求参数取值范围问题的几种基本策略(已发表)

求参数取值范围问题的几种基本策略求参数取值范围问题的几种基本策略 李党望 上海市宝山中学 参数也称参变数或参变量 是指相对于未知数来说可以在一定范围内取值的常数 有 时也指用来表示不同未知数之间联系的相关未知数 本文中的参数界定为前者 求参数取值 范围 是学生数学学习过程中常见的一类问题 也一直是高考考察的重点 同时也是是教 学中的一个难点 其基本形式为 已知 求的取值范围 笔者0 orayxf a 对此做了一下归纳研究 提供以下几种策略与同行交流 一 看能否建立参数的不等关系 然后解不等式一 看能否建立参数的不等关系 然后解不等式 该策略的关键是从条件中寻找参数的不等量关系 建立起关于参数的不等式 然后解不 等式即得结果 例 1 2003 上海高考理科 21 题 在以 O 为原点的直角坐标系中 点 A 4 3 为 OAB 的直角顶点 已知 AB 2 OA 且点 B 的纵坐标大于零 是否存在实数a 使抛物线 上总有关于直线 OB 对称的两个点 若不存在 说明理由 若存在 求a的取1 2 axy 值范围 本题删去了前两小题 解 依题意可得 直线 OB 方程 2 1 xy 设 P x1 y1 Q x2 y2 为抛物线上关于直线 OB 对称两点 于是可设的直线方程为 PQbxy 2 由得 根据题意 我们有的两个关系 bxy axy 2 1 2 012 2 bxaxba 1 根据直线与抛物线有两个交点 有 这是一个的不等关系 0 ba 0 baf 即 0 1 1 ba 2 由中点在直线上可得的一个等量关系PQOBba 0 bag 即 0 2 5 a b 因为该问题是求参数的取值范围 于是我们可以从 中解出 代入 就可得关于ab 的不等式 a0 2 5 1 1 a a 2 3 a 评 通过的一个等式和的一个不等式 最后转化为关于的不等式 ba ba a 例 2 2007 上海高考理科 21 题 我们把由半椭圆 与半椭圆1 2 2 2 2 b y a x 0 x 合成的曲线称作 果圆 其中 1 2 2 2 2 c x b y 0 x 222 cba 0 a0 cb 如图 点 是相应椭圆的焦点 和 分别是 果圆 与 0 F 1 F 2 F 1 A 2 A 1 B 2 Bx 轴的交点 y 1 略 2 当时 求的取值范围 21A A 21B B a b 3 略 解 2 由题意 得 即 bca2 abba 2 22 得 2222 2 acbb 222 2 abba 5 4 a b 又 2 1 2 2 2222 a b bacb 2 4 25 b a 评 本题把看作一个参数 建立了关于的不等式 a b a b 二 看能否建立参数关于另一变量的等量关系 转化求函数值域二 看能否建立参数关于另一变量的等量关系 转化求函数值域 该策略的关键是建立起参数关于另外一个变量的等量关系即 Dttfag 然后问题转化为一个函数的求值域问题 例 3 若函数的最小值为 求的取值范围 xbxaxfcossin m1 3 fm 解 据题意有 22 bam 1 2 1 2 3 ba 可建立关于的等量关系 ma Raaam 4344 2 1 4 1 2 3 2 2 a 评 本题建立了关于函数关系 即等式关系 转化为求值域问题 ma ahm 例 4 已知圆与直线 交于两点 点 0122 22 yxyxClkxy QP bM 0 y 1 B O 1 A 2 B 2 A 1 F 0 F 2 F x 当时 求的取值范围 MQMP 2 3 1bk 解 设 2211 yxQyxP 由 kxy yxyx0122 22 012221 22 xkxk 2 21 2 21 1 1 1 22 k xx k k xx 00 k byxMQbyxMP 2211 00 2121 bybyxxMQMP 0 1 22 1 2 2 b k k bk 1 1 12 2 b b k kk 2 3 1b 即 6 13 2 1 b b 6 13 1 12 2 2 k kk 236236 1k 评 本题首先建立了与的等量关系 求出函数的值域 然后解关于kb bgkf bg 的不等式 k 三 看能否将问题条件中的代数关系转化为图形间的关系 数形结合三 看能否将问题条件中的代数关系转化为图形间的关系 数形结合 一种数量关系有其代数形态和几何形态 如果不能或不方便从代数的角度入手 那么我们可 以考虑从其形的角度思考 例 4 2008 上海高考理科 11 题 方程的解可视为函数的图 2 210 xx 2yx 像与函数的图像交点的横坐标 若方程的各个实根 1 y x 4 40 xax 所对应的点 I 1 2 k 均在直线的同侧 则实数a 12 4 k x xx k 1 4 x xiyx 的取值范围是 解 方程的根为方程的根 4 40 xax x ax 4 3 即函数与图象交点的横坐标 如图 axy 3 x y 4 8 6 4 2 2 4 6 8 10 5510 h x 4 x g x x f x x3 当函数图象经过点时 再往下移动 两个交点位于直线axy 3 2 26 axy 的下方 6 a 当函数图象经过点时 再往上移动 两个交点位于直线axy 3 2 2 6 a xy 的上方 6a 综上 66 a 例 5 2009 上海高考理科 11 题 当 不等式成立 则实数的时10 xkx x 2 sin k 取值范围是 解 如图 问题等价于 在上 1 0 函数的图象在函数 2 sin x y kxy 图象的上方 所以 1 k 评 数转形 形转数 数形结合是常用策略 要有足够的应用意识 四 看能否参数分离 转化为函数的最值或值域问题四 看能否参数分离 转化为函数的最值或值域问题 该方法主要在解决不等式的恒成立 不等式有解问题和方程有解问题时 较为方便 例 6 2008 上海高考理科 19 题 已知函数 1 2 2 x x f x 1 若 求的值 2f x x 2 若 0 对于恒成立 求实数的取值范围 2 2 t ft mf t 1 2 t m 解 1 略 2 当时 原不等式为 1 2 t 0 2 1 2 2 1 22 2 2 t t t tt m 即 恒成立 1212 42 tt m 0122 t 122 t m 10 8 6 4 2 2 4 6 10 5510 g x x f x sin 3 14 x 2 5 1712 2 1 2 t t 故 5 m 例 3 2008 上海春考 已知函数 2 log21 x f x 1 求证 函数在内单调递增 f x 2 记为函数的反函数 若关于的方程在上有 1 fx f xx 1 fxmf x 1 2 解 求的取值范围 m 解 1 略 2 1 2 log21 0 x fxx 1 mfxf x 22 log21log21 xx 22 212 loglog1 2121 x xx 当时 12x 222123 1 52133215 xx 的取值范围是 m 22 13 log log 35 评 参数分离法在解决不等式恒成立问题 方程有解问题 不等式有解问题时较方便 一 般地有 恒成立 若无最大值 则 为值域 xfm max xfm xf mAsupA xf 恒成立 若无最小值 则 为值域 xfm min xfm xf mAinfA xf 有解 若无最小值 则