理科数学2010-2019高考真题分类训练25专题九解析几何第二十五讲直线与圆—附解析答案

专题九 解析几何第二十五讲 直线与圆 2019 年 1 2019 北京理 3 已知直线 l 的参数方程为 x 1 3t y 2 4t t 为参数 则点 1 0 到直线 l 的距离是 A 1 5 B 2 5 C 4 5 D 6 5 2 2019 江苏 10 在平面直角坐标系xOy中 P 是曲线 4 0 yxx x 上的一个动点 则点 P 到直线 x y 0 的距离的最小值是 3 2019 江苏 18 如图 一个湖的边界是圆心为 O 的圆 湖的一侧有一条直线型公路 l 湖 上有桥 AB AB 是圆 O 的直径 规划在公路 l 上选两个点 P Q 并修建两段直线型道路 PB QA 规划要求 线段 PB QA 上的所有点到点 O 的距离均不小于圆 O 的半径 已知 点 A B 到直线 l 的距离分别为 AC 和 BD C D 为垂足 测得 AB 10 AC 6 BD 12 单 位 百米 1 若道路 PB 与桥 AB 垂直 求道路 PB 的长 2 在规划要求下 P 和 Q 中能否有一个点选在 D 处 并说明理由 3 在规划要求下 若道路 PB 和 QA 的长度均为 d 单位 百米 求当 d 最小时 P Q 两点间的距离 4 2019 浙江 12 已知圆C的圆心坐标是 0 m 半径长是r 若直线230 xy 与圆 C相切于点 2 1 A 则m r 2010 2018 年 2010 2018 年 一 选择题 1 2018 全国卷 直线20 xy 分别与x轴 y轴交于A B两点 点P在圆 22 2 2xy 上 则ABP 面积的取值范围是 A 2 6 B 4 8 C 2 3 2 D 2 2 3 2 2 2018 天津 已知圆 22 20 xyx 的圆心为 C 直线 2 1 2 2 3 2 xt yt t为参数 与该圆 相交于 A B 两点 则ABC 的面积为 3 2018 北京 在平面直角坐标系中 记d为点 cos sin P 到直线20 xmy 的距离 当 m变化时 d的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 4 2017 新课标 已知椭圆C 22 22 1 0 xy ab ab 的左 右顶点分别为 1 A 2 A 且以线段 12 A A为直径的圆与直线20bxayab 相切 则C的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 5 2017 新课标 在矩形ABCD中 1AB 2AD 动点P在以点C为圆心且与BD 相切的圆上 若APABAD 则 的最大值为 A 3 B 2 2 C 5 D 2 6 2015 山东 一条光线从点 2 3 射出 经y轴反射后与圆 22 3 2 1xy 相切 则反射光线所在直线的斜率为 A 5 3 或 3 5 B 3 2 或 2 3 C 5 4 或 4 5 D 4 3 或 3 4 7 2015 广东 平行于直线210 xy 且与圆 22 5xy 相切的直线的方程是 A 250 xy 或250 xy B 250 xy 或250 xy C 250 xy 或250 xy D 250 xy 或250 xy 8 2015 新课标 2 过三点 1 3 A 4 2 B 1 7 C 的圆交于y轴于M N两点 则 MN A 26 B 8 C 46 D 10 9 2015 重庆 已知直线 l 10 xayaR 是圆C 22 4210 xyxy 的对 称轴 过点 4 Aa 作圆C的一条切线 切点为B 则AB A 2 B 4 2 C 6 D 2 10 10 2014 新课标 2 设点 0 1 M x 若在圆 22 1O xy 上存在点 N 使得 45OMN 则 0 x的取值范围是 A 1 1 B 1 1 2 2 C 2 2 D 22 22 11 2014 福建 已知直线l过圆 2 2 34xy 的圆心 且与直线10 xy 垂直 则 l的方程是 A 20 xy B 20 xy C 30 xy D 30 xy 12 2014 北京 已知圆 22 341Cxy 和两点 0Am 00B mm 若圆C上存在点P 使得90APB 则m的最大值为 A 7 B 6 C 5 D 4 13 2014 湖南 若圆 22 1 1Cxy 与圆 22 2 680Cxyxym 外切 则m A 21 B 19 C 9 D 11 14 2014 安徽 过点 P 1 3 的直线l与圆1 22 yx有公共点 则直线l的倾斜角的 取值范围是 A 6 0 B 3 0 C 6 0 D 3 0 15 2014 浙江 已知圆 22 220 xyxya 截直线20 xy 所得弦的长度为 4 则 实数a的值是 A 2 B 4 C 6 D 8 16 2014 四川 设mR 过定点A的动直线0 xmy 和过定点B的动直线 30mxym 交于点 P x y 则 PAPB 的取值范围是 A 5 2 5 B 10 2 5 C 10 4 5 D 2 5 4 5 17 2014 江西 在平面直角坐标系中 A B分别是x轴和y轴上的动点 若以AB为直径 的圆C与直线240 xy 相切 则圆C面积的最小值为 A 4 5 B 3 4 C 62 5 D 5 4 18 2013 山东 过点 3 1 作圆 2 2 11xy 的两条切线 切点分别为 A B 则直线 AB 的方程为 A 230 xy B 230 xy C 430 xy D 430 xy 19 2013 重庆 已知圆 22 1 231Cxy 圆 22 2 349Cxy M N 分别是圆 12 C C上的动点 P为x轴上的动点 则PMPN 的最小值为 A 5 24 B 171 C 62 2 D 17 20 2013 安徽 直线2550 xy 被圆 22 240 xyxy 截得的弦长为 A 1 B 2 C 4 D 4 6 21 2013 新课标 2 已知点 1 0A 1 0B 0 1C 直线yaxb 0 a 将 ABC 分割为面积相等的两部分 则b的取值范围是 A 0 1 B 2 1 1 22 C 2 1 1 23 D 1 1 3 2 22 2013 陕西 已知点 M a b在圆 22 1 O xy 外 则直线1axby 与圆 O 的位置关 系是 A 相切 B 相交 C 相离 D 不确定 23 2013 天津 已知过点 P 2 2 的直线与圆 22 5 1 xy 相切 且与直线10axy 垂直 则a A 1 2 B 1 C 2 D 1 2 24 2013 广东 垂直于直线1yx 且与圆 22 1xy 相切于第一象限的直线方程是 A 20 xy B 10 xy C 10 xy D 20 xy 25 2013 新课标 2 设抛物线 2 4C yx 的焦点为F 直线l过F且与C交于A B两 点 若 3 AFBF 则l的方程为 A 1yx 或1yx B 3 1 3 yx 或 3 1 3 yx C 3 1 yx 或3 1 yx D 2 1 2 yx 或 2 1 2 yx 26 2012 浙江 设aR 则 1a 是 直线 1 l 210axy 与直线 2 l 1 40 xay 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 27 2012 天津 设m nR 若直线 1 1 2 0mxny 与圆 22 1 y 1 1x 相 切 则 m n的取值范围是 A 13 1 3 B 13 1 3 C 22 2 2 2 2 D 22 2 2 2 2 28 2012 湖北 过点 1 1 P的直线 将圆形区域 22 4x yxy 分为两部分 使得 这两部分的面积之差最大 则该直线的方程为 A 20 xy B 10y C 0 xy D 340 xy 29 2012 天津 在平面直角坐标系xOy中 直线3450 xy 与圆 22 4xy 相交于 A B两点 则弦AB的长等于 A 3 3 B 2 3 C D 30 2011 北京 已知点 A 0 2 B 2 0 若点 C 在函数 y x 的图像上 则使得 ABC 的面 积为 2 的点 C 的个数为 A 4 B 3 C 2 D 1 31 2011 江西 若曲线 1 C 22 20 xyx 与曲线 2 C 0y ymxm 有四个不同 的交点 则实数 m 的取值范围是 A 3 3 3 3 B 3 3 0 0 3 3 C 3 3 3 3 D 3 3 3 3 32 2010 福建 以抛物线 2 4yx 的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A 22 2 0 xyx B 22 0 xyx C 22 y 0 xx D 22 2 0 xyx 33 2010 广东 若圆心在x轴上 半径为5的圆O位于y轴左侧 且与直线20 xy 相切 则圆O的方程是 A 22 5 5xy B 22 5 5xy C 22 5 5xy D 22 5 5xy 二 填空题 34 2018 江苏 在平面直角坐标系xOy中 A 为直线 2l yx 上在第一象限内的点 5 0 B 以AB为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D 若0AB CD 则点 A 的横坐 标为 35 2017 江苏 在平面直角坐标系xOy中 12 0 A 0 6 B 点P在圆O 22 50 xy 上 若20PA PB 则点P的横坐标的取值范围是 36 2015 湖北 如图 圆C与x轴相切于点 1 0 T 与y轴正半轴交于两点 A B B 在 A 的上方 且2AB 圆C的标准 方程为 过点A任作一条直线与圆 22 1O xy 相交于 M N两点 下列三个结论 NAMA NBMB 2 NBMA NAMB 2 2 NBMA NAMB 其中正确结论的序号是 写出所有正确结论的序号 37 2014 江苏 在平面直角坐标系xOy中 直线032 yx被圆4 1 2 22 yx截 得的弦长为 38 2014 重庆 已知直线02 yax与圆心为C的圆 41 22 ayx相交于BA 两点 且ABC 为等边三角形 则实数 a 39 2014 湖北 直线 1 l yxa 和 2 l yxb 将单位圆 22 1C xy 分成长度相等 的四段弧 则 22 ab 40 2014 山东 圆心在直线20 xy 上的圆C与y轴的正半轴相切 圆C截x轴所得弦 的长为2 3 则圆C的标准方程为 41 2014 陕西 若圆C的半径为 1 其圆心与点 0 1 关于直线xy 对称 则圆C的标准 方程为 42 2014 重庆 已知直线0 ayx与圆心为C的圆0442 22 yxyx相交于 BA 两点 且BCAC 则实数a的值为 43 2014 湖北 已知圆 22 1O xy 和点 2 0 A 若定点 0 B b 2 b 和常数 满足 对圆O上任意一点M 都有 MBMA 则 b 44 2013 浙江 直线23yx 被圆 22 680 xyxy 所截得的弦长等于 45 2013 湖北 已知圆O 22 5xy 直线l cossin1xy 0 2 设圆O上 到直线l的距离等于 1 的点的个数为k 则k 46 2012 北京 直线yx 被圆 22 2 4xy 截得的弦长为 47 2011 浙江 若直线250 xy 与直线260 xmy 互相垂直 则实数m 48 2011 辽宁 已知圆 C 经过 A 5 1 B 1 3 两点 圆心在 x 轴上 则 C 的方程为 49 2010 新课标 圆心在原点上与直线20 xy 相切的圆的方程为 50 2010 新课标 过点 A 4 1 的圆 C 与直线0 xy 相切于点 2 1 B 则圆 C 的方程 为 三 解答题 51 2016 年全国 I 设圆 22 2150 xyx 的圆心为A 直线l过点 1 0 B且与x轴不重 合 l交圆A于C D两点 过B作AC的平行线交AD于点E I 证明EAEB 为定值 并写出点E的轨迹方程 II 设点E的轨迹为曲线 1 C 直线l交 1 C于M N两点 过B且与l垂直的直线 与圆A交于P Q两点 求四边形MPNQ面积的取值范围 52 2014 江苏 如图 为了保护河上古桥OA 规划建一座新桥 BC 同时设立一个圆形保 护区 规划要求 新桥 BC 与河岸 AB 垂直 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆 且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m 经测量 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处 OC 为河岸 3 4 tan BCO I 求新桥 BC 的长 II 当 OM 多长时 圆形保护区的面积最大 53 2013 江苏 如图 在平面直角坐标系xOy中 点 0 3A 直线24lyx 设圆C 的半径为 1 圆心在l上 y x l O A I 若圆心C也在直线1yx 上 过点A作圆C的切线 求切线的方程 II 若圆C上存在点M 使2MAMO 求圆心C的横坐标a的取值范围 54 2013 新课标 2 在平面直角坐标系xOy中 已知圆P在x轴上截得线段长为2 2 在y 轴上截得线段长为2 3 I 求圆心P的轨迹方程 II 若P点到直线yx 的距离为 2 2 求圆P的方程 55 2011 新课标 在平面直角坐标系xoy中 曲线 2 61yxx 与坐标轴的交点都在圆 C 上 I 求圆 C 的方程 II 若圆 C 与直线0 xya 交于 A B 两点 且 OAOB 求a的值 56 2010 北京 已知椭圆 C 的左 右焦点坐标分别是 2 0 2 0 离心率是 6 3 直线yt 椭圆 C 交与不同的两点M N 以线段MN为直径作圆P 圆心为P I 求椭圆 C 的方程 II 若圆P与x轴相切 求圆心P的坐标 设 Q x y是圆P上的动点 当t变化时 求y的最大值 专题九 解析几何 第二十五讲 直线与圆 答案部分 2019 年 1 解析解析 由直线 l 的参数方程消去 t 可得其普通方程为4320 xy 则点 1 0 到直线 l 的距离是 2 2 4 1 3 026 5 43 d 故选 D 2 解析解析 解解法一法一 由 4 0 yxx x 得 2 4 1y x 设斜率为1 的直线与曲线 4 0 yxx x 切于 00 0 4 x x x 由 2 0 4 11 x 解得 00 2 0 xx 所以曲线 4 0 yxx x 上 点 2 3 2 P到直线0 xy 的距离最小 最小值为 23 2 4 2 解法二解法二 由题意可设点P的坐标为 4 x x x 0 x 则点P到直线0 xy 的距离 42 2 22 2 24 222 xxx xx dx x 当且仅当2x 等号成立 所以点P到直线0 xy 的距离的最小值为 4 3 解解析析 解法一 解法一 1 过A作AEBD 垂足为E 由已知条件得 四边形ACDE为矩形 6 8DEBEACAECD 因为PB AB 所以 84 cossin 105 PBDABE 所以 12 15 4 cos 5 BD PB PBD 因此道路PB的长为15 百米 2 若P在D处 由 1 可得E在圆上 则线段BE上的点 除B E 到点O的距离均小 于圆O的半径 所以P选在D处不满足规划要求 若Q在D处 联结AD 由 1 知 22 10ADAEED 从而 222 7 cos0 225 ADABBD BAD AD AB 所以 BAD为锐角 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此 Q选在D处也不满足规划要求 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 1 PPB 中 1 15PBPB 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右侧 才能符合规划要求 当QA 15时 2222 1563 21CQQAAC 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆 O的半径 综上 当PB AB 点Q位于点C右侧 且CQ 3 21时 d最小 此时P Q两点间的距离 PQ PD CD CQ 17 3 21 因此 d最小时 P Q两点间的距离为17 3 21 百米 解法二 解法二 1 如图 过O作OH l 垂足为H 以O为坐标原点 直线OH为y轴 建立平面直角坐标系 因为BD 12 AC 6 所以OH 9 直线l的方程为y 9 点A B的纵坐标分别为3 3 因为AB为圆O的直径 AB 10 所以圆O的方程为x2 y2 25 从而A 4 3 B 4 3 直线AB的斜率为 3 4 因为PB AB 所以直线PB的斜率为 4 3 直线PB的方程为 425 33 yx 所以P 13 9 22 134 93 15PB 因此道路PB的长为15 百米 2 若P在D处 取线段BD上一点E 4 0 则EO 4 5 所以P选在D处不满足规划 要求 若Q在D处 联结AD 由 1 知D 4 9 又A 4 3 所以线段AD 3 6 44 4 yxx 剟 在线段AD上取点M 3 15 4 因为 2 222 15 3345 4 OM 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径 因此Q选在D处也不满足规划要求 综上 P和Q均不能选在D处 3 先讨论点P的位置 当 OBP90 时 在 1 PPB 中 1 15PBPB 由上可知 d 15 再讨论点Q的位置 由 2 知 要使得QA 15 点Q只有位于点C的右侧 才能符合规划要求 当QA 15时 设Q a 9 由 22 4 93 15 4 AQaa 得a 43 21 所以Q 43 21 9 此时 线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径 综上 当P 13 9 Q 43 21 9 时 d最小 此时P Q两点间的距离 43 21 13 173 21PQ 因此 d最小时 P Q两点间的距离为173 21 百米 4 解析解析 解法解法一一 如图 由圆心与切点的连线与切线垂直 得 11 22 m 解得2m 所以圆心为 0 2 则半径 22 20 1 2 5r 解法解法二 二 由 2 2 03 4 1 4 1 m rm 得2m 所以 5 5 5 r 2010 2018 年 1 A 解析 圆心 2 0 到直线的距离 202 2 2 2 d 所以点P到直线的距离 1 2 3 2 d 根据直线的方程可知A B两点的坐标分别 为 2 0 A 0 2 B 所以 2 2AB 所以ABP 的面积 11 1 2 2 SAB dd 因为 1 2 3 2 d 所以 2 6 S 即ABP 面积的取值范围是 2 6 故选 A 2 1 2 解析 直线的普通方程为20 xy 圆的标准方程为 22 1 1xy 圆心为 1 0 C 半径为 1 点C到直线20 xy 的距离 1 02 2 22 d 所 以 2 2 2 1 2 2 AB 所以 121 2 222 ABC S 3 C 解析 由题意可得 22 cossin2 sincos2 11 mm d mm 2 2 22 22 1 1 sincos 2 1sin 2 11 11 m m m mm mm 其中 2 cos 1 m m 2 1 sin 1m 1sin 1 22 22 21 21 11 mm d mm 2 22 212 1 11 m mm 当0m 时 d取得最大值 3 故选 C 4 A 解析 以线段 12 A A为直径的圆是 222 xya 直线20bxayab 与圆相切 所以圆心到直线的距离 22 2ab da ab 整理为 22 3ab 即 22222 323aacac 即 2 2 2 3 c a 6 3 c e a 故选 A 5 A 解析 如图建立直角坐标系 y x P A BC D 则 0 1 A 0 0 B 2 1 D P x y 由等面积法可得圆的半径为 2 5 所以圆的方程为 22 4 2 5 xy 所以 1 APx y 0 1 AB 2 0 AD 由APABAD 得 2 1 x y 所以 1 2 x y 设1 2 x zy 即10 2 x yz 点 P x y在圆上 所以圆心到直线10 2 x yz 的距离小于半径 所以 2 2 15 1 4 z 解得13z 所以z的最大值为 3 即 的最大值为 3 选 A 6 D 解析 2 3 关于y轴对称点的坐标为 2 3 设反射光线所在直线为 3 2 yk x 即23 0kxyk 则 2 3223 1 1 kk d k 2 55 1kk 解得 4 3 k 或 3 4 7 A 解析 设所求直线的方程为20 xyc 1 c 则 22 5 21 c 所以 5c 故所求直线的方程为250 xy 或250 xy 8 C 解析 设过 A B C三点的圆的方程为 22 0 xyDxEyF 则 3100 42200 7500 DEF DEF DEF 解得2 4 20DEF 所求圆的方程为 22 24200 xyxy 令0 x 得 2 4200yy 设 1 0 My 2 0 Ny 则 12 4yy 12 20yy 所以 2 121212 44 6MNyyyyy y 9 C 解析 圆C标准方程为 22 2 1 4xy 圆心为 2 1 C 半径为2r 因此21 10a 1a 即 4 1 A 2 222 42 1 1 46ABACr 选 C 10 A 解析 当点M的坐标为 1 1 时 圆上存在点 1 0 N 使得45OMN 所以 0 1x 符合题意 排除 B D 当点M的坐标为 2 1 时 3OM 过点M作圆O的一 条 切 线MN 连 接 ON 则 在RtOMN 中 32 sin 32 OMN 则 45OMN 故此时在圆O上不存在点N 使得 45OMN 即 0 2x 不符 合题意 排除 C 故选 A 11 D 解析 直线l过点 0 3 斜率为1 所以直线l的方程为30 xy 12 B 解析 因为圆C的圆心为 3 4 半径为 1 5OC 所以以原点为圆心 以m 为半径与圆C有公共点的最大圆的半径为 6 所以m的最大值为 6 故选 B 13 C 解析 由题意得 12 0 0 3 4 CC 12 1 25rrm 1212 1255CCrrm 所以9m 14 D 解析 设直线l的倾斜角为 由题意可知 minmax 0 2 63 15 B 解析 圆的标准方程为 22 1 1 2xya 则圆心 1 1 C 半径r满足 2 2ra 则圆心C到直线20 xy 的距离 2 2 1 1 d 所以 2 422ra 故4a 16 B 解析 易知直线0 xmy 过定点 0 0 A 直线30mxym 过定点 1 3 B 且两条直线相互垂直 故点P在以AB为直径的圆上运动 故 cos sinPAPBABPABABPAB 102sin 4 PAB 10 2 5 故选 B 17 A 解析 由题意可知以线段AB为直径的圆 C 过原点O 要使圆C的面积最小 只 需圆C的半径或直径最小 又圆C与直线240 xy 相切 所以由平面几何知识 知圆的直径的最小值为点O到直线240 xy 的距离 此时 4 2 5 r 得 2 5 r 圆C的面积的最小值为 2 4 5 Sr 18 A 解析 根据平面几何知识 直线AB一定与点 3 1 1 0 的连线垂直 这两点连 线的斜率为 1 2 故直线AB的斜率一定是2 只有选项 A 中直线的斜率为2 19 A 解析 圆 C1 C2的圆心分别为 C1 C2 由题意知 PM PC1 1 PN PC2 3 PM PN PC1 PC2 4 故所求值为 PC1 PC2 4 的最小值 又 C1关于 x 轴对称的点为 C3 2 3 所以 PC1 PC2 4 的最小值为 C3C2 4 22 233445 24 故选 A 20 C 解析 圆心 1 2 圆心到直线的距离 1 4 5 5 1 5 d 半径5r 所以最 后弦长为 22 2 5 14 21 B 解析 1 当yaxb 过 1 0A 与BC的中点D时 符合要求 此 1 3 b 2 当yaxb 位于 位置时 1 0 b A a 1 1 11 b ab D aa 令 11 1 2 A BD S 得 2 1 2 b a b 0a 1 2 b 3 当yaxb 位于 位置时 2 1 11 bba A aa 2 1 11 b ab D aa 令 22 1 2 A CD S 即 1111 1 2112 bb b aa 化简得 22 241abb 0a 2 2410bb 解得 22 11 22 b y x A1 D2 D1 A2 y ax b D O AB C 综上 21 1 22 b 选 B 22 B 解析 点 M a b 在圆 22 1xy 外 22 1ab 圆 0 0 O到直线1axby 距离 22 1 1d ab 圆的半径 故直线与圆相交 所以选 B 23 C 解析 设直线斜率为k 则直线方程为2 2 yk x 即220kxyk 圆心 1 0 到直线的距离 2 22 5 1 kk k 即 2 2 5 1 k k 解得 1 2 k 因为直 线与直线10axy 垂直 所以 11 2 k a 即2a 选 C 24 A 解析 圆心到直线的距离等于1r 排除 B C 相切于第一象限排除 D 选 A 直接法可设所求的直线方程为 0yxk k 再利用圆心到直线的距离等于 1r 求得2k 25 C 解析 抛物线 2 4yx 的焦点坐标为 1 0 准线方程为1x 设 11 A x y 22 B xy 则因为 AF 3 BF 所以 12 13 1 xx 所以 12 32xx 因为 1 y 3 2 y 1 x 9 2 x 所以 1 x 3 2 x 1 3 当 1 x 3 时 2 1 12y 所以此时 1 122 3y 若 1 2 3y 则 12 3 3 2 3 33 AB 此时3 AB k 此时直线方程为3 1 yx 若 1 2 3y 则 1 2 3 3 2 3 33 AB 此时3 AB k 此时直线方程为3 1 yx 所以l的方程是3 1 yx 或3 1 yx 选 C 26 A 解析 直线 1 l 210axy 与直线 2 l 1 40 xay 平行 的充要条件 是 1 2a a 解得 1a 或2a 所以是充分不必要条件 27 D 解析 直线 1 1 2 0mxny 与圆 22 1 y 1 1x 相切 圆心 1 1 到 直线的距离为 22 1 1 2 1 1 1 mn d mn 所以 2 1 2 mn mnmn 设 t mn 则 2 1 1 4 tt 解得 22 2 2 2 2 t 28 A 解析 要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大 必须使过点P的圆的弦长 达到最小 所以需该直线与直线OP垂直即可 又已知点 1 1 P 则1 OP k 故所求直线 的斜率为 1 又所求直线过点 1 1 P 故由点斜式得 所求直线的方程为 11yx 即20 xy 故选 A 29 B 解析 圆 22 4xy 的圆心 0 0 O到直线3450 xy 的距离 5 1 5 d 弦AB的长 22 22 3ABrd 30 A 解析 设点 2 C t t 直线AB的方程是20 xy 2 2AB 由于ABC 的面积为 2 则这个三角形中AB边上的高h满足方程 1 2 22 2 h 即2h 由点到直线的距离公式得 2 2 2 2 tt 即 2 2 2tt 解得有 4 个实根 故这样的点 C 有 4 个 31 B 解析 22 1 1 1Cxy 2 C表示两条直线即x轴和直线l 1 ym x 显然x 轴与 1 C有两个交点 由题意l与 2 C相交 所以 1 C的圆心到l的距离 2 1 1 0 1 1 m dr m 解得 33 33 m 又当0m 时 直线l与x轴重合 此时只有两个交点 不符合题意 故选 B 32 D 解析 因为已知抛物线的焦点坐标为 1 0 即所求圆的圆心 又圆过原点 所以 圆的半径为1r 故所求圆的方程为 22 1 1xy 即 22 20 xxy 选 D 33 D 解析 设圆心 0 0 O aa 则 22 5 12 a 即 5a 解得5a 所以 圆O的方程为 22 5 5xy 34 3 解析 因为0AB CD 所以ABCD 又点C为AB的中点 所以45BAD 设直线l的倾斜角为 直线AB的斜率为k 则tan2 tan 3 4 k 又 5 0 B 所以直线AB的方程为3 5 yx 又A为直线l 2yx 上在第一象限 内的点 联立直线AB与直线l的方程 得 3 5 2 yx yx 解得 3 6 x y 所以点A的 横坐标为 3 35 5 2 1 解析 设 P x y 由20PA PB 得250 xy O5 2 5 2 2x y 5 0 N M y x B A 如图由250 xy 可知 P在MN上 由 22 250 50 xy xy 解得 1 7 M 5 5 N 所以P点横坐标的取值范围为 5 2 1 36 22 1 2 2xy 解析 由题意 设 1 Cr r为圆C的半径 因为 2AB 所以 22 112r 所以圆心 1 2 C 故圆C的标准方程为 22 1 2 2xy 由 22 0 1 2 2 x xy 解得 0 21 x y 或 0 21 x y 因为B在A的上方 所以 0 21 A 0 21 B 不妨令直线MN的方程为0 x 0 1 M 0 1 N 所以 2MA 22MB 22NA 2NB 所以 22 21 2 NA NB 2 21 22 MA MB 所以 NAMA NBMB 所以 2 21 2 22 NBMA NAMB 2 21 2 2 22 NBMA NAMB 正确结论的序号 37 2 55 5 解析 圆心 2 1 到直线032 yx的距离 223 3 55 d 直线032 yx被圆4 1 2 22 yx截得的弦长为 9 2 4 5 2 55 5 38 415 解析 由题意知圆心 1 Ca到直线02 yax的距离等于3 即 2 12 3 1 aa a 解得415a 39 2 解析 由题意得 直线 1 l截圆所得的劣弧长为 2 则圆心到直线 1 l的距离为 2 2 即 2 22 a 得 2 1a 同理可得 2 1b 则 22 2ab 40 22 2 1 4xy 解析 设圆心为 2 b b 则圆的半径为2b 圆心到x轴的距 离为b 所以 22 2 42 3 0bbb 解得1b 所以圆C的标准方程为 22 2 1 4xy 41 22 1 1xy 解析 因为点 0 1 关于直线xy 对称的点的坐标为 0 1 所以所 求圆的圆心为 0 1 半径为 1 于是圆 C 的标准方程为 22 1 1xy 42 0 或 6 解析 圆 C的标准方程为 22 1 2 9xy 所以圆心为 1 2 C 半径 为 3 因为ACBC 所以圆心C到曲线0 ayx的距离为 3 2 2 即 1 2 3 2 22 a 所以0a 或 6 43 1 1 2 2 解析 设 M x y 则 2222 1 1xyyx 2 2222222 2 22222 5 1 211 2 2 2 44 154254 bb MBxbyxbxbxbbxb MAxyxxxxx 为常数 2 5 10 2 bb 解得 1 2 b 或2b 舍去 2 1 24 b 解得 1 2 或 1 2 舍去 44 4 5 解析 已知圆心为 3 4 半径为 5 圆心到直线23yx 的距离为 2 343 5 5 d 所以弦长 22 24 5lrd 45 4 解析 由题意圆心到该直线的距离为 1 而圆半径为5 2 故圆上有 4 个点到该 直线的距离为 1 46 2 2 解析 圆心 0 2 到直线yx 的距离为d 02 2 2 圆的半径为 2 所以 所求弦长为 2 22 2 2 2 2 47 1 解析 当0m 时 两直线不垂直 故0m 因为直线250 xy 与直线 260 xmy 的斜率分别为 1 2 和 2 m 由 12 1 2m 故1m 48 22 2 10 xy 解析 以题意设圆C的方程为 222 xayr 把所给的两点 坐标代入方程得 22 22 5 1 1 9 ar ar 解得 2 2 10 a r 所以圆 C 22 2 10 xy 49 22 2xy 解析 由题意可知原点到直线20 xy 的距离为圆的半径 即 002 2 2 r 所求圆的方程为 22 2xy 50 22 3 2xy 解析 设圆C的方程为 222 xaybr 由题意得 222 4 1 1 1 2 1 2 abr b a ab r 解得 3 0 2 a b r 所以圆 C 的方程为 22 3 2xy 51 解析 因为 ACAD ACEB 故ADCACDEBD 所以 EDEB 故 ADEDEAEBEA 又圆A的标准方程为16 1 22 yx 从而4 AD 所以4 EBEA 由题设得 0 1 A 0 1 B 2 AB 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为 1 34 22 yx 0 y 当l与x轴不垂直时 设l的方程为 0 1 kxky 11 yxM 22 yxN 由 1 34 1 22 yx xky 得01248 34 2222 kxkxk 则 34 8 2 2 21 k k xx 34 124 2 2 21 k k xx 所以 34 1 12 1 2 2 21 2 k k xxkMN 过点 0 1 B且与l垂直的直线m 1 1 x k y A到m的距离为 1 2 2 k 所以 1 34 4 1 2 42 2 2 2 2 2 k k k PQ 故四边形MPNQ的面积 34 1 112 2 1 2 k PQMNS 可得当l与x轴不垂直时 四边形MPNQ面积的取值范围为 38 12 当l与x轴垂直时 其方程为1 x 3 MN 8 PQ 四边形MPNQ的面积为 12 综上 四边形MPNQ面积的取值范围为 38 12 52 解析 I 如图 以 O 为坐标原点 OC 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系 xOy 由条件知 A 0 60 C 170 0 直线 BC 的斜率 k BC tan BCO 4 3 又因为 AB BC 所以直线 AB 的斜率 k AB 3 4 设点 B 的坐标为 a b 则 k BC 04 1703 b a k AB 603 04 b a 解得 a 80 b 120 所以 BC 22 170 80 0 120 150 因此新桥 BC 的长是 150 m II 设保护区的边界圆 M 的半径为 r m OM d m 0 d 60 由条件知 直线 BC 的方程为 4 170 3 yx 即436800 xy 由于圆 M 与直线 BC 相切 故点 M 0 d 到直线 BC 的距离是 r 即 3680 6803 55 dd r 因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m 所以 80 60 80 rd rd 即 6803 80 5 6803 60 80 5 d d d d 解得1035d 故当 d 10 时 6803 5 d r 最大 即圆面积最大 所以当 OM 10 m 时 圆形保护区的面积最大 解法二 I 如图 延长 OA CB 交于点 F 因为 tan BCO 4 3 所以 sin FCO 4 5 cos FCO 3 5 因为 OA 60 OC 170 所以 OF OC tan FCO 680 3 CF 850 cos3 OC FCO 从而 500 3 AFOFOA 因为 OA OC 所以 cos AFB sin F