 21 页 所以 2 3 BC 故 3 A 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A 即8bc 由余弦定理得 22 9bcbc 即 2 39bcbc 得33bc 故ABC 的周长为333 43 解析 1 由已知得 tan3A 所以 2 3 A 在ABC 中 由余弦定理得 2 2 2844 cos 3 cc 即 2 2 24 0cc 解得6c 舍去 4c 2 有题设可得 2 CAD 所以 6 BADBACCAD 故ABD 面积与ACD 面积的比值为 1 sin 26 1 1 2 AB AD AC AD 又ABC 的面积为 1 4 2sin2 3 2 BAC 所以ABD 的面积为3 44 解析 由题设及ABC 得 2 sin8sin 2 B B 故sin4 1 cos BB 上式两边平方 整理得 2 17cos32cos150BB 解得cos1B 舍去 15 cos 17 B 2 由 15 cos 17 B 得 8 sin 17 B 故 14 sin 217 ABC SacBac 又2 ABC S 则 17 2 ac 由余弦定理及6ac 得 2222 2cos 2 1 cos bacacBacacB 1715 362 1 4 217 所以2b 45 解析 在ABC 中 因为ab 故由 3 sin 5 B 可得 4 cos 5 B 由已知及余弦定理 有 222 2cos13bacacB 所以13b 由正弦定理 sinsin ab AB 得 sin3 13 sin 13 aB A b 高考真题专项分类 理科数学 第 15 页 共 21 页 所以 b的值为13 sin A的值为 3 13 13 由 及ac 得 2 13 cos 13 A 所以 12 sin22sincos 13 AAA 2 5 cos21 2sin 13 AA 故 7 2 sin 2 sin2 coscos2 sin 44426 AAA 46 解析 在 ABC 中 因为60A 3 7 ca 所以由正弦定理得 sin333 3 sin 7214 cA C a 因为 3 7 caa 所以60CA 由7a 所以 3 73 7 c 由余弦定理 222 2cosabcbcA 得 222 1 7323 2 bb 解得8b 或5b 舍 所以 ABC 的面积 113 sin8 36 3 222 SbcA 47 解析 由 tantan 2 tantan coscos AB AB BA 得 sinsinsin 2 cos coscos coscos cos CAB ABABAB 所以CBCsinsinsin 2 由正弦定理 得cba2 由 ab cabba ab cba C 2 2 2 22222 cos 22 2 3331 111 222 2 2 cc ab ab 所以Ccos的最小值为 1 2 48 解析 I 证明 由正弦定理 sinsinsin abc ABC 可知 原式可以化解为 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC 高考真题专项分类 理科数学 第 16 页 共 21 页 A和B为三角形内角 sinsin0AB 则 两边同时乘以sinsinAB 可得sincossincossinsinBAABAB 由和角公式可知 sincossincossinsinsinBAABABCC 原式得证 II 由题 222 6 5 bcabc 根据余弦定理可知 222 3 cos 25 bca A bc A为三角形内角 0 A sin0A 则 2 34 sin1 55 A 即 cos3 sin4 A A 由 I 可知 coscossin 1 sinsinsin ABC ABC cos11 sintan4 B BB tan4B 49 解析 1 2coscoscosC aBbAc 由正弦定理得 2cossincossincossinCABBAC 2cossinsinCABC ABC 0 ABC sinsin0ABC 2cos1C 1 cos 2 C 0 C 3 C 由余弦定理得 222 2coscababC 22 1 72 2 abab 2 37abab 133 3 sin 242 SabCab 6ab 2 187ab 高考真题专项分类 理科数学 第 17 页 共 21 页 5ab ABC 周长为57abc 50 解析 1 sin 2 ABD SAB ADBAD 1 sin 2 ADC SAC ADCAD 因为2 ABDADC SS BADCAD 所以2ABAC 由正弦定理可得 sin1 sin2 BAC CAB 因为 ABDADC SSBD DC 所以2BD 在ABD 和ADC 中 由余弦定理得 222 2cosABADBDAD BDADB 222 2cosACADDCAD DCADC 22222 2326ABACADBDDC 由 知2ABAC 所以1AC 51 解析 1 由tanabA 及正弦定理 得 sinsin coscos AbB AaB 所以sincosBA 即sinsin 2 BA 又B为钝角 因此 2 A 2 故B 2 A 即BA 2 2 由 1 知 C A B 2A 2 2 2A 0 所以A0 4 于是sinsinsinsin 2 2 ACAA sincos2AA 2 2sinsin1AA 2 19 2 sin 48 A 因为 0 A 4 所以 0 sin A 2 2 因此 2 2 2 2 199 sin 488 A 由此可知sinsinAC 的取值范围是 2 2 9 8 52 解析 I 在ABC 中 由题意知 2 3 sin1 cos 3 AA 高考真题专项分类 理科数学 第 18 页 共 21 页 又因为 2 BA 所有 6 sinsin cos 23 BAA 由正弦定理可得 6 3 sin 3 3 2 sin3 3 aB b A II 由 2 BA 得 3 coscos sin 23 BAA 由ABC 得 CAB 所以sinsin sin CABAB sincoscossinABAB 3366 3333 1 3 因此 ABC 的面积 1113 2 sin3 3 2 2232 SabC 53 解析 2AB sinsin22sincosABBB 由正弦定理得 222 2 2 acb ab ac 3 1bc 2 12 2 3aa 由余弦定理得 222 9 1 121 cos 263 bca A bc 由于0A 22 12 2 sin1 cos1 33 AA 故 2 221242 sin sincoscossin 44432326 AAA 54 解析 由已知得 PBC o 60 PBA 30o 在 PBA 中 由余弦定理得 2 PA o 11 323cos30 42 7 4 PA 7 2 设 PBA 由已知得 PB sin 在 PBA 中 高考真题专项分类 理科数学 第 19 页 共 2