理科数学2010-2019高考真题分类训练24专题八立体几何第二十四讲空间向量与立体几何—附解析答案

专题八 立体几何 第二十四讲 空间向量与立体几何 2019 年 1 2019 全国 理 18 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N 分别是 BC BB1 A1D 的中点 1 证明 MN 平面 C1DE 2 求二面角 A MA1 N 的正弦值 2 2019 北京理 16 如图 在四棱锥PABCD 中 PAABCD 平面 ADCD ADBCP 23PAADCDBC E 为 PD 的中点 点 F 在 PC 上 且 1 3 PF PC 求证 CDPAD 平面 求二面角FAEP 的余弦值 设点 G 在 PB 上 且 2 3 PG PB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内 说明理由 3 2019 浙 江 19 如 图 已 知 三 棱 柱 111 ABCABC 平 面 11 A ACC 平 面 ABC 90ABC 11 30 BACAAACAC E F 分别是 AC A1B1的中点 1 证明 EFBC 2 求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 4 2019 江苏 16 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E 分别为 BC AC 的中点 AB BC 求证 1 A1B1 平面 DEC1 2 BE C1E 5 2019 全国 理 19 图 1 是由矩形 ADEB Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形 其中 AB 1 BE BF 2 FBC 60 将其沿 AB BC 折起使得 BE 与 BF 重合 连结 DG 如图 2 1 证明 图 2 中的 A C G D 四点共面 且平面 ABC 平面 BCGE 2 求图 2 中的二面角 B CG A 的大小 6 2019 全国 理 17 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 点 E 在棱 AA1上 BE EC1 1 证明 BE 平面 EB1C1 2 若 AE A1E 求二面角 B EC C1的正弦值 7 2019 北京理 16 如图 在四棱锥PABCD 中 PAABCD 平面 ADCD ADBCP 23PAADCDBC E 为 PD 的中点 点 F 在 PC 上 且 1 3 PF PC 求证 CDPAD 平面 求二面角FAEP 的余弦值 设点 G 在 PB 上 且 2 3 PG PB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内 说明理由 8 2019 浙 江 19 如 图 已 知 三 棱 柱 111 ABCABC 平 面 11 A ACC 平 面 ABC 90ABC 11 30 BACAAACAC E F 分别是 AC A1B1的中点 1 证明 EFBC 2 求直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值 9 2019 全国 理 19 图 1 是由矩形 ADEB Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形 其中 AB 1 BE BF 2 FBC 60 将其沿 AB BC 折起使得 BE 与 BF 重合 连结 DG 如图 2 1 证明 图 2 中的 A C G D 四点共面 且平面 ABC 平面 BCGE 2 求图 2 中的二面角 B CG A 的大小 10 2019 全国 理 17 如图 长方体 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 点 E 在棱 AA1上 BE EC1 1 证明 BE 平面 EB1C1 2 若 AE A1E 求二面角 B EC C1的正弦值 11 全国 理 18 如图 直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形 AA1 4 AB 2 BAD 60 E M N 分别是 BC BB1 A1D 的中点 1 证明 MN 平面 C1DE 2 求二面角 A MA1 N 的正弦值 12 2019 北京理 16 如图 在四棱锥PABCD 中 PAABCD 平面 ADCD ADBCP 23PAADCDBC E 为 PD 的中点 点 F 在 PC 上 且 1 3 PF PC 求证 CDPAD 平面 求二面角FAEP 的余弦值 设点 G 在 PB 上 且 2 3 PG PB 判断直线 AG 是否在平面 AEF 内 说明理由 13 2019天 津 理17 如 图 AE 平 面A B C D CFAEADBC 1 2ADABABADAEBC 求证 BF 平面ADE 求直线CE与平面BDE所成角的正弦值 若二面角EBDF 的余弦值为 1 3 求线段CF的长 2010 2018 年 解答题解答题 1 2018 全国卷 如图 四边形ABCD为正方形 E F分别为AD BC的中点 以 DF为折痕把DFC 折起 使点C到达点P的位置 且PFBF 1 证明 平面PEF 平面ABFD 2 求DP与平面ABFD所成角的正弦值 P F E DC BA 2 2018 北京 如图 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 CC 平面ABC D E F G 分别为 1 AA AC 11 AC 1 BB的中点 5ABBC 1 2ACAA C1 B1 A1 G F E D C B A 1 求证 AC 平面BEF 2 求二面角 1 BCDC 的余弦值 3 证明 直线FG与平面BCD相交 3 2018 全国卷 如图 在三棱锥 PABC中 2 2 ABBC PAPBPC 4AC O为AC的中点 1 证明 PO 平面ABC 2 若点M在棱BC上 且二面角 MPA C为30 求PC与平面PAM所成角的 正弦值 O M P C B A 4 2018 全国卷 如图 边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂 直 M是CD 上异于C D的点 1 证明 平面AMD 平面BMC 2 当三棱锥MABC 体积最大时 求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 M D C B A 5 2018 天津 如图 ADBC 且2ADBC ADCD EGAD 且EGAD CDFG 且2CDFG DG 平面ABCD 2DADCDG 1 若M为CF的中点 N为EG的中点 求证 MN 平面CDE 2 求二面角EBCF 的正弦值 3 若点P在线段DG上 且直线BP与平面ADGE所成的角为60 求线段DP的长 N A B C D E FG M 6 2018 江苏 如图 在正三棱柱 111 ABCABC 中 1 2ABAA 点P Q分别为 11 AB BC的中点 A B C Q P A1 C1 B1 1 求异面直线BP与 1 AC所成角的余弦值 2 求直线 1 CC与平面 1 AQC所成角的正弦值 7 2017 新课标 如图 在四棱锥PABCD 中 AB CD 且90BAPCDP D C BA P 1 证明 平面PAB 平面PAD 2 若PAPDABDC 90APD 求二面角APBC 的余弦值 8 2017 新课标 如图 四棱锥PABCD 中 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 三角形ABCD 1 2 ABBCAD 90BADABC E是PD的中点 EM D C B A P 1 证明 直线CE 平面PAB 2 点M在棱PC上 且直线BM与底面ABCD所成角为45 求二面角MABD 的余弦值 9 2017 新课标 如图 四面体ABCD中 ABC 是正三角形 ACD 是直角三角形 ABDCBD ABBD A B C D E 1 证明 平面ACD 平面ABC 2 过AC的平面交BD于点E 若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分 求二面角DAEC 的余弦值 10 2017 天津 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面ABC 90BAC 点D E N分别为棱PA PC BC的中点 M是线段AD的中点 4PAAC 2AB 求证 MN 平面BDE 求二面角CEMN 的正弦值 已知点H在棱PA上 且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 7 21 求线段 AH的长 11 2017 北京 如图 在四棱锥PABCD 中 底面ABCD为正方形 平面PAD 平 面ABCD 点M在线段PB上 PD 平面MAC 6PAPD 4AB 求证 M为PB的中点 求二面角BPDA 的大小 求直线MC与平面BDP所成角的正弦值 12 2016 年北京 如图 在四棱锥PABCD 中 平面PAD 平面ABCD PAPD PAPD ABAD 1AB 2AD 5ACCD 1 求证 PD 平面PAB 2 求直线PB与平面PCD所成角的正弦值 3 在棱PA上是否存在点M 使得 BM平面PCD 若存在 求 AM AP 的值 若不 存在 说明理由 13 2016 年山东 在如图所示的圆台中 AC是下底面圆O的直径 EF是上底面圆 O 的 直径 FB是圆台的一条母线 I 已知G H分别为EC FB的中点 求证 GH 平面ABC II 已知EF FB 1 2 AC 2 3 ABBC 求二面角FBCA 的余弦值 14 2016 年天津 如图 正方形ABCD的中心为O 四边形OBEF为矩形 平面OBEF 平面ABCD 点G为AB的中点 2ABBE 求证 EG 平面ADF 求二面角OEFC 的正弦值 设H为线段AF上的点 且AH 2 3 HF 求直线BH和平面CEF所成角的 正弦值 E CD A F B O H G 15 2015 新课标 如图 四边形ABCD为菱形 120ABC E F是平面ABCD同 一侧的两点 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 证明 平面AEC 平面AFC 求直线AE与直线CF所成角的余弦值 16 2015 福建 如图 在几何体ABCDE中 四边形ABCD是矩形 AB 平面BEG BE EC 2ABBEEC G F分别是线段BE DC的中点 求证 GF 平面ADE 求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值 17 2015 山东 如图 在三棱台DEFABC 中 2ABDE G H分别为 AC BC的中 点 求证 BC 平面FGH 若CF 平面ABC AB BC CF DE BAC 45 求平面FGH与 平面ACFD所成的角 锐角 的大小 18 2015 陕西 如图1 在直角梯形 CD中 D C 2 D 1 C 2 D 是 D的中点 O是AC与BE的交点 将 沿BE折起到 1 ABE 的 位置 如图2 证明 CD 平面 1 AOC 若平面 1 ABE 平面BCDE 求平面 1 ABC与平面 1 ACD夹角的余弦值 19 2014 新课标 2 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为矩形 PA 平面ABCD E为PD的中点 证明 PB 平面AEC 设二面角DAEC 为 60 AP 1 AD 3 求三棱锥EACD 的体积 20 2014 山东 如图 在四棱柱 1111 ABCDABC D 中 底面ABCD是等腰梯形 60 DAB 22ABCD M是线段AB的中点 M A1 A B B1 D1 C1 D C 求证 111 C MAADD平面 若 1 CD垂直于平面ABCD且 1 3 CD 求平 面 11 C DM和平面ABCD所成的 角 锐角 的余弦值 21 2014 辽宁 如图 ABC 和BCD 所在平面互相垂直 且2ABBCBD 0 120ABCDBC E F 分别为 AC DC 的中点 求证 EFBC 求二面角EBFC 的正弦值 A D CB F E 22 2014 新课标 1 如图三棱锥 111 ABCABC 中 侧面 11 BBCC为菱形 1 ABBC 证明 1 ACAB 若 1 ACAB o 1 60CBB ABBC 求二面角 111 AABC 的余弦值 23 2014 福建 在平行四边形ABCD中 1ABBDCD ABBD CDBD 将ABD 沿BD折起 使得平面ABD 平面BCD 如图 B D C A M 求证 AB CD 若M为AD中点 求直线AD与平面MBC所成角的正弦值 24 2014 浙江 如图 在四棱锥BCDEA 中 平面 ABC平面BCDE 90CDEBED 2ABCD 1DEBE 2AC 证明 DE平面ACD 求二面角EADB 的大小 A D E B C 25 2014 广东 如图 4 四边形ABCD为正方形 PD 平面ABCD 0 30DPC AFPC 于点F FECD 交PD于点E 证明 CFADF 平面 求二面角DAFE 的余弦值 26 2014 湖南 如图 四棱柱 1111 ABCDABC D 的所有棱长都相等 ACBDO 11111 ACBDO 四边形 1111 ACC ABDDB和四边形均为矩形 1 证明 1 OOABCD 底面 2 若 11 60 CBACOBD 求二面角的余弦值 O1 O B1 B C D A A1 C1 D1 27 2014 陕西 四面体ABCD及其三视图如图所示 过被AB的中点E作平行于AD BC 的平面分别交四面体的棱CADCBD 于点HGF 俯视图 左视图 主视图 1 2 2 A B C D F G H E 证明 四边形EFGH是矩形 求直线AB与平面EFGH夹角 的正弦值 28 2013 新课标 如图 三棱柱 111 ABCABC 中 CACB 1 ABAA 1 BAA 60 证明 1 ABAC 若平面ABC 平面 11 AAB B ABCB 求直线 1 AC与平面 11 BBCC所成角的 正弦值 29 2013 新课标 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 D E分别是 1 AB BB的中点 1 2 2 AAACCBAB E D C B A A1 B1 C1 证明 1 BC 平面 1 ACD 求二面角 1 DACE 的正弦值 30 2013 广东 如图 1 在等腰直角三角形ABC中 90A 6BC D E分别是 AC AB上的点 2CDBE O为BC的中点 将ADE 沿DE折起 得到如图 2 所示的四棱锥ABCDE 其中3AO 证明 AO 平面BCDE 求二面角ACDB 的平面角的余弦值 31 2013 陕西 如图 四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面ABCD是正方形 O为底 面中心 1 AO 平面ABCD 1 2ABAA O D1 B1 C1 D A C B A1 证明 1 AC 平面 11 BB D D 求平面 1 OCB与平面 11 BB D D的夹角 的大小 32 2013 湖北 如图 AB是圆O的直径 点C是圆O上异于 A B的点 直线PC 平 面ABC E F分别是PA PC的中点 记平面BEF与平面ABC的交线为l 试判断直线l与平面PAC的位置关系 并加以证明 设 I 中的直线l与圆O的另一个交点为D 且点Q满足 1 2 DQCP 记直 线PQ与平面ABC所成的角为 异面直线PQ与EF所成的角为 二面角 ElC 的大小为 求证 sinsinsin 33 2013 天津 如图 四棱柱 1111 ABCDABC D 中 侧棱 1 A A 底面ABCD ABDC ABAD 1ADCD 1 2AAAB E为棱 1 AA的中点 B CC1 B1 D D1 A1A E 证明 11 BCCE 求二面角 11 BCEC 的正弦值 设点M在线段 1 C E上 且直线AM与平面 11 ADD A所成角的正弦值为 2 6 求 线段AM的长 34 2012 新课标 如图 直三棱柱 111 CBAABC 中 1 1 2 ACBCAA D是棱 1 AA的 中点 BDDC 1 证明 BCDC 1 求二面角 11 CBDA 的大小 35 2012 福建 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 1 1AAAD E为CD中点 求证 11 B EAD 在棱 1 AA上是否存在一点P 使得DP 平面 1 B AE 若存在 求AP的行 若 存在 求AP的长 若不存在 说明理由 若二面角 11 AB EA 的大小为 30 求AB的长 36 2012 浙江 如图 在四棱锥PABCD 中 底面是边长为2 3的菱形 120BAD 且PA 平面ABCD 2 6PA M N分别为PB PD的中点 证明 MN平面ABCD 过点A作AQPC 垂足为点Q 求二面角AMNQ 的平面角的余弦值 37 2011 新课标 如图 四棱锥PABCD 中 底面ABCD为平行四边形 60DAB A C B 1 B 1 A D 1 C 2ABAD PD 底面ABCD 证明 PABD 若PDAD 求二面角APBC 的余弦值 38 2011 安徽 如图 ABCDEFG为多面体 平面ABED与平面AGFD垂直 点O在 线段AD上 1 2 OAOD OAB OAC ODE ODF 都是正三角形 证明直线BC EF 求棱锥FOBED 的体积 39 2011 江苏 如图 在四棱锥ABCDP 中 平面PAD 平面ABCD ABAD BAD 60 E F分别是AP AD的中点 求证 直线EF 平面PCD 平面BEF 平面PAD 40 2010 广东 如图 AEC是半径为a的半圆 AC为直径 点E为 AC的中点 点B和 点C为线段AD的三等分点 平面AEC外一点F满足5FBFDa 6EFa 证明 EBFD 已知点 Q R为线段 FE FB上的点 2 3 FQFE 2 3 FRFB 求平面BED 与平面RQD所成二面角的正弦值 41 2010 新课标 如图 已知四棱锥PABCD 的底面为等腰梯形 ABCD ACBD 垂足为H PH是四棱锥的高 E为AD中点 证明 PEBC 若60APBADB 求直线PA与平面PEH所成角的正弦值 42 2010 天津 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 1 CC 上的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值 证明AF 平面 1 AED 求二面角 1 AEDF 的正弦值 专题八 立体几何 第二十四讲 空间向量与立体几何 答案部分 2019 年 1 解析 1 连结B1C ME 因为M E分别为BB1 BC的中点 所以ME B1C 且ME 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点 所以ND 1 2 A1D 由题设知A1B1 PDC 可得B1C PA1D 故ME PND 因此四边形MNDE为平行四边形 MN ED 又MN 平面EDC1 所以MN 平面C1DE 2 由已知可得DE DA 以D为坐标原点 DA uuu r 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz N M D C BA D1 C1 B1 A1 z y x 则 2 0 0 A A1 2 0 4 1 3 2 M 1 0 2 N 1 0 0 4 A A uuu r 1 1 3 2 AM uuuu r 1 1 0 2 AN uuur 1 1 0 2 AN uuur 设 x y z m为平面A1MA的法向量 则 1 1 0 0 AM A A uuuu r uuu r m m 所以 320 40 xyz z 可取 3 1 0 m 设 p q r n为平面A1MN的法向量 则 1 0 0 MN AN uuu r uuur n n 所以 30 20 q pr 可取 2 0 1 n 于是 2 315 cos 525 m n m n m n 所以二面角 1 AMAN 的正弦值为 10 5 2 解析解析 I 因为PA 平面ABCD 所以PACD 又因为ABCD 所以CD 平面PAD II 过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M 因为PA 平面ABCD 所以 PAAM PAAD 如图建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 B 2 1 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 因为 E 为 PD 的中点 所以 E 0 1 1 所以 0 1 1AE uuu r 2 2 2PC uuu r 0 0 2AP uu u r 所以 12 22 33 33 PFPC uuu ruuu r 2 2 4 3 3 3 AFAPPF uuu ruu u ruuu r 设平面 AEF 的法向量为 x y z n 则 0 0 AE AF uuu v uuu v n n 即 0 224 0 333 yz xyz 令 z 1 则 y 1 x 1 于是 1 1 1 n 又因为平面 PAD 的法向量为 1 0 0 p 所以 3 cos 3 n p np 因为二面角 F AE P 为锐角 所以其余弦值为 3 3 z y x B G P F E D C M A III 直线 AG 在平面 AEF 内 因为点 G 在 PB 上 且 2 3 PG PB 2 1 2 PB uur 所以 2424 3333 PGPB uuu ruur 42 2 33 3 AGAPPG uuu ruu u ruuu r 由 II 知 平面 AEF 的法向量为 1 1 1 n 所以 422 0 333 AG uuu r n 所以直线 AG 在平面 AEF 内 3 解析 解析 方法一 I 连接A1E 因为A1A A1C E是AC的中点 所以A1E AC 又平面A1ACC1 平面ABC A1E 平面A1ACC1 平面A1ACC1 平面ABC AC 所以 A1E 平面ABC 则A1E BC 又因为A1F AB ABC 90 故BC A1F 所以BC 平面A1EF 因此EF BC 取BC中点G 连接EG GF 则EGFA1是平行四边形 由于A1E 平面ABC 故AE1 EG 所以平行四边形EGFA1为矩形 由 I 得BC 平面EGFA1 则平面A1BC 平面EGFA1 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O 则 EOG是直线EF与平面A1BC所成的角 或其补角 不妨设AC 4 则在Rt A1EG中 A1E 2 3 EG 3 由于O为A1G的中点 故 1 15 22 AG EOOG 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此 直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二 连接A1E 因为A1A A1C E是AC的中点 所以A1E AC 又平面A1ACC1 平面ABC A1E 平面A1ACC1 平面A1ACC1 平面ABC AC 所以 A1E 平面ABC 如图 以点E为原点 分别以射线EC EA1为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系E xyz 不妨设AC 4 则 A1 0 0 2 3 B 3 1 0 1 3 3 2 3 B 3 3 2 3 22 F C 0 2 0 因此 3 3 2 3 22 EF 3 1 0 BC 由 0EF BC 得EFBC 设直线EF与平面A1BC所成角为 由 可得 3 1 0 BC 1 0 2 2 3 AC 设平面A1BC的法向量为 x y z n 由 1 0 0 BC AC n n 得 30 30 xy yz 取 1 3 1 n 故 4 sincos 5 EF EF EF n n n 因此直线 EF 与平面 A1BC 所成角的余弦值为 3 5 4 证明证明 1 因为 D E 分别为 BC AC 的中点 所以 ED AB 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB A1B1 所以 A1B1 ED 又因为 ED 平面 DEC1 A1B1 平面 DEC1 所以 A1B1 平面 DEC1 2 因为 AB BC E 为 AC 的中点 所以 BE AC 因为三棱柱 ABC A1B1C1是直棱柱 所以 CC1 平面 ABC 又因为 BE 平面 ABC 所以 CC1 BE 因为 C1C 平面 A1ACC1 AC 平面 A1ACC1 C1C AC C 所以 BE 平面 A1ACC1 因为 C1E 平面 A1ACC1 所以 BE C1E 32 2019 全国 理 19 图 1 是由矩形 ADEB Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个平面图形 其中 AB 1 BE BF 2 FBC 60 将其沿 AB BC 折起使得 BE 与 BF 重合 连结 DG 如图 2 1 证明 图 2 中的 A C G D 四点共面 且平面 ABC 平面 BCGE 2 求图 2 中的二面角 B CG A 的大小 5 解析解析 1 由已知得ADBE CGBE 所以AD CG 故AD CG确定一个平面 从而A C G D四点共面 由已知得AB BE AB BC 故AB 平面BCGE 又因为AB 平面ABC 所以平面ABC 平面BCGE 2 作EH BC 垂足为H 因为EH 平面BCGE 平面BCGE 平面ABC 所以EH 平 面ABC 由已知 菱形BCGE的边长为2 EBC 60 可求得BH 1 EH 3 以H为坐标原点 HC的方向为x轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz 则A 1 1 0 C 1 0 0 G 2 0 3 CG 1 0 3 AC 2 1 0 设平面ACGD的法向量为n x y z 则 0 0 CG AC n n 即 30 20 xz xy 所以可取n 3 6 3 又平面BCGE的法向量可取为m 0 1 0 所以 3 cos 2 n m n m n m 因此二面角B CG A的大小为30 6 解析 1 由已知得 11 BC 平面 11 ABB A BE 平面 11 ABB A 故 11 BC BE 又 1 BEEC 所以BE 平面 11 EBC 2 由 1 知 1 90BEB 由题设知 11 RtRtABEABE 所以45AEB 故AEAB 1 2AAAB 以D为坐标原点 DA的方向为x轴正方向 DA为单位长 建立如图所示的空间直角坐 标系D xyz z y x 则C 0 1 0 B 1 1 0 1 C 0 1 2 E 1 0 1 1 0 0 CB 1 1 1 CE 1 0 0 2 CC 设平面EBC的法向量为n x y x 则 0 0 CB CE n n 即 0 0 x xyz 所以可取n 0 1 1 设平面 1 ECC的法向量为m x y z 则 10 0 CC CE m m 即 20 0 z xyz 所以可取m 1 1 0 于是 1 cos 2 n m n m n m 所以 二面角 1 BECC 的正弦值为 3 2 7 解析解析 I 因为PA 平面ABCD 所以PACD 又因为ABCD 所以CD 平面PAD II 过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M 因为PA 平面ABCD 所以 PAAM PAAD 如图建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 B 2 1 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 因为 E 为 PD 的中点 所以 E 0 1 1 所以 0 1 1AE uuu r 2 2 2PC uuu r 0 0 2AP uu u r 所以 12 22 33 33 PFPC uuu ruuu r 2 2 4 3 3 3 AFAPPF uuu ruu u ruuu r 设平面 AEF 的法向量为 x y z n 则 0 0 AE AF uuu v uuu v n n 即 0 224 0 333 yz xyz 令 z 1 则 y 1 x 1 于是 1 1 1 n 又因为平面 PAD 的法向量为 1 0 0 p 所以 3 cos 3 n p np 因为二面角 F AE P 为锐角 所以其余弦值为 3 3 z y x B G P F E D C M A III 直线 AG 在平面 AEF 内 因为点 G 在 PB 上 且 2 3 PG PB 2 1 2 PB uur 所以 2424 3333 PGPB uuu ruur 42 2 33 3 AGAPPG uuu ruu u ruuu r 由 II 知 平面 AEF 的法向量为 1 1 1 n 所以 422 0 333 AG uuu r n 所以直线 AG 在平面 AEF 内 8 解析 解析 方法一 I 连接A1E 因为A1A A1C E是AC的中点 所以A1E AC 又平面A1ACC1 平面ABC A1E 平面A1ACC1 平面A1ACC1 平面ABC AC 所以 A1E 平面ABC 则A1E BC 又因为A1F AB ABC 90 故BC A1F 所以BC 平面A1EF 因此EF BC 取BC中点G 连接EG GF 则EGFA1是平行四边形 由于A1E 平面ABC 故AE1 EG 所以平行四边形EGFA1为矩形 由 I 得BC 平面EGFA1 则平面A1BC 平面EGFA1 所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上 连接A1G交EF于O 则 EOG是直线EF与平面A1BC所成的角 或其补角 不妨设AC 4 则在Rt A1EG中 A1E 2 3 EG 3 由于O为A1G的中点 故 1 15 22 AG EOOG 所以 222 3 cos 25 EOOGEG EOG EO OG 因此 直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是 3 5 方法二 连接A1E 因为A1A A1C E是AC的中点 所以A1E AC 又平面A1ACC1 平面ABC A1E 平面A1ACC1 平面A1ACC1 平面ABC AC 所以 A1E 平面ABC 如图 以点E为原点 分别以射线EC EA1为y z轴的正半轴 建立空间直角坐标系E xyz 不妨设AC 4 则 A1 0 0 2 3 B 3 1 0 1 3 3 2 3 B 3 3 2 3 22 F C 0 2 0 因此 3 3 2 3 22 EF 3 1 0 BC 由 0EF BC 得EFBC 设直线EF与平面A1BC所成角为 由 可得 3 1 0 BC 1 0 2 2 3 AC 设平面A1BC的法向量为 x y z n 由 1 0 0 BC AC n n 得 30 30 xy yz 取 1 3 1 n 故 4 sincos 5 EF EF EF n n n 因此直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为 3 5 9 解析解析 1 由已知得ADBE CGBE 所以AD CG 故AD CG确定一个平面 从而A C G D四点共面 由已知得AB BE AB BC 故AB 平面BCGE 又因为AB 平面ABC 所以平面ABC 平面BCGE 2 作EH BC 垂足为H 因为EH 平面BCGE 平面BCGE 平面ABC 所以EH 平 面ABC 由已知 菱形BCGE的边长为2 EBC 60 可求得BH 1 EH 3 以H为坐标原点 HC的方向为x轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 Hxyz 则A 1 1 0 C 1 0 0 G 2 0 3 CG 1 0 3 AC 2 1 0 设平面ACGD的法向量为n x y z 则 0 0 CG AC n n 即 30 20 xz xy 所以可取n 3 6 3 又平面BCGE的法向量可取为m 0 1 0 所以 3 cos 2 n m n m n m 因此二面角B CG A的大小为30 10 解析解析 1 由已知得 11 BC 平面 11 ABB A BE 平面 11 ABB A 故 11 BC BE 又 1 BEEC 所以BE 平面 11 EBC 2 由 1 知 1 90BEB 由题设知 11 RtRtABEABE 所以45AEB 故AEAB 1 2AAAB 以D为坐标原点 DA的方向为x轴正方向 DA为单位长 建立如图所示的空间直角坐 标系D xyz z y x 则C 0 1 0 B 1 1 0 1 C 0 1 2 E 1 0 1 1 0 0 CB 1 1 1 CE 1 0 0 2 CC 设平面EBC的法向量为n x y x 则 0 0 CB CE n n 即 0 0 x xyz 所以可取n 0 1 1 设平面 1 ECC的法向量为m x y z 则 10 0 CC CE m m 即 20 0 z xyz 所以可取m 1 1 0 于是 1 cos 2 n m n m n m 所以 二面角 1 BECC 的正弦值为 3 2 11 解析 1 连结B1C ME 因为M E分别为BB1 BC的中点 所以ME B1C 且ME 1 2 B1C 又因为N为A1D的中点 所以ND 1 2 A1D 由题设知A1B1 PDC 可得B1C PA1D 故ME PND 因此四边形MNDE为平行四边形 MN ED 又MN 平面EDC1 所以MN 平面C1DE 2 由已知可得DE DA 以D为坐标原点 DA uuu r 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系D xyz N M D C BA D1 C1 B1 A1 z y x 则 2 0 0 A A1 2 0 4 1 3 2 M 1 0 2 N 1 0 0 4 A A uuu r 1 1 3 2 AM uuuu r 1 1 0 2 AN uuur 1 1 0 2 AN uuur 设 x y z m为平面A1MA的法向量 则 1 1 0 0 AM A A uuuu r uuu r m m 所以 320 40 xyz z 可取 3 1 0 m 设 p q r n为平面A1MN的法向量 则 1 0 0 MN AN uuu r uuur n n 所以 30 20 q pr 可取 2 0 1 n 于是 2 315 cos 525 m n m n m n 所以二面角 1 AMAN 的正弦值为 10 5 12 解析解析 I 因为PA 平面ABCD 所以PACD 又因为ABCD 所以CD 平面PAD II 过 A 作 AD 的垂线交 BC 于点 M 因为PA 平面ABCD 所以 PAAM PAAD 如图建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 B 2 1 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 因为 E 为 PD 的中点 所以 E 0 1 1 所以 0 1 1AE uuu r 2 2 2PC uuu r 0 0 2AP uu u r 所以 12 22 33 33 PFPC uuu ruuu r 2 2 4 3 3 3 AFAPPF uuu ruu u ruuu r 设平面 AEF 的法向量为 x y z n 则 0 0 AE AF uuu v uuu v n n 即 0 224 0 333 yz xyz 令 z 1 则 y 1 x 1 于是 1 1 1 n 又因为平面 PAD 的法向量为 1 0 0 p 所以 3 cos 3 n p np 因为二面角 F AE P 为锐角 所以其余弦值为 3 3 z y x B G P F E D C M A III 直线 AG 在平面 AEF 内 因为点 G 在 PB 上 且 2 3 PG PB 2 1 2 PB uur 所以 2424 3333 PGPB uuu ruur 42 2 33 3 AGAPPG uuu ruu u ruuu r 由 II 知 平面 AEF 的法向量为 1 1 1 n 所以 422 0 333 AG uuu r n 所以直线 AG 在平面 AEF 内 13 解析解析 依题意 可以建立以A为原点 分别以AB AD AE 的方向为x轴 y轴 z轴 正方向的空间直角坐标系 如图所示 可得 0 0 0 1 0 0 1 2 0 0 1 0 ABCD 0 0 2 E 设 0 CFhh 则 1 2 Fh 依题意 1 0 0 AB 是平面ADE的法向量 又 0 2 BFh 可得0BF AB 又因为直线BF 平面ADE 所以BF 平面ADE 依题意 1 1 0 1 0 2 1 2 2 BDBECE 设 x y z n为平面BDE的法向量 则 0 0 BD BE n n 即 0 20 xy xz 不妨令1z 可得 2 2 1 n 因此有 4 cos 9 CE CE CE n n n 所以 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 设 x y z m为平面BDF的法向量 则 0 0 BD BF m m 即 0 20 xy yhz 不妨令1y 可得 2 1 1 h m 由题意 有 2 2 4 1 cos 34 32 h h m n m n m n 解得 8 7 h 经检验 符合题意 所以 线段CF的长为 8 7 2010 2018 年 1 解析 1 由已知可得 BF PF BF EF 所以BF 平面 PEF 又BF 平面ABFD 所以平面PEF 平面ABFD 2 作PH EF 垂足为H 由 1 得 PH 平面ABFD 以H为坐标原点 HF的方向为y轴正方向 BF为单位长 建立如图所示的空间直 角坐标系 Hxyz H z y x P F E DC B A 由 1 可得 DE PE 又DP 2 DE 1 所以PE 3 又PF 1 EF 2 故PE PF 可得 3 2 PH 3 2 EH 则 0 0 0 H 3 0 0 2 P 3 1 0 2 D 33 1 22 DP 3 0 0 2 HP 为平面ABFD的法向量 设DP与平面ABFD所成角为 则 3 3 4 sin 4 3 HP DP HPDP 所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为 3 4 2 解析 1 在三棱柱 111 ABCABC 中 1 CC 平面ABC 四边形 11 A ACC为矩形 又E F分别为AC 11 AC的中点 AC EF ABBC AC BE AC 平面BEF 2 由 1 知AC EF AC BE EF 1 CC 又 1 CC 平面ABC EF 平面ABC BE 平面ABC EF BE 如图建立空间直角坐称系Exyz z y x C1 B1 A1 G F E D C B A 由题意得 0 2 0 B 1 0 0 C 1 0 1 D 0 0 2 F 0 2 1 G 2 0 1 CD uuu r 1 2 0 CB uur 设平面BCD的法向量为 a b c n 0 0 CD CB uuu r uur n n 20 20 ac ab 令2a 则1b 4c 平面BCD的法向量 214 n 又 平面 1 CDC的法向量为 0 2 0 EB uur 21 cos 21 EB EB EB uur uur uur n n n 由图可得二面角 1 BCDC 为钝角 所以二面角 1 BCDC 的余弦值为 21 21 3 平面BCD的法向量为 214 n 0 2 1 G 0 0 2 F 02 1 GF uuu r 2GF uuu r n n与GF uuu r 不垂直 GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内 GF与平面BCD相交 3 解析 1 因为4APCPAC O为AC的中点 所以OPAC 且2 3OP 连结OB 因为 2 2 ABBCAC 所以ABC 为等腰直角三角形 且OBAC 1 2 2 OBAC 由 222 OPOBPB 知POOB 由 OPOB OPAC知PO 平面ABC 2 如图 以O为坐标原点 OB uu u r 的方向为x轴正方向 建立空间直角坐标系Oxyz z y x A B C P M O 由已知得 0 0 0 O 2 0 0 B 0 2 0 A 0 2 0 C 0 0 2 3 P 0 2 2 3 AP uu u r 取平面PAC的法向量 2 0 0 OB uu u r 设 2 0 02 M aaa 则 4 0 AMaa uuur 设平面PAM的法向量为 x y z n 由0 0APAM uu u ruuur nn得 22 30 4 0 yz axa y 可取 3 4 3 aaa n 所以 222 2 3 4 cos 2 3 4 3 a OB aaa uu u r n 由已知得 3 cos 2 OB uu u r n 所以 222 2 3 4 3 2 2 3 4 3 a aaa 解得4a 舍去 4 3 a 所以 8 3 4 34 333 n 又 0 2 2 3 PC uuu r 所以 3 cos 4 PC uuu r n 所以PC与平面PAM所成角的正弦值为 3 4 4 解析 1 由题设知 平面CMD 平面ABCD 交线为CD 因为BC CD BC 平面ABCD 所以BC 平面CMD 故BC DM 因为M为CD上异于C D的点 且DC为直径 所以 DM CM 又BCCM C 所以DM 平面BMC 而DM 平面AMD 故平面AMD 平面BMC 2 以D为坐标原点 DA的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz z y x A B C D M 当三棱锥MABC 体积最大时 M为CD的中点 由题设得 0 0 0 D 2 0 0 A 2 2 0 B 0 2 0 C 0 1 1 M 2 1 1 AM 0 2 0 AB 2 0 0 DA 设 x y z n是平面MAB的法向量 则 0 0 AM AB n n 即 20 20 xyz y 可取 1 0 2 n DA是平面MCD的法向量 因此 5 cos 5 DA DA DA n n n 2 5 sin 5 DA n 所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是 2 5 5 5 解析 依题意 可以建立以D为原点 分别以DA DC DG的方向为x轴 y轴 z轴的正方向的空间直角坐标系 如图 可得 0 0 0 D 2 0 0 A 1 2 0 B 0 2 0 C 2 0 2 E 0 1 2 F 0 0 2 G 3 0 1 2 M 1 0 2 N z y x M GF E D C B A N 1 证明 依题意 0 2 0 DC 2 0 2 DE 设 0 x y z n为平面CDE的法向 量 则 0 0 0 0 DC DE n n 即 20 220 y xz 不妨令1z 可得 0 1 0 1 n 又 3 1 1 2 MN 可得 0 0MN n 又因为直线MN 平面CDE 所以MN 平面CDE 2 依题意 可得 1 0 0 BC 12 2 BE 0 1 2 CF 设 x y z n为平面BCE的法向量 则 0 0 BC BE n n 即 0 220 x xyz 不妨令1z 可得 0 1 1 n 设 x y z m为平面BCF的法向量 则 0 0 BC BF m m 即 0 20 x yz 不妨令1z 可得 0 2 1 m 因此有 3 10 cos 10 m n m n m n 于是 10 sin 10 m n 所以 二面角EBCF 的正弦值为 10 10 3 设线段DP的长为h 0 2 h 则点P的坐标为 0 0 h 可得 12 BPh 易知 0 2 0 DC 为平面ADGE的一个法向量 故 2 2 cos 5 BP DC BP DC BP DCh 由题意 可得 2 23 sin60 2 5h 解得 3 0 2 3 h 所以线段DP的长为 3 3 6 解析 如图 在正三棱柱 111 ABCABC 中 设AC 11 AC的中点分别为O 1 O 则 OBOC 1 OOOC 1 OOOB 以 1 OB OC OO为基底 建立空间直角坐标 系Oxyz 因为 1 2ABAA 所以 111 0 1 0 3 0 0 0 1 0 0 1 2 3 0 2 0 1 2 ABCABC O1 O z y x A B C Q P A1 C1 B1 1 因为P为 11 AB的中点 所以 31 2 22 P 从而 1 31 2 0 2 2 22 BPAC 故 1 1 1 14 3 10 cos 20 52 2 BP AC BP AC BPAC 因此 异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为 3 10 20 2 因为 Q 为 BC 的中点 所以 3 1 0 22 Q 因此 3 3 0 22 AQ 11 0 2 2 0 0 2 ACCC 设 n x y z 为平面 AQC1的一个法向量 则 1 0 0 AQ AC n n 即 33 0 22 220 xy yz 不妨取 3 1 1 n 设直线 CC1与平面 AQC1所成角为 则 1