理科数学2010-2019高考真题分类训练17专题六 数列 第十七讲 递推数列与数列求和—附解析答案

专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 2019 年 1 2019天 津 理19 设 n a是 等 差 数 列 n b是 等 比 数 列 已 知 112233 4 622 24abbaba 求 n a和 n b的通项公式 设数列 n c满足 1 1 1 22 2 1 kk n k k c n c b n 其中 k N i 求数列 22 1 nn ac 的通项公式 ii 求 2 1 n i i i acn N 2010 2018 年 一 选择题 1 2013 大纲 已知数列 n a满足 12 4 30 3 nn aaa 则 n a的前 10 项和等于 A 10 6 1 3 B 10 1 1 3 9 C 10 3 1 3 D 10 3 1 3 2 2012 上海 设 25 sin 1 n n an nn aaaS 21 在 10021 SSS 中 正数的个 数是 A 25 B 50 C 75 D 100 二 填空题 3 2018 全国卷 记 n S为数列 n a的前n项和 若21 nn Sa 则 6 S 4 2017 新课标 等差数列 n a的前n项和为 n S 3 3a 4 10S 则 1 1 n k k S 5 2015 新课标 设 n S是数列 n a的前n项和 且 111 1 nnn aaS S 则 n S 6 2015 江苏 数列 n a满足1 1 a 且1 1 naa nn Nn 则数列 1 n a 前 10 项的和为 7 2013 新课标 若数列 n a 的前 n 项和为 n S 21 33 n a 则数列 n a 的通项公式是 n a 8 2013 湖南 设 n S为数列 n a的前 n 项和 1 1 2 n nn n SanN 则 1 3 a 2 12100 SSS 9 2012 新课标 数列 n a满足12 1 1 naa n n n 则 n a的前 60 项和为 10 2012 福建 数列 n a的通项公式cos1 2 n n an 前n项和为 n S 则 2012 S 三 解答题 11 2018 浙江 已知等比数列 1 a的公比1q 且 345 28aaa 4 2a 是 3 a 5 a 的等差中项 数列 n b满足 1 1b 数列 1 nnn bb a 的前n项和为 2 2nn 1 求q的值 2 求数列 n b的通项公式 12 2018 天津 设 n a是等比数列 公比大于 0 其前n项和为 n S n N n b是等差 数列 已知 1 1a 32 2aa 435 abb 546 2abb 1 求 n a和 n b的通项公式 2 设数列 n S的前n项和为 n T n N i 求 n T ii 证明 2 2 1 2 2 1 2 2 n n kkk k Tbb kkn n N 13 2017 江苏 对于给定的正整数k 若数列 n a满足 1111 2 n kn knnn kn kn aaaaaaka 对任意正整数n nk 总成立 则称数列 n a是 P k数列 1 证明 等差数列 n a是 3 P数列 2 若数列 n a既是 2 P数列 又是 3 P数列 证明 n a是等差数列 14 2016 年全国 II n S为等差数列 n a 的前 n 项和 且 1 1a 7 28S 记 lg nn ba 其中 x表示不超过 x 的最大整数 如 0 90 lg991 求 1 b 11 b 101 b 求数列 n b的前1000项和 15 2015 新课标 n S为数列 n a的前n项和 已知0 n a 2 243 nnn aaS 求 n a的通项公式 设 1 1 n nn b a a 求数列 n b的前n项和 16 2015 广东 数列 n a满足 12 1 2 24 2 n n n aana Nn 1 求 3 a的值 2 求数列 n a的前n项和 n T 3 令 11 ba 1 111 1 23 n nn T ba nn 2 n 证明 数列 n b的前n项和 n S满足22ln n Sn 17 2014 广东 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S 且 n S满足 NnnnSnnS nn 033 222 求 1 a的值 求数列 n a的通项公式 证明 对一切正整数n 有 3 1 1 1 1 1 1 1 2211 nn aaaaaa 18 2013 湖南 设 n S为数列 n a 的前项和 已知0 1 a 2 nn SSaa 11 nN 求 1 a 2 a 并求数列 n a 的通项公式 求数列 n na 的前n项和 19 2011 广东 设0b 数列 n a满足 1 ab 1 1 2 22 n n n nba an an 1 求数列 n a的通项公式 2 证明 对于一切正整数n 1 1 1 2 n n n b a 专题六数列 第十七讲 递推数列与数列求和 答案部分 2019 年 1 解析解析 设等差数列 n a的公差为d 等比数列 n b的公比为q 依题意得 2 662 6124 qd qd 解得 3 2 d q 故 1 4 1 331 6 23 2 nn nn annb 所以 n a的通项公式为 31 nn annb N的通项公式为 3 2n n bn N i 222 113 21 3 219 41 nnn nnn n acab 所以 数列 22 1 nn ac 的通项公式为 22 19 41 nn n acn N ii 2222 1111 22 11 nnnn ii i iiiii iiii cacaa caa 1 221 2439 41 2 nn n ni i 211 4 1 4 3 25 29 1 4 n nn n 211 27 25 212 nn nn N 2010 2018 年 1 解析 1 1 3 nn aa n a是等比数列 又 2 4 3 a 1 4a 10 10 10 1 4 1 3 3 1 3 1 1 3 S 故选 C 2 D 解析 由数列通项可知 当125n剟 nN 时 0 n a 当2650n剟 nN 时 0 n a 因为 126 0aa 227 0aa 1250 S SS 都是 正数 当51100n剟 nN 同理 5152100 SSS 也都是正数 所以正数的个 数是 100 3 63 解析 通解 因为21 nn Sa 所以当1 n时 11 21 aa 解得 1 1 a 当2 n时 122 21 aaa 解得 2 2 a 当3 n时 1233 21 aaaa 解得 3 4 a 当4 n时 12344 21 aaaaa 解得 4 8 a 当5 n时 123455 21 aaaaaa 解得 5 16 a 当6 n时 1234566 21 aaaaaaa 解得 6 32 a 所以 6 1 24 8 163263 S 优解 因为21 nn Sa 所以当1 n时 11 21 aa 解得 1 1 a 当2 n时 11 21 21 nnnnn aSSaa 所以 1 2 nn aa 所以数列 n a是以1 为首项 2 为公比的等比数列 所以 1 2 n n a 所以 6 6 1 1 2 63 1 2 S 4 2 1 n n 解析 设等差数列的首项为 1 a 公差为d 则 1 1 23 4 3 410 2 ad ad 解得 1 1a 1d 1 1 1 22 n n nn n Snad 所以 1211 2 1 1 n Sk kkk 所以 1 11111112 2 1 2 1 223111 n k k n Snnnn 5 1 n 解析 当1n 时 11 1Sa 所以 1 1 1 S 因为 111nnnnn aSSS S 所以 1 11 1 nn SS 即 1 11 1 nn SS 所以 1 n S 是以1 为首项 1 为公差的等差数列 所以 1 1 1 1 n nn S 所以 1 n S n 6 20 11 解析 由题意得 112211 nnnnn aaaaaaaa 1 121 2 n n nn 所以 10 1111220 2 2 1 11111 n n n SS annnn 7 解析 当n 1 时 1 a 1 S 1 21 33 a 解得 1 a 1 当n 2 时 n a 1nn SS 21 33 n a 1 21 33 n a 1 22 33 nn aa 即 n a 1 2 n a n a 是首项为 1 公比为 2 的等比数列 n a 1 2 n 8 1 1 16 2 100 11 1 3 2 解析 1 1 1 2 n nn n Sa 3n 时 a1 a2 a3 a3 1 8 4n 时 a1 a2 a3 a4 a4 1 16 a1 a2 a3 1 16 由 知 a3 1 16 2 1n 时 11 11 1 1 2 nn nn Sa 1 1 1 1 2 nnn nnn aaa 当 n 为奇数时 1 1 11 22 n nn aa 当 n 为偶数时 1 1 2 n n a 故 1 1 2 1 2 n n n n a n 为奇数 为偶数 1 1 2 0 n n n S n 为奇数 为偶数 12100 246100 1111 2222 SSS 100 100100 11 1 1111 42 1 1 1 323 2 1 4 9 1830 解析 可证明 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123410 baaaa 15 15 14 10 15161830 2 S 10 3018 解析 因为cos 2 n 的周期为 4 由cos1 2 n n an nN 1234 6aaaa 5678 6aaaa 2012 503 63018S 11 解析 1 由 4 2a 是 3 a 5 a的等差中项得 354 24aaa 所以 3454 3428aaaa 解得 4 8a 由 35 20aa 得 1 8 20q q 因为1q 所以2q 2 设 1 nnnn cbb a 数列 n c前n项和为 n S 由 1 1 1 2 n nn S n c SSn 解得41 n cn 由 1 可知 1 2n n a 所以 1 1 1 41 2 n nn bbn 故 2 1 1 45 2 n nn bbn 2n 11123221 nnnnn bbbbbbbbbb 23 111 45 49 73 222 nn nn 设 22 111 3711 45 222 n n Tn 2n 231 11111 37 11 45 22222 n n Tn 所以 221 11111 344 4 45 22222 nn n Tn 因此 2 1 14 43 2 n n Tn 2n 又 1 1b 所以 2 1 15 43 2 n n bn 12 解析 1 设等比数列 n a的公比为 q 由 132 1 2 aaa 可得 2 20qq 因为0q 可得2q 故 1 2n n a 设等差数列 n b的公差为 d 由 435 abb 可得 1 34 bd 由 546 2abb 可得 1 31316 bd 从而 1 1 1 bd 故 n bn 所以数列 n a的通项公式为 1 2n n a 数列 n b的通项公式为 n bn 2 i 由 1 有 1 2 21 1 2 n n n S 故 1 11 2 1 2 21 222 1 2 n nn kkn n kk Tnnn ii 证明 因为 1121 2 222 222 1 2 1 2 1 2 21 kkkk kk k T bbkkkk kkkkkkkk 所以 3243212 2 1 2222222 2 1 2 3243212 nnn n kkk k Tbb kknnn 13 解析 证明 1 因为 n a是等差数列 设其公差为d 则 1 1 n aand 从而 当n4 时 n kn k aaa 11 1 1 nkdankd 1 22 1 2 n anda 1 2 3 k 所以 nnnnnnn aaaaaaa 321123 6 因此等差数列 n a是 3 P数列 2 数列 n a既是 2 P数列 又是 3 P数列 因此 当3n 时 nnnnn aaaaa 2112 4 当4n 时 nnnnnnn aaaaaaa 321123 6 由 知 nnn aaa 321 4 1 nn aa nnn aaa 231 4 1 nn aa 将 代入 得 nnn aaa 11 2 其中4n 所以 345 a a a是等差数列 设其公差为d 在 中 取4n 则 23564 4aaaaa 所以 23 aad 在 中 取3n 则 12453 4aaaaa 所以 12 2aad 所以数列 n a是等差数列 14 解析 设 n a的公差为d 74 728Sa 4 4a 41 1 3 aa d 1 1 n aandn 11 lglg10ba 1111 lglg111ba 101101101 lglg2ba 记 n b的前n项和为 n T 则 1000121000 Tbbb 121000 lglglgaaa 当0lg1 n a 时 129n 当1lg2 n a 时 10 1199n 当2lg3 n a 时 100 101999n 当lg3 n a 时 1000n 1000 0 91 902 9003 1 1893T 15 解析 当1n 时 2 1111 2434 3aaSa 因为0 n a 所以 1 a 3 当2n 时 22 111 43434 nnnnnnn aaaaSSa 即 111 2 nnnnnn aaaaaa 因为0 n a 所以 1nn aa 2 所以数列 n a 是首项为 3 公差为 2 的等差数列 所以 n a 21n 由 知 n b 1111 21 23 2 2123nnnn 所以数列 n b 前 n 项和为 12n bbb 1111111 235572123nn 11 6463 23 n nn 16 解析 1 由题意知 12 1 2 24 2 n n n aana 当3 n时 12 1 22 2 4 2 aa 当3 n时 123 2 32 2 3 4 2 aaa 3 21 32223 3 4 4 224 a 3 1 4 a 2 当1n 时 1 1 1 1 2 41 2 a 当2n 时 由 12 1 2 24 2 n n n aana 知 121 2 12 2 1 4 2 n n n aana 两式相减得 211 12 222 n nnn nnn na 此时 1 1 2 n n a 经检验知 1 1a 也满足 1 1 2 n n a 故数列 n a是以 1 为首项 1 2 为公比的公比数列 故 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 n n n T 3 由 1 2 知 11 1ba 当2n 时 2 1 1 1 2 1111111 2 1 1 23232 n n nn n T ba nnnn 1 211111 1 2312nnnn 当1n 时 1 12 2ln12S 成立 当2n 时 12 2112111 1 1 1 2223232 n S 1 211111 1 2312nnnn 21231 11111111111 1 2 232222 2222 nn n 3412121 1 111111111 3 22221 222 nnnn nn 2 12 1 1 1111111 2 12 1 1 2322 22 1 2 n n n 3 32121 1 1 1 1111111 2 1 3 221 222 1 2 n nnn nn 11 111111 1 2 1 23222 nn n 111 111111 32122 nnn nn 1 1111111 22 1 23232nnn 111 22 23n 构造函数 ln 1 0 1 x f xxx x 2 0 1 x fxf x x 在 0 单调递增 ln 1 0 0 1 x f xxf x ln 1 1 x x x 在 0 上恒成立 即ln 1 1 x x x 1 1 x n 令 2n 则 11 ln 1 1nn 从而可得 11 ln 1 22 1 11 ln 1 33 1 11 ln 1 1nn 将以上1n 个式子同向相加即得 111111 ln 1 ln 1 ln 1 232 13 11nn 23 ln ln 121 n n n 故 111 22 22ln 23 n Sn n 综上可知 22ln n Sn 17 解析 22 1111 1 1 3 20 60 nSSSS 令得即 所以 11 3 2 0SS 111 0 2 2 SSa 即 2222 3 3 0 3 0 nnnn SnnSnnSSnn 由得 2 0 0 30 nnnn anNSSSnn 从而 22 1 2 1 1 2 nnn naSSnnnnn 当时 1 22 1 2 n aan nN 又 22 313 221644 kk kNkkkk 当时 111111 113 1 2 21 44 244 kk a akk k kkk 11111 1111 44 1 1 4444 kkkk 1122 111 1 1 1 nn a aa aa a