第28章锐角三角函数导学案

1 C B A C B A C B A 斜边c 对边a b C B A 第第 28 章章 锐角三角函数导学案锐角三角函数导学案 课题 课题 28 1 锐角三角函数 1 学习目标 经历当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值都固定 即正弦值不变 这一事实 能根据正弦概念正确进行计算 学习重点 理解正弦 sinA 概念 知道当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值是固定值这一 事实 学习难点 当直角三角形的锐角固定时 它的对边与斜边的比值是固定值的事实 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 如图在 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 10m 求 AB 2 如图在 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 20m 求 BC 二 合作交流 二 合作交流 问题 问题 为了绿化荒山 某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管 在山坡上修建一座 扬水站 对坡面的绿地进行喷灌 现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30 为使出水口的高度 为 35m 那么需要准备多长的水管 思考思考 1 如果使出水口的高度为 50m 那么需要准备多长的水管 如果使 出水口的高度为 a m 那么需要准备多长的水管 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 30 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 思考思考 2 在 Rt ABC 中 C 90 A 45 A 对边与斜边的比值是一个定值吗 如果是 是多少 结论 直角三角形中 结论 直角三角形中 45 角的对边与斜边的比值角的对边与斜边的比值 三 教师点拨 三 教师点拨 从上面这两个问题的结论中可知 在一个 Rt ABC 中 C 90 当 A 30 时 A 的 对边与斜边的比都等于 1 2 是一个固定值 当 A 45 时 A 的对边与斜边的比都等于 2 2 也是一个固定值 这就引发我们产生这样一个疑问 当 A 取其他一定度数的锐角时 它的对边与斜边的比是否也是一个固定值 探究 任意画探究 任意画 Rt ABC 和和 Rt A B C 使得 使得 C C 90 A A a 那么 那么 BCB C ABA B 与有什么关系 你能解释一下吗 有什么关系 你能解释一下吗 结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角结论 这就是说 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如的度数一定时 不管三角形的大小如 何 何 A 的对边与斜边的比的对边与斜边的比 正弦函数概念 正弦函数概念 规定 在规定 在 Rt BC 中 中 C 90 A 的对边记作的对边记作 a B 的对边记作的对边记作 b C 的对边记作的对边记作 c 在 Rt BC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA a c sinA Aa Ac 的对边 的斜边 2 2 13 53 C B A 1 3 4C B A 例如 当 A 30 时 我们有 sinA sin30 当 A 45 时 我们有 sinA sin45 四 学生展示 四 学生展示 例例 1 如图 在如图 在 Rt ABC 中 中 C 90 求 求 sinA 和和 sinB 的值 的值 随堂练习随堂练习 1 做课本第做课本第 79 页练习 页练习 随堂练习随堂练习 2 1 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示 则 sin 的值是 A B C D 4 3 3 4 5 3 5 4 2 如图 在直角 ABC 中 C 90o 若 AB 5 AC 4 则 sinA A B C D 3 5 4 5 3 4 4 3 3 在 ABC 中 C 90 BC 2 sinA 则边 AC 的长是 2 3 A B 3 C D 13 4 35 4 如图 已知点 P 的坐标是 a b 则 sin 等于 A a b B b a C 2222 ab D abab 五 课堂小结 五 课堂小结 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边与斜边的比都 是 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的 记作 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 只做与正弦函数有关的部分 只做与正弦函数有关的部分 课题 课题 28 1 锐角三角函数 2 学习目标 感知当直角三角形的锐角固定时 它的邻边与斜边 对边与邻边的比值也都固定这一事实 逐步培养学生观察 比较 分析 概括的思维能力 重点 难点 学习重点 理解余弦 正切的概念 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的 2 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 已知 AC BC 2 那么 sin ACD 5 A B C D 5 3 2 3 2 5 5 5 2 3 如图 已知 AB 是 O 的直径 点 C D 在 O 上 且 AB 5 BC 3 则 sin BAC sin ADC 4 在 Rt ABC 中 C 90 当锐角 当锐角 A 确定时 确定时 A 的对边与斜边的比是 现在我们要问 A 的邻边与斜边的比呢 的邻边与斜边的比呢 A 的对边与邻边的比呢 为什么 的对边与邻边的比呢 为什么 二 合作交流 二 合作交流 探究 探究 一般地 当一般地 当 A A 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值 取其他一定度数的锐角时 它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值 如图 如图 Rt ABC 与与 Rt A B C C C 90o B B 那么那么与与有什么关系 有什么关系 C B A A B C D E O A B C D A的邻边b A的对边a 斜边c C B A 3 斜边c 对边a b C B A 6 C B A 三 教师点拨 三 教师点拨 类似于正弦的情况 如图在 Rt BC 中 C 90 当锐角当锐角 A 的大小确定时的大小确定时 A 的邻边与斜边的比 A 的对边与邻边的比也分别是确定的 我们 把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 cosA 即 cosA A 与与与 与与 a c 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切正切 记作 tanA 即 tanA A A 与与与 与与与 a b 例如 当 A 30 时 我们有 cosA cos30 当 A 45 时 我们有 tanA tan45 教师讲解并板书 锐角 教师讲解并板书 锐角 A 的正弦 余弦 正切都叫做的正弦 余弦 正切都叫做 A 的锐角三角函数 的锐角三角函数 对于锐角对于锐角 A 的每一个确定的值 的每一个确定的值 sinA 有唯一确定的值与它对应 所以有唯一确定的值与它对应 所以 sinA 是是 A 的函数 同的函数 同 样地 样地 cosA tanA 也是也是 A 的函数 的函数 例例 2 如图 在 Rt ABC 中 C 90 BC 6 sinA 3 5 求 cosA tanB 的值 四 学生展示 四 学生展示 练习一 完成课本练习一 完成课本 P81P81 练习练习 1 1 2 2 3 3 练习二 练习二 1 在中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则有 A B C D 2 在中 C 90 如果 cos A 那么的值为 4 5 A B C D 3 5 5 4 3 4 4 3 3 如图 P 是 的边 OA 上一点 且 P 点的坐标为 3 4 则 cos 五 课堂小结 五 课堂小结 在 Rt BC 中 C 90 我们把 锐角 A 的对边与斜边的比叫做 A 的正弦 记作 sinA 即 sinA a c sinA Aa Ac 的对边 的斜边 把 A 的邻边与斜边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 即 把 A 的对边与邻边的比叫做 A 的正切正切 记作 即 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 只做与余弦 正切有关的部分 只做与余弦 正切有关的部分 4 课题 课题 28 1 锐角三角函数 3 能推导并熟记 30 45 60 角的三角函数值 并能根据这些值说出对应锐角度数 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算式 学习重点 熟记 30 45 60 角的三角函数值 能熟练计算含有 30 45 60 角的三角函数的运算 式 学习难点 30 45 60 角的三角函数值的推导过程 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 一个直角三角形中 一个锐角正弦是怎么定义的 一个锐角余弦是怎么定义的 一个锐角正切是怎么定义的 二 合作交流 二 合作交流 思考思考 两块三角尺中有几个不同的锐角 是多少度 你能分别求出这几个锐角的正弦值 余弦值和正切值码 三 教师点拨 三 教师点拨 归纳结果归纳结果 30 45 60 siaA cosA tanA 例例 3 求下列各式的值 1 cos260 sin260 2 cos45 sin45 tan45 例例 4 1 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 AB 6 BC 3 求 A 的度数 2 如图 2 已知圆锥的高 AO 等于圆锥的底面半径 OB 的 3 倍 求 a 四 学生展示 四 学生展示 一 课本一 课本 83 页页 第第 1 题课本题课本 83 页页 第第 2 题题 二 选择题 二 选择题 1 已知 Rt ABC 中 C 90 cosA AB 15 则 AC 的长是 3 5 A 3 B 6 C 9 D 12 2 下列各式中不正确的是 A sin260 cos260 1 B sin30 cos30 1 C sin35 cos55 D tan45 sin45 3 计算 2sin30 2cos60 tan45 的结果是 A 2 B 3 C 2 D 1 4 已知 A 为锐角 且 cosA 那么 1 2 A 0 A 60 B 60 A 90 C 0 A 30 D 30 A60 时 cosa 的值 A 小于 B 大于 C 大于 D 大于 1 1 2 1 2 8 在 ABC 中 三边之比为 a b c 1 3 2 则 sinA tanA 等于 A 32 313 331 3 6222 BCD 9 已知梯形 ABCD 中 腰 BC 长为 2 梯形对角线 BD 垂直平分 AC 若梯形的高是 3 则 CAB 等于 A 30 B 60 C 45 D 以上都不对 10 sin272 sin218 的值是 A 1 B 0 C D 1 2 11 若 tanA 3 2 2cosB 0 则 ABC 33 A 是直角三角形 B 是等边三角形 C 是含有 60 的任意三角形 D 是顶角为钝角的等腰三角形 三 填空题 12 设 均为锐角 且 sin cos 0 则 13 cos45sin30 1 cos60tan45 2 的值是 14 已知 等腰 ABC 的腰长为 4 底为 30 则底边上的高为 周长为 3 15 在 Rt ABC 中 C 90 已知 tanB 则 cosA 五 课堂小结 五 课堂小结 要牢记下表 30 45 60 siaA cosA tanA 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 85 页页 习题习题 28 1 复习巩固第复习巩固第 3 题题 课题 课题 28 1 锐角三角函数 4 学习目标 让学生熟识计算器一些功能键的使用 学习重点 运用计算器处理三角函数中的值或角的问题 学习难点 知道值求角的处理 导学过程 求下列各式的值 1 sin30 cos45 cos60 2 2sin60 2cos30 sin45 3 2cos60 2sin302 4 sin45cos30 32cos60 sin60 1 sin30 5 tan45 sin60 4sin30 cos45 6 tan30 6 sin45 tan30tan60 cos45 cos30 合作交流 合作交流 6 学生去完成课本 83 84 页 学生展示 学生展示 用计算器求锐角的正弦 余弦 正切值 学生去完成课本 83 86 页的题目 课题 课题 28 2 解直角三角形解直角三角形 1 学习目标 使学生理解直角三角形中五个元素的关系 会运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及 锐角三角函数解直角三角形 通过综合运用勾股定理 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形 逐步培 养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想 培养学生良好的学习习惯 学习重点 直角三角形的解法 学习难点 三角函数在解直角三角形中的灵活运用 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 在三角形中共有几个元素 2 直角三角形 ABC 中 C 90 a b c A B 这五个元素间有哪些等量关系呢 1 边角之间关系边角之间关系 a b A b a A c b A c a A cot tan cos sin b a B a b B c a B c b B cot tan cos sin 如果用 表示直角三角形的一个锐角 那上述式子就可以写成 的对边 的邻边 的邻边 的对边 斜边 的邻边 斜边 的对边 cottancossin 2 三边之间关系三边之间关系 3 锐角之间关系锐角之间关系 A B 90 a2 b2 c2 勾股定理 以上三点正是解直角三角形的依据 以上三点正是解直角三角形的依据 二 合作交流 二 合作交流 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端 梯子与地面所成的角一般要满足 如图 现有一个长 6m 的梯子 问 1 使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙 精确到 0 1 m 2 当梯子底端距离墙面 2 4 m 时 梯子与地面所成的角等于多少 精确到 1o 这时人是否能够安全使用这个梯子 三 教师点拨 三 教师点拨 例例 1 在 ABC 中 C 为直角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 b 2 a 解这个三角形 6 例例 2 在 Rt ABC 中 B 35o b 20 解这个三角形 四 学生展示 四 学生展示 完成课本 91 页练习 补充题 1 根据直角三角形的 元素 至少有一个边 求出 其它所有元素的过程 即解直角三角形 2 在 Rt ABC 中 a 104 0 b 20 49 解这个三角形 3 在 ABC 中 C 为直角 AC 6 的平分线 AD 4 解此直角三角形 BAC 3 4 Rt ABC 中 若 sinA 4 5 AB 10 那么 BC tanB 5 在 ABC 中 C 90 AC 6 BC 8 那么 sinA 6 在 ABC 中 C 90 sinA 3 5 则 cosA 的值是 A 3 5 B 4 5 C 916 2525 D 7 的邻边 的对边 A A 五 课堂小结 五 课堂小结 小结 已知一边一角 如何解直角三角形 六 作业设置 六 作业设置 课本课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 1 题 第题 第 2 题 题 课题 课题 28 2 解直角三角形解直角三角形 2 学习目标 使学生了解仰角 俯角的概念 使学生根据直角三角形的知识解决实际问题 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点 培养学生用数学的意识 学习重点 将某些实际问题中的数量关系 归结为直角三角形元素之间的关系 从而利用所学知识把实际问 题解决 学习难点 实际问题转化成数学模型 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 1 解直角三角形指什么 2 解直角三角形主要依据什么 1 勾股定理 2 锐角之间的关系 tanA 二 合作交流 二 合作交流 仰角 俯角 当我们进行测量时 在视线与水平线所成的角中 视线在水平线上方的角叫做仰角 在水平线下 方的角叫做俯角 三 教师点拨 三 教师点拨 例例 3 2003 年 10 月 15 日 神舟 5 号载人航天飞船发射成功 当飞船完成变轨后 就在离地球表面 350km 的圆形轨道上运行 如图 当飞船运行到地球表面上 P 点的正上方时 从飞船上最远能直接看 到的地球上的点在什么位置 这样的最远点与 P 点的距离是多少 地球半径约为 6 400 km 结果精 确到 0 1 km 例例 4 热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为热气球的探测器显示 从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30o 看这栋离楼底部的俯角为 看这栋离楼底部的俯角为 60o 热气球与高楼的水平距离为 热气球与高楼的水平距离为 120 m 这栋高楼有多高这栋高楼有多高 结果精确到结果精确到 0 1m 四 学生展示 四 学生展示 一 课本一 课本 93 页页 练习练习 第第 1 2 题题 五 作业设置 五 作业设置 课本课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 3 4 题题 斜边 的邻边A A cos 斜边 的对边A A sin 8 课题 课题 28 2 解直角三角形解直角三角形 3 学习目标 使学生了解方位角的命名特点 能准确把握所指的方位角是指哪一个角 逐步培养学生分析问题 解决问题的能力 渗透数形结合的数学思想和方法 巩固用三角函数有关知识解决问题 学会解决方位角问题 学习重点 用三角函数有关知识解决方位角问题 学习难点 学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 导学过程 一 自学提纲 一 自学提纲 坡度与坡角 1 坡面的铅直高度 h 和水平宽度l的比叫做坡度 或叫做坡比 一般用 i 表示 即 常写成 i 1 m 的形式如 i 1 2 5 2 把坡面与水平面的夹角 叫做坡角 结合图形思考 结合图形思考 坡度 i 与坡角 之间具有什么关系 这一关系在实际问题中经常用到 这一关系在实际问题中经常用到 二 教师点拨 二 教师点拨 例例 5 如图 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向 距 离灯塔 80 海里的 A 处 它沿正南方向航行一段时间 后 到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上的 B 处 这时 海轮所在的 B 处距离 灯塔 P 有多远 例例 6 同学们 如果你是修建三峡大坝的工程师 现在有这样一个问题请你解决 如图 6 33 水库大坝的横断面是梯形 坝顶宽 6m 坝高 23m 斜坡 AB 的坡度 i 1 3 斜坡 CD 的坡度 i 1 2 5 求斜坡 AB 的坡面角 坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长 精确到 0 1m 四 学生展示 四 学生展示 完成课本 91 页练习 补充练习补充练习 1 一段坡面的坡角为 60 则坡度 i 坡角 度 2 利用土埂修筑一条渠道 在埂中间挖去深为 0 6 米的一块 图阴影部分是挖去部分 已知渠道 内坡度为 1 1 5 渠道底面宽 BC 为 0 5 米 求 横断面 等腰梯形 ABCD 的面积 修一条长为 100 米的渠道要挖去的土方数 五五 课本课本 第第 96 页页 习题习题 28 2 复习巩固第复习巩固第 5 6 7 题题 9 课题 解直角三角形检测课题 解直角三角形检测 学习要求学习要求 理解解直角三角形的意义 掌握解直角三角形的四种基本类型 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 在解直角三角形的过程中 一般要用的主要关系如下 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 AC b BC a AB c 第 1 题图 三边之间的等量关系 两锐角之间的关系 边与角之间的关系 BAcossin BAsincos B A tan 1 tan B A tan tan 1 直角三角形中成比例的线段 如图所示 在 Rt ABC 中 C 90 CD AB 于 D CD2 AC2 BC2 AC BC 第 小题图 第 小题图 直角三角形的主要线段 如图所示 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 斜边的中点是 若 r 是 Rt ABC C 90 的内切圆半径 则 r 直角三角形的面积公式 在 Rt ABC 中 C 90 S ABC 答案不唯一 2 关于直角三角形的可解条件 在直角三角形的六个元素中 除直角外 只要再知道 其中至少 这个三角形的形状 大小就可以确定下来 解直角三角 形的基本类型可分为已知两条边 两条 或斜边和 及已知一边和一个锐 角 和一个锐角或 和一个锐角 3 填写下表 已知条件解法 一条边和斜边 c 和锐角 A B a b 一个锐角直角边 a 和锐角 A B b c 两条直角边 a 和 bc 由 求 A B 两条边 直角边 a 和斜边 cb 由 求 A B 二 解答题二 解答题 4 在 Rt ABC 中 C 90 1 已知 a 35 求 A B b 235 c 2 已知 求 A B c 32 a2 b 3 已知 求 a b 3 2 sin A6 c 10 4 已知 求 a c 9 2 3 tan bB 5 已知 A 60 ABC 的面积求 a b c 及 B 312 S 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 5 已知 如图 在半径为 R 的 O 中 AOB 2 OC AB 于 C 点 1 求弦 AB 的长及弦心距 2 求 O 的内接正 n 边形的边长 an及边心距 rn 6 如图所示 图 中 一栋旧楼房由于防火设施较差 想要在侧面墙外修建一外部楼梯 由 地面到二楼 再从二楼到三楼 共两段 图 中 AB BC 两段 其中 CC BB 3 2m 结合图中所给的信息 求两段楼梯 AB 与 BC 的长度之和 结果保留到 0 1m 参考数据 sin30 0 50 cos30 0 87 sin35 0 57 cos35 0 82 7 如图所示 某公司入口处原有三级台阶 每级台阶高为 20cm 台阶面的宽为 30cm 为了 方便残疾人士 拟将台阶改为坡角为 12 的斜坡 设原台阶的起点为 A 斜坡的起点为 C 求 AC 的长度 精确到 1cm 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 8 如图所示 甲楼在乙楼的西面 它们的设计高度是若干层 每层高均为 3m 冬天太阳光 与水平面的夹角为 30 1 若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层 且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上 那么建筑 时两楼之间的距离 BD 至少为多少米 保留根号 11 2 由于受空间的限制 甲楼和乙楼的距离 BD 21m 若仍要求冬天甲楼的影子不能落在 乙楼上 那么设计甲楼时 最高应建几层 9 王英同学从 A 地沿北偏西 60 方向走 100m 到 B 地 再从 B 地向正南方向走 200m 到 C 地 此时王英同学离 A 地多少距离 10 已知 如图 在高 2m 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要多少米 保 留整数 课题 解直角三角形课题 解直角三角形 二二 检测检测 能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形 课堂学习检测课堂学习检测 1 已知 如图 ABC 中 A 30 B 60 AC 10cm 求 AB 及 BC 的长 2 已知 如图 Rt ABC 中 D 90 B