高三数学 2011版《6年高考4年模拟》：第八章 立体几何 第二节 点、线、面的位置关系

1 B C D A N M O 第二节第二节 点 线 面的位置关系点 线 面的位置关系 第一部分第一部分 六年高考荟萃六年高考荟萃 20102010 年高考题年高考题 一 选择题 1 1 20102010 浙江理 浙江理 6 设l m是两条不同的直线 是一个平面 则下列命题正确的是 A 若lm m 则l B 若l lm 则m C 若l m 则lm D 若l m 则lm 答案 B 解析 选 B 可对选项进行逐个检查 本题主要考察了立体几何中线面之间的位置关系及 其中的公理和判定定理 也蕴含了对定理公理综合运用能力的考察 属中档题 2 2 20102010 江西理 江西理 10 过正方体 1111 ABCDABC D 的顶点 A 作直线 L 使 L 与棱AB AD 1 AA所成的角都相等 这样的直线 L 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 答案 D 解析 考查空间感和线线夹角的计算和判断 重点考查学生分类 划归转化的能力 第 一类 通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1 第二类 在图形外部和每条棱 的外角和另 2 条棱夹角相等 有 3 条 合计 4 条 3 3 20102010 山东文 山东文 4 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 4 4 20102010 四川理 四川理 11 半径为R的球O的直径AB垂直于平面 垂足为B BCD 是平面 内边长为R的正三角形 线段AC AD分别 与球面交于点M N 那么M N两点间的球面距离是 A 17 arccos 25 R B 18 arccos 25 R 2 C 1 3 R D 4 15 R 答案 A 解析 由已知 AB 2R BC R 故tan BAC 1 2 cos BAC 2 5 5 连结OM 则 OAM为等腰三角形 AM 2AOcos BAC 4 5 5 R 同理AN 4 5 5 R 且MN CD 而AC 5R CD R 故MN CD AN AC MN 4 5 R 连结OM ON 有OM ON R 于是cos MON 222 17 225 OMONMN OM ON 所以M N两点间的球面距离是 17 arccos 25 R 5 5 20102010 全国卷全国卷 1 1 文 文 6 直三棱柱 111 ABCA BC 中 若90BAC 1 ABACAA 则异面直线 1 BA与 1 AC所成的角等于 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 命题意图 本小题主要考查直三棱柱 111 ABCA BC 的性质 异面直线所成的角 异面 直线所成的角的求法 解析 延长 CA 到 D 使得ADAC 则 11 ADAC为平行四边形 1 DAB 就是异面直线 1 BA与 1 AC所成的角 又三角形 1 ADB为等边三角形 0 1 60DAB 6 6 20102010 湖北文 湖北文 4 用a b c表示三条不同的直线 y表示平面 给出下列命题 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a y b y 则a b 若a y b y 则a b 3 A B A B C D 7 7 20102010 山东理 山东理 3 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案 命题意图 考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质 属基础题 8 8 20102010 安徽理 安徽理 8 一个几何体的三视图如图 该几何体的表面积为 A 280B 292C 360D 372 答案 C 解析 该几何体由两个长方体组合而成 其表面积等于下面长方体的 全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 2 10 8 10 28 2 2 6 88 2 360S 方法技巧 把三视图转化为直观图是解决问题的关键 又三视图很容易 知道是两个长方体的组合体 画出直观图 得出各个棱的长度 把几何体 的表面积转化为下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和 二 填空题二 填空题 1 1 20102010 四川理 四川理 15 如图 二面角l 的大小是 60 线段AB Bl AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 答案 3 4 4 解析 过点A作平面 的垂线 垂足为C 在 内过C作l的垂线 垂足为D 连结AD 有三垂线定理可知AD l 故 ADC为二面角l 的平面角 为 60 又由已知 ABD 30 连结CB 则 ABC为AB与平面 所成的角 设AD 2 则AC 3 CD 1 AB 0 sin30 AD 4 sin ABC 3 4 AC AB 三 解答题三 解答题 1 1 20102010 湖南文 湖南文 18 本小题满分 12 分 如图所示 在长方体 1111 ABCDABC D 中 AB AD 1 AA1 2 M 是棱 CC1的中点 求异面直线 A1M 和 C1D1所成的角的正切值 证明 平面 ABM 平面 A1B1M1 A B C D 5 2 2 20102010 浙江理 浙江理 20 本题满分 15 分 如图 在矩形ABCD中 点 E F分别在线段 AB AD上 2 4 3 AEEBAFFD 沿直线EF将 AEFV翻折成 AEFV 使平面 AEFBEF 平面 求二面角 AFDC 的余弦值 点 M N分别在线段 FD BC上 若沿直线MN将四边形 MNCD向上翻折 使C与 A重合 求线段FM的长 解析 本题主要考察空间点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向量的应用 同事考查空间想象能力和运算求解能力 解 取线段 EF 的中点 H 连结 AH 因为 AE AF及 H 是 EF 的中点 所以 AHEF 又因为平面 AEF 平面BEF 如图建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 2 2 2 2 C 10 8 0 F 4 0 0 D 10 0 0 6 故 FA 2 2 22 FD 6 0 0 设n x y z 为平面 AFD的一个法向量 2x 2y 22z 0 所以 6x 0 取2z 则 0 2 2 n 又平面BEF的一个法向量 0 0 1 m 故 3 cos 3 n m n m n m 所以二面角的余弦值为 3 3 解 设 FMx 则 4 0 0 Mx 因为翻折后 C与A重合 所以 CMA M 故 222222 6 80 222 2xx 得 21 4 x 经检验 此时点N在线段BC上 所以 21 4 FM 方法二 解 取线段EF的中点H AF的中点G 连结 A G A H GH 因为 A E A F及H是EF的中点 所以 A HEF 又因为平面 A EF 平面BEF 所以 A H 平面BEF 又AF 平面BEF 故 A H AF 又因为G H是AF EF的中点 7 易知GH AB 所以GH AF 于是AF 面 A GH 所以 A GH 为二面角 ADHC 的平面角 在 Rt A GH 中 A H 2 2 GH 2 A G 2 3 所以 3 cos 3 A GH 故二面角 ADFC 的余弦值为 3 3 解 设FMx 因为翻折后 C与 A重合 所以 CMA M 而 22222 8 6 CMDCDMx 222222 A MA HMHA HMGGH 2 2 2 得 21 4 x 经检验 此时点N在线段BC上 所以 21 4 FM 3 3 20102010 全国卷全国卷 2 2 19 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ACBC 1 AAAB D为 1 BB的中点 E为 1 AB上的一点 1 3AEEB 证明 DE为异面直线 1 AB与CD的公垂线 设异面直线 1 AB与CD的夹角为 45 求二面 角 111 AACB 的大小 命题意图 本试题主要考查空间的线面关系与空间角的求 解 考查考生的空间想象与推理计算的能力 参考答案 8 19 解法一 I 连接 A1B 记 A1B 与 AB1的交点为 F 因为面 AA1BB1为正方形 故 A1B AB1 且 AF FB1 又 AE 3EB1 所以 FE EB1 又 D 为 BB1的 中点 故 DE BF DE AB1 3 分 作 CG AB G 为垂足 由 AC BC 知 G 为 AB 中点 又由底面 ABC 面 AA1B1B 连接 DG 则 DG AB1 故 DE DG 由三垂线定理 得 DE CD 所以 DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线 II 因为 DG AB1 故 CDG 为异面直线 AB1与 CD 的夹角 CDG 45 设 AB 2 则 AB1 DG CG AC 作 B1H A1C1 H 为垂足 因为底面 A1B1C1 面 AA1CC1 故 B1H 面 AA1C1C 又作 HK AC1 K 为垂足 连接 B1K 由三垂线定理 得 B1K AC1 因此 B1KH 为二面角 A1 AC1 B1的平面角 9 点评 三垂线定理是立体几何的最重要定理之一 是高考的的热点 它是处理线线垂直 问题的有效方法 同时它也是确定二面角的平面角的主要手段 通过引入空间向量 用向量 代数形式来处理立体几何问题 淡化了传统几何中的 形 到 形 的推理方法 从而降 低了思维难度 使解题变得程序化 这是用向量解立体几何问题的独到之处 4 4 20102010 北京文 北京文 17 本小题共 13 分 如图 正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直 10 EF AC AB 2 CE EF 1 求证 AF 平面 BDE 求证 CF 平面 BDF 证明 设 AC 于 BD 交于点 G 因为 EF AG 且 EF 1 AG 1 2 AG 1 所以四边形 AGEF 为平行四边形 所以 AF EG 因为 EG 平面 BDE AF 平面 BDE 所以 AF 平面 BDE 连接 FG 因为 EF CG EF CG 1 且 CE 1 所以平行四边形 CEFG 为菱形 所 以 CF EG 因为四边形 ABCD 为正方形 所以 BD AC 又因为平面 ACEF 平面 ABCD 且平面 ACEF 平面 ABCD AC 所以 BD 平面 ACEF 所以 CF BD 又 BD EG G 所以 CF 平面 BDE 5 5 20102010 天津文 天津文 19 本小题满分 12 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 四边形 ADEF 是正方形 FA 平面 ABCD BC AD CD 1 AD 2 2 BAD CDA 45 求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值 证明 CD 平面 ABF 求二面角 B EF A 的正切值 解析 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查空间想象能力 运算能力和推理论证 能力 满分 12 分 I 解 因为四边形 ADEF 是正方形 所以 FA ED 故CED 为异面直线 CE 与 AF 所成 的角 因为 FA 平面 ABCD 所以 FA CD 故 ED CD 11 在 Rt CDE 中 CD 1 ED 2 2 CE 22 CDED 3 故 cosCED ED CE 2 2 3 所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为 2 2 3 证明 过点 B 作 BG CD 交 AD 于点 G 则45BGACDA 由 45BAD 可得 BG AB 从而 CD AB 又 CD FA FA AB A 所以 CD 平面 ABF 解 由 及已知 可得 AG 2 即 G 为 AD 的中点 取 EF 的中点 N 连接 GN 则 GN EF 因为 BC AD 所以 BC EF 过点 N 作 NM EF 交 BC 于 M 则GNM 为二 面角 B EF A 的平面角 连接 GM 可得 AD 平面 GNM 故 AD GM 从而 BC GM 由已知 可得 GM 2 2 由 NG FA FA GM 得 NG GM 在 Rt NGM 中 tan GM1 NG4 GNM 所以二面角 B EF A 的正切值为 1 4 6 6 20102010 天津理 天津理 19 本小题满分 12 分 如图 在长方体 1111 ABCDABC D 中 E F分别是棱BC 1 CC 上的点 2CFABCE 1 1 2 4AB AD AA 1 求异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值 2 证明AF 平面 1 AED 3 求二面角 1 AEDF 的正弦值 解析 本小题主要考查异面直线所成的角 直线与平面垂直 二面角等基础知识 考查 用空间向量解决立体几何问题的方法 考查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 满 分 12 分 方法一 如图所示 建立空间直角坐标系 点 A 为坐标原点 设1AB 依题意得 0 2 0 D 12 1 2 1 F 1 0 0 4 A 3 1 0 2 E 1 解 易得 1 0 1 2 EF 1 0 2 4 AD 于是 1 1 1 3 cos 5 EF AD EF AD EF AD 所以异面直线EF与 1 AD所成角的余弦值为 3 5 2 证明 已知 1 2 1 AF 1 3 1 4 2 EA 1 1 0 2 ED 于是AF 1 EA 0 AF ED 0 因此 1 AFEA AFED 又 1 EAEDE 所以AF 平面 1 AED 3 解 设平面EFD的法向量 ux y z 则 0 0 u EF u ED 即 1 0 2 1 0 2 yz xy 不妨令 X 1 可得 1 2 1 u 由 2 可知 AF 为平面 1 A ED的一个法向量 于是 2 cos 3 AF AF AF u u u 从而 5 sin 3 AFu 所以二面角 1 A ED F的正弦值为 5 3 方法二 1 解 设 AB 1 可得 AD 2 AA1 4 CF 1 CE 1 2 链接 B1C BC1 设 B1C 与 BC1交于点 M 易知 A1D B1C 由 1 CECF1 CBCC4 可知 EF BC1 故 BMC 是异面直线 EF 与 A1D 所成的角 易知 BM CM 1 1 B C 5 2 所以 222 3 cos 25 BMCMBC BMC BM CM 所 以异面直线 FE 与 A1D 所成角的余弦值为 3 5 2 证明 连接 AC 设 AC 与 DE 交点 N 因为 13 1 2 CDEC BCAB 所以Rt DCERt CBA 从而CDEBCA 又由于 90CDECED 所以90BCACED 故 AC DE 又因为 CC1 DE 且 1 CCACC 所以 DE 平面 ACF 从而 AF DE 连接 BF 同理可证 B1C 平面 ABF 从而 AF B1C 所以 AF A1D 因为 1 DEADD 所以 AF 平面 A1ED 3 解 连接 A1N FN 由 2 可知 DE 平面 ACF 又 NF 平面 ACF A1N 平面 ACF 所以 DE NF DE A1N 故 1 ANF 为二面角 A1 ED F 的平面角 易知Rt CNERt CBA 所以 CNEC BCAC 又5AC 所以 5 5 CN 在 22 1 30 5 Rt NCFNFCFCNRt A AN 中 在中 22 11 4 30 5 NAA AAN 连接 A1C1 A1F 在 22 111111 14Rt AC FAFACC F 中 222 11 11 1 2 cos 23 ANFNAF Rt ANFANF ANFN 在中 所以 1 5 sin 3 ANF 所以二面角 A1 DE F 正弦值为 5 3 7 7 20102010 广东理 广东理 18 本小题满分 14 分 如图 5 ABC是半径为a的半圆 AC为直径 点 E 为 AC的中点 点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点 平面 AEC 外一点 F 满足5FBDFa FE 6a 图 5 1 证明 EB FD 14 2 已知点 Q R 分别为线段 FE FB 上的点 使得 22 33 BQFE FRFB 求平面 BED与平面RQD所成二面角的正弦值 2 设平面BED与平面 RQD 的交线为DG 由 BQ 2 3 FE FR 2 3 FB 知 QREB 而EB 平面BDF QR平面BDF 而平面BDF 平面RQD DG QRDGEB 由 1 知 BE 平面BDF DG 平面 BDF 而DR 平面BDF BD 平面BDF DGDR DGDQ RDB 是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角 在Rt BCF 中 2222 5 2CFBFBCaaa 22 sin 55 FCa RBD BFa 2 1 cos1 sin 5 RBDRBD 15 52 2 293 5 sin 2929 3 a RDB a 故平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值是 2 29 29 8 8 20102010 全国卷全国卷 1 1 理 理 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 S ABCD 中 SD 底面 ABCD AB DC AD DC AB AD 1 DC SD 2 E 为 棱 SB 上的一点 平面 EDC 平面 SBC 证明 SE 2EB 求二面角 A DE C 的大小 17 18 9 9 20102010 湖北文 湖北文 18 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABOC 中 OC OA OC OB AOB 120 且 OA OB OC 1 设 P 为 AC 的中点 Q 在 AB 上且 AB 3AQ 证明 PQ OA 求二面角 O AC B 的平面角的余弦值 19 10 10 20102010 山东理 山东理 19 本小题满分 12 分 20 如图 在五棱锥P ABCDE中 PA 平面ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形PAB是等腰三角形 求证 平面PCD 平面PAC 求直线PB与平面PCD所成角的大小 求四棱锥P ACDE的体积 解析 证明 因为 ABC 45 AB 22 BC 4 所以在ABC 中 由余弦定理 得 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得AC 2 2 所以 222 AB AC 8 8 16 BC 即ABAC 又PA 平面ABCDE 所以PA AB 又 PAACA 所以ABAC 平面P 又AB CD 所以ACCD 平面P 又因为 CDCD 平面P 所以平面PCD 平面PAC 由 知平面PCD 平面PAC 所以在平面PAC内 过点 A 作AHC P于 H 则 AHCD 平面P 又AB CD AB 平面CDP内 所以AB平行于平面CDP 所以点 A 到平面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离 过点 B 作 BO 平面CDP于点 O 则 PBO 为所求角 且AH BO 又容易求得AH 2 所以 1 sinPBO 2 即PBO 30 所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30 由 知ACCD 平面P 所以ACCD 又AC ED 所以四边形 ACDE 是直 角梯形 又容易求得DE2 AC 2 2 所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 所以四棱锥P ACDE的体积为 1 2 23 3 2 2 2010 湖北理数 18 本小题满分 12 分 如图 在四面体 ABOC 中 120OCOA OCOBAOB 且1OAOBOC 设为P为AC的中点 证明 在AB上存在一点Q 使PQOA 并计算 AB AQ 的值 求二面角OACB 的平面角的余弦值 21 22 23 11 11 20102010 福建理 福建理 概率为p i 当点 C 在圆周上运动时 求p的最大值 ii 记平面 11 A ACC与平面 1 BOC所成的角为 0 90 当p取最大值时 求 cos 的值 命题意图 本小题主要考查直线与直线 直线与平面 平面与平面的位置关系 以及几 何体的体积 几何概型等基础知识 考查空间想象能力 运算求解能力 推理论证能力 考查数形结合思想 化归与转化思想 必然与或然思想 解析 因为 1 AA 平面 ABC BC 平面 ABC 所以 1 AA BC 因为 AB 是圆 O 直径 所以BC AC 又AC 1 AAA 所以BC 平面 11 A ACC 而BC 平面 11 B BCC 所以平面 11 A ACC 平面 11 B BCC i 设圆柱的底面半径为r 则 AB 1 AA 2r 故三棱柱 111 ABC A B C的体积为 1 1 V AC BC 2r 2 AC BC r 又因为 2222 ACBC AB 4r 所以 22 AC BC AC BC 2 2 2r 当且仅当AC BC 2r时等号成立 从而 3 1 V2r 而圆柱的体积 23 V r2r 2 r 故p 3 1 3 V2r1 V2 r 当且仅当AC BC 2r 即OCAB 时等号成立 所以p的最大值是 1 ii 由 i 可知 p取最大值时 OCAB 于是以 O 为坐标原点 建立空间直角坐 标系O xyz 如图 则 C r 0 0 B 0 r 0 1 B 0 r 2r 24 因为BC 平面 11 A ACC 所以BC r r 0 是平面 11 A ACC的一个法向量 设平面 1 BOC的法向量n x y z 由 1 nOC0 20 nOB rx ryrz 得 故 0 2 x yz 取1z 得平面 1 BOC的一个法向量为n 0 2 1 因为0 90 所以 210 cos cos BC 5 52 n BCr n nBCr 2010 安徽理数 18 本小题满分 12 分 如图 在多面体ABCDEF中 四边形ABCD是正方形 EF AB EFFB 2ABEF 90BFC BFFC H为BC的中点 A B C D E F H 求证 FH 平面EDB 求证 AC 平面EDB 求二面角BDEC 的大小 25 26 20092009 年高考题年高考题 一 选择题选择题 1 如图 正方体 1111 ABCDABC D 的棱线长为 1 线段 11 B D 有两个动点 E F 且 2 2 EF 则下列结论中错误的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥ABEF 的体积为定值 D 异面直线 AE BF所成的角为定值 2 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 答案 选 D 3 在三棱柱 111 ABCABC 中 各棱长相等 侧掕垂直于底面 点D是侧面 11 BBC C的中 心 则AD与平面 11 BBC C所成角的大小是 A 30 B 45 C 60 D 90 答案 C 解析 取 BC 的中点 E 则AE 面 11 BBC C AEDE 因此AD与平面 11 BBC C 所成角即为ADE 设ABa 则 3 2 AEa 2 a DE 即有 0 tan3 60ADEADE 27 4 设 是两个不同的平面 l是一条直线 以下命题正确的是 A 若 l 则l B 若 l 则l C 若 l 则l D 若 l 则l 5 C 命题意图 此题主要考查立体几何的线面 面面的位置关系 通过对平行和垂直的 考查 充分调动了立体几何中的基本元素关系 解析 对于 A B D 均可能出现 l 而对于 C 是正确的 6 设 m n 是平面 内的两条不同直线 1 l 2 l是平面 内的两条相交直线 则 的 一个充分而不必要条件是 A m 且 l B m l 且 n l2 C m 且 n D m 且 n l2 答案 B 解析 若 1212 ml nl mn 则可得 若 则存在 1221 ml nl 7 已知正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 1 2AAAB E为 1 AA中点 则异面直线BE与 1 CD 所成的角的余弦值为 A 10 10 B 1 5 C 3 10 10 D 3 5 解 令1AB 则 1 2AA 连 1 AB 1 C D 1 AB 异面直线BE与 1 CD所成的角即 1 AB 与BE所成的角 在 1 ABE 中由余弦定理易得 1 3 10 cos 10 ABE 故选故选 C C 8 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面边长为 1 1 AB与底面ABCD成 60 角 则 11 AC 到底面ABCD 的距离为 28 A 3 3 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析解析 本题主要考查正四棱柱的概念 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念 第 4 题解答图 属于基础知识 基本运算的考查 依题意 1 60B AB 如图 1 1 tan603BB 故选 D 9 已知二面角l 的大小为 0 50 P为空间中任意一点 则过点P且与平面 和 平面 所成的角都是 0 25的直线的条数为 A 2B 3C 4D 5 答案 B 10 在正四棱柱 1111 ABCDABC D 中 顶点 1 B到对角线 1 BD和到平面 11 ABCD的距离分 别为h和d 则下列命题中正确的是 A 若侧棱的长小于底面的边长 则 h d 的取值范围为 0 1 B 若侧棱的长小于底面的边长 则 h d 的取值范围为 2 2 3 23 C 若侧棱的长大于底面的边长 则 h d 的取值范围为 2 3 2 3 D 若侧棱的长大于底面的边长 则 h d 的取值范围为 2 3 3 C C 11 如图 在三棱柱 ABC A1B1C1中 ACB 900 ACC1 600 BCC1 450 侧棱 CC1的长为 1 则 该三棱柱的高等于 29 A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 3 3 A A 12 正方体 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D的棱上到异面直线 AB C 1 C的 距离相等的点的个数为 C A 2 B 3 C 4 D 5 13 平面六面体ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D中 既与AB共面也与 1 CC共面的棱的条数为 C A 3 B 4 C 5 D 6 14 如图 正四面体ABCD的顶点A B C分别在两两垂直的三条射线Ox Oy Oz上 则在下列命题中 错误的为 A OABC 是正三棱锥 B 直线OB 平面ACD C 直线AD与OB所成的角是45 D 二面角DOBA 为45 答案 B 15 如图 已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六边形 2PAABC PAAB 平面 则 下列结论正确的是 PBAD 平面PABPBC 平面 C 直线BC 平面PAE PDABC 直线与平面所成的角为45 答案 D 二 填空题二 填空题 16 如图 在长方形ABCD中 2AB 1BC E为DC的中点 F为线段 EC 端 点除外 上一动点 现将AFD 沿AF折起 使平面ABD 平面ABC 在 平面ABD内过点D作DKAB K为垂足 设AKt 则t的取值范围 y x z O A B C D y x z O A B C D 30 是 答案 1 1 2 解析 此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时 1t 随着 F 点到 C 点时 因 CBAB CBDKCB 平面ADB 即有CBBD 对于 2 1 3CDBCBD 又1 2ADAB 因此有ADBD 则有 1 2 t 因 此t的取值范围是 1 1 2 17 对于四面体 ABCD 下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 相对棱 AB 与 CD 所在的直线异面 1 由顶点 A 作四面体的高 其垂足是 BCD 的三条高线的交点 2 若分别作 ABC 和 ABD 的边 AB 上的高 则这两条高所在直线异面 3 分别作三组相对棱中点的连线 所得的三条线段相交于一点 4 最长棱必有某个端点 由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 5 解析 18 已知三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面边长都相等 1 A在底面ABC上的射影为 BC的 中点 则异面直线AB与 1 CC所成的角的余弦值为 D A 3 4 B 5 4 C 7 4 D 3 4 解 设BC的中点为 D 连结 1 AD AD 易知 1 A AB 即为异面直线AB与 1 CC所 31 成的角 由三角余弦定理 易知 1 1 3 cocs 4 oscos AD AD A ADDAB A A AB 故选 D 19 已知二面角 l 为60o 动点 P Q 分别在面 内 P 到 的距离为3 Q 到 的距离为2 3 则 P Q 两点之间距离的最小 值为 C A B 2 C 2 3 D 4 解 如图分别作 QAA AClC PBB 于于于 PDlD 于 连 60 CQ BDACQPBD 则 2 3 3AQBP 2ACPD 又 222 122 3PQAQAPAP 当且仅当0AP 即AP点与点重合时取最小值 故答案选 C 20 如图 已知正三棱柱 111 ABCABC 的各条棱长都相等 M是 侧 棱 1 CC的中点 则异面直线 1 ABBM和所成的角的大小 是 答案 90 21 如图 若正四棱柱 1111 ABCDABC D 的底面连长为 2 高 为 4 则异面直线 1 BD与 AD 所成角的大小是 结果 用反三角函数表示 答案 6 30 arcsin 6 6 cos5arctan are 三 解答题 22 本小题满分 14 分 如图 在直三棱柱 111 ABCABC 中 E F 分别是 1 AB 1 AC的中 32 点 点D在 11 BC上 11 ADBC 求证 1 EF 平面 ABC 2 平面 1 AFD 平面 11 BBC C 解析 本小题主要考查直线与平面 平面与平面得位置关系 考查 空间想象能力 推理论证能力 满分 14 分 23 本小题满分 14 分 如图 6 已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2 点E是正方形 11 BCC B的中心 点 F G分别是棱 111 C D AA的中点 设点 11 E G分别是点E G在平面 11 DCC D内的正 投影 1 求以E为顶点 以四边形FGAE在平面 11 DCC D内的正投影为底面边界的棱锥的 体积 2 证明 直线 1 FG平面 1 FEE 3 求异面直线 11 E GEA与所成角的正弦值 解 1 依题作点E G在平面 11 DCC D内的正投影 1 E 1 G 则 1 E 1 G分别为 1 CC 1 DD的中点 连结 1 EE 1 EG ED 1 DE 则所求为四棱锥 11FG DEE 的体积 其 底面 11FG DE面积为 221 2 1 22 2 1 又 1 EE面 11FG DE 1 1 EE 3 2 3 1 1 1111 EESV FGDEFGDEE 2 以D为坐标原点 DA DC 1 DD所在直线分别作x轴 y轴 z轴 得 1 2 0 1 E 1 0 0 1 G 又 1 0 2 G 2 1 0 F 1 2 1 E 则 1 1 0 1 FG 1 1 1 FE 1 1 0 1 FE 33 01 1 0 1 FEFG 01 1 0 11 FEFG 即FEFG 1 11 FEFG 又FFEFE 1 1 FG平面 1 FEE 3 0 2 0 11 GE 1 2 1 EA 则 6 2 cos 11 11 11 EAGE EAGE EAGE 设 异面直线 11 E GEA与所成角为 则 3 3 3 2 1sin 24 本小题满分 12 分 如图 在五面体 ABCDEF 中 FA 平面 ABCD AD BC FE AB AD M 为 EC 的中点 AF AB BC FE 1 2 AD I 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小 II 证明平面 AMD 平面 CDE III 求二面角 A CD E 的余弦值 方法一 解 由题设知 BF CE 所以 CED 或其 补角 为异面直线 BF 与 DE 所成的角 设 P 为 AD 的中 点 连结 EP PC 因为 FE AP 所以 FA EP 同理 AB PC 又 FA 平面 ABCD 所以 EP 平面 ABCD 而 PC AD 都在平面 ABCD 内 故 EP PC EP AD 由 AB AD 可 得 PC AD 设 FA a 则 EP PC PD a CD DE EC a2 故 CED 60 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 60 II 证明 因为 CEMPMP CEDMCEM 则连结的中点 所以为且DEDC CDEAMDCDECE AMDCEMDMMP平面 所以平面平面而平面 故又 III 因为 所以因为 的中点 连结为解 设 CDEQDECE EQPQCDQ ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角 故 所以 34 由 I 可得 2 2 2 6 EQaPQaPQEP 中 于是在 3 3 cosEPQRt EQ PQ EQP 25 本小题满分 12 分 如图 在四棱锥PABCD 中 PD 平面ABCD ADCD DB平分ADC E为的PC中点 1 2 2ADCDDB 1 证明 PA平面BDE 2 证明 AC 平面PBD 3 求直线BC与平面PBD所成角的正切值 26 本题满分 15 分 如图 平面PAC 平面ABC ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形 E F O分别为PA PB AC的中点 16AC 10PAPC I 设G是OC的中点 证明 FG平面BOE II 证明 在ABO 内存在一点M 使FM 平面 BOE 并求点M到OA OB的距离 证明 I 如图 连结 OP 以 O 为坐标原点 分别以 OB OC OP 所在直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标系 Oxyz 则 0 0 0 0 8 0 8 0 0 0 8 0 OABC 0 0 6 0 4 3 PE 4 0 3F 由题意得 0 4 0 G因 8 0 0 0 4 3 OBOE 因此平面 BOE 的法向 量为 0 3 4 n 4 4 3FG 得0n FG 又直线FG不在 平面BOE内 因此有 FG平面BOE II 设点 M 的坐标为 00 0 xy 则 00 4 3 FMxy 因为 FM 平面 BOE 所以有 FMn 因此有 00 9 4 4 xy 即点 M 的坐标为 9 4 0 4 在平面直角坐标系xoy中 AOB 的内部区域满足不等式组 x y z 35 0 0 8 x y xy 经检验 点 M 的坐标满足上述不等式组 所以在ABO 内存在一点M 使 FM 平面BOE 由点 M 的坐标得点M到OA OB的距离为 9 4 4 27 本题满分 14 分 如图 DC 平面ABC EBDC 22ACBCEBDC 120ACB P Q分别为 AE AB的中点 I 证明 PQ平面ACD II 求AD与平面ABE所成角的正弦值 28 证明 连接CQDP 在ABE 中 QP 分别是ABAE 的中点 所以 BEPQ 2 1 又BEDC 2 1 所以DCPQ 又 PQ平面 ACD DC 平面 ACD 所以 PQ平面 ACD 在ABC 中 BQAQBCAC 2 所以ABCQ 而 DC 平面 ABC DCEB 所以 EB平面 ABC 而 EB平面 ABE 所以平面 ABE 平面 ABC 所以 CQ平面 ABE 由 知四边形 DCQP 是平行四边形 所以CQDP 所以 DP平面 ABE 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是DAP 在APDRt 中 512 2222 DCACAD 1sin2 CAQCQDP 所以 5 5 5 1 sin AD DP DAP 29 本小题满分 12 分 如图 已知两个正方行 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内 M N 分别为 AB DF 的中点 I 若平面 ABCD 平面 DCEF 求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正值弦 II 用反证法证明 直线 ME 与 BN 是两条异面直线 36 I 解法一 取 CD 的中点 G 连接 MG NG 设正方形 ABCD DCEF 的边长为 2 则 MG CD MG 2 NG 2 因为平面 ABCD 平面 DCED 所以 MG 平面 DCEF 可得 MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角 因为 MN 6 所以 sin MNG 3 6 为 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值 6 分 30 本小题满分 13 分 如图 ABCD 的边长为 2 的正方形 直线 l 与平面 ABCD 平行 g 和 F 式 l 上的两个不同点 且EA ED FB FC 和是平面 ABCD 内的两点 和 都与平面 ABCD 垂直 证明 直线垂直且平分线段 AD 若 EAD EAB 60 EF 2 求多面 体 ABCDEF 的体积 思路 根据空间线面关系可证线线垂直 由分割法可求得多面体体积 体现的是一种部 分与整体的基本思想 解析 1 由于 EA ED 且 EDABCDE DE C 面 点 E 在线段 AD 的垂直平分线上 同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上 又 ABCD 是四方形 线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线 即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上 所以 直线 E F 垂直平分线段 AD 37 2 连接 EB EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 E ABCD 和正四面体 E BCF 两部 分 设 AD 中点为 M 在 Rt MEE 中 由于 ME 1 3 2MEEE E V ABCD 2 114 2 22 333 SABCD EE 四方形 又 E V BCF VC BEF VC BEA VE ABC 2 1112 2 22 3323 ABC SEE 多面体 ABCDEF 的体积为 VE ABCD VE BCF 2 2 31 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 注意 在试题卷上作答无效 如图 四棱锥SABCD 中 底面ABCD为矩形 SD 底面ABCD 2AD 2DCSD 点 M 在侧棱SC上 ABM 60 I 证明 M 在侧棱SC的中点 II 求二面角SAMB 的大小 I 解法一 作MN SD交CD于 N 作NEAB 交AB于 E 连 ME NB 则MN 面ABCD MEAB 2NEAD 设MNx 则NCEBx 在RT MEB 中 60MBE 3MEx 在RT MNE 中由 222 MENEMN 22 32xx 解得1x 从而 1 2 MNSD M 为侧棱SC的中点 M 解法二 过M作CD的平行线 解法三 利用向量处理 详细可见 09 年高考参考答案 II 分析一分析一 利用三垂线定理求解 在新教材中弱化了 三垂线定理 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定 理的方法求作二面角 过M作MJ CD交SD于J 作SHAJ 交AJ于 H 作HKAM 交AM于K 则JM CD JM 面 SAD 面SAD 面MBA SH 面AMB SKH 即为所 求二面角的补角 38 分析二分析二 利用二面角的定义 在等边三角形ABM中过点B作BFAM 交AM于点 F 则点F为 AM 的中点 取 SA 的中点 G 连 GF 易证GFAM 则GFB 即为所求 二面角 分析三分析三 利用空间向量求 在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可 另外 利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等 这些方法也能奏效 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自 半壁江山的状况 命题人在这里一定会照顾双方的利益 32 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 111 ABCABC 中 ABAC D E分别为 1 AA 1 BC的中点 DE 平面 1 BCC I 证明 ABAC II 设二面角ABDC 为 60 求 1 BC与平面BCD所成的角的大小 I 分析一分析一 连结 BE 111 ABCABC 为直三棱柱 1 90 B BC E 为 1 BC的中点 BEEC 又DE 平面 1 BCC BDDC 射影相等的两条斜线段相等 而DA 平面ABC ABAC 相等的斜线段的射影相等 分析二分析二 取BC的中点F 证四边形AFED为平行四边形 进而证AF DE AFBC 得ABAC 也可 分析三分析三 利用空间向量的方法 具体解法略 II 分析一分析一 求 1 BC与平面BCD所成的线面角 只需求点 1 B到面BDC的距离即可 作AGBD 于G 连GC 则GCBD AGC 为二面角ABDC 的平面角 60AGC 不妨设2 3AC 则2 4AGGC 在RT ABD 中 由 AD ABBD AG 易得6AD 设点 1 B到面BDC的距离为h 1 BC与平面 BCD所成的角为 利用 39 1 11 33 B BCBCD SDESh 可求得h 2 3 又可求得 1 4 3BC 1 1 sin30 2 h BC 即 1 BC与平面BCD所成的角为30 分析二分析二 作出 1 BC与平面BCD所成的角再行求解 如图可证得BCAFED 面 所 以面AFEDBDC 面 由分析一易知 四边形AFED为正方形 连AEDF 并设交点为O 则EOBDC 面 OC 为EC在面BDC内的射影 ECO 即为所求 以下略 分析三 分析三 利用空间向量的方法求出面BDC的法向量n 则 1 BC与平面BCD所成的角 即为 1 BC 与法向量n 的夹角的余角 具体解法详见高考试题参考答案 总之在目前 立体几何中的两种主要的处理方法 传统方法与向量的方法仍处于各自 半壁江山的状况 命题人在这里一定会兼顾双方的利益 34 本小题共 14 分 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明理由 解法解法 1 1 本题主要考查直线和平面垂直 直线与平面所成的角 二面角等基础知识 考 查空间想象能力 运算能力和推理论证能力 PA 底面 ABC PA BC 又90BCA AC BC BC 平面 PAC D 为 PB 的中点 DE BC 40 1 2 DEBC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 垂足为点 E DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角 PA 底面 ABC PA AB 又 PA AB ABP 为等腰直角三角形 1 2 ADAB 在 Rt ABC 中 60ABC 1 2 BCAB 在 Rt ADE 中 2 sin 24 DEBC DAE ADAD AD与平面PAC所成的角的大小 2 arcsin 4 AE BC 又由 知 BC 平面 PAC DE 平面 PAC 又 AE 平面 PAC PE 平面 PAC DE AE DE PE AEP 为二面角ADEP 的平面角 PA 底面 ABC PA AC 90PAC 在棱 PC 上存在一点 E 使得 AE PC 这时90AEP 故存在点 E 使得二面角ADEP 是直二面角 解法解法 2 2 如图 以 A 为原煤点建立空间直角坐标系Axyz 设PAa 由已知可得 133 0 0 0 0 0 0 0 0 222 ABaaCaPa 1 0 0 0 0 2 APaBCa 0BC AP