垂径定理教学案例

B A D 垂径定理 第一课时 教学案例垂径定理 第一课时 教学案例 张红红 教学内容 7 3 垂径定理 初三 几何 课本 P76 P78 教学目标 1 知识目标 通过观察实验 使学生理解圆的轴对称性 掌握垂径定理 理解其证明 并会用它解决有关的证明与计算问题 掌握辅助线的作法 过圆心作一条与弦垂直的线段 2 能力目标 通过定理探究 培养学生观察 分析 逻辑思维和归纳概括能力 向学生渗透 由特殊到一般 再由一般到特殊 的基本思想方法 3 情感目标 结合本课教学特点 向学生进行爱国主义教育和美育渗透 激发学生探究 发现数学问题的兴趣和欲望 教学重点 垂径定理及其应用 教学难点 垂径定理的证明 教学方法 探究发现法 教具准备 自制的教具 自制课件 实物投影仪 电脑 三角板 圆规 教学设计 一 实例导入 激疑引趣一 实例导入 激疑引趣 1 实例 同学们都学过 中国石拱桥 这篇课文 初二语文第三册第一课 茅以 升 其中介绍了我国隋代工匠李春建造的赵州桥 如图 因它位于现在的历史文化名城河北省赵 县 古称赵州 而得名 是世界上现存最早 保 存最好的巨大石拱桥 距今已有 1400 多年历史 被誉为 华北四宝之一 它的结构是当时世界桥 梁界的首创 这充分显示了我国古代劳动人民的创造智慧 2 导入 赵州桥的桥拱呈圆弧形的 如图 1 它的跨度 弧所对的弦长 为 37 4 米 拱高 弧的中点到弦 AB 的距离 也叫弓高 为 7 2 米 请问 桥拱的 半径 即 AB 所在圆的半径 是多少 通过本节课的学习 我们将能很容易解决这一问题 图 1 二 尝试诱导 发现定理二 尝试诱导 发现定理 1 复习过渡 如图 2 a 弦 AB 将 O 分成几部分 各部分的名称是什么 如图 2 b 将弦 AB 变成直径 O 被分成的两部分各叫什么 在图 2 b 中 若将 O 沿直径 AB 对折 两部分是否重合 a b a b c 图 2 图 3 2 实验验证 让学生将准备好的一张圆形纸片沿任一直径对折 观察两部分是否重合 教师用 电脑演示重叠的过程 从而得到圆的一条基本性质 圆是轴对称图形 过圆心的任意一条直线 或直径所在的直线 都是它的对称轴 3 运动变换 如图 3 a AB CD 是 O 的两条直径 图中有哪些相等的线段和相等的弧 如图 3 b 当 AB CD 时 图中又有哪些相等的线段和相等的弧 如图 3 c 当 AB 向下平移 变成非直径的弦时 图中还有哪些相等的线段和相 等的弧 此外 还有其他的相等关系吗 4 提出猜想 根据以上的研究和图 3 c 我们可以大胆提出这样的猜想 板书 BDAD BCAC BDAE CD EAB CD O 垂足为弦 的直径是圆 5 验证猜想 教师用电脑课件演示图 3 c 中沿直径 CD 对折 这条特殊直径两侧 的图形能够完全重合 并给这条特殊的直径命名为 垂直于弦的直径 三 引导探究 证明定理三 引导探究 证明定理 1 引导证明 猜想是否正确 还有待于证明 引导学生从以下两方面寻找证明思路 证明 AE BE 可通过连结 OA OB 来实现 利用等腰三角形性质证明 AB AB C D O A B C D E 证明 弧相等 就是要证明它们 能够完全重合 可利用圆的对称性证明 2 归纳定理 根据上面的证明 请学生自己用文字语文进行归纳 并将其命名为 垂径定理 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 3 巩固定理 在下列图形 如图 4 a d 中 AB 是 O 的弦 CD 是 O 的弦 它们是否适 用于 垂径定理 若不适用 说明理由 若适用 能得到什么结论 a AB CD 于 E b E 是 AB 中点 c OC AB 于 E d OE AB 于 E 图 4 向学生强调 1 定理中的两个条件缺一不可 2 定理的变式图形 四 例题示范 变式练习四 例题示范 变式练习 1 运用定理进行计算 例 1 如图 5 在 O 中 若弦 AB 的长为 8cm 圆心 O 到 AB 的距离为 3cm 求 O 的半径 分析 因为已知 圆心 O 到 AB 的距离为 3cm 所以要作 辅助线 OE AB 因为要求半径 所以还要连结 OA 解 略 学生口述 教师板书 图 5 变式一 在图 5 中 若 O 的半径为 10cm OE 6cm 则 AB 思考一 若圆的半径为 R 一条弦长为 a 圆心到弦的距离为 d 则 R a d 三者之间的关系式是 变式二 如图 6 在 O 中 半径 OC AB 垂足为 E 若 CE 2cm AB 8cm 则 O 的半径 图 6 思考二 你能解决本课一开始提出的问题吗 由学生口述方法 2 运用定理进行证明 例 2 已知 如图 7 在以 O 为圆心的两个同心圆中 大圆的弦 AB 交小圆于 C D 两点 求证 AC BD 图 7 分析 证明两条线段相等 最常用的方法是什么 用这种方法怎样证明 证明 OAC OBD 或证明 OAD OBC O D BA D A E O B C E O B A O B A C O B CDA 此外 还有更简捷的证明方法吗 若有 又怎样证明 垂径定理 证法一 连结 OA OB OC OD 用 三角形全等 证明 证法二 过点 O 作 OE AB 于 E 用 垂径定理 证明 详见课本 P77例 2 注 1 通过两种证明方法的比较 选择最优证法 注 2 辅助线 过圆心作弦的垂线段 是第二种证法的关键 也是常用辅助线 思考 在图 7 中 若 AC 2 AB 10 则圆环的面积是 变式一 若将图 7 中的大圆隐去 还需什么条件 才能保证 AC BD 变式二 若将图 7 中的小圆隐去 还需什么条件 才能保证 AC BD 变式三 将图 7 变成图 8 三个同心圆 你可以 证明哪些线段相等 图 8 例 3 选讲 如图 9 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 BC 以 C 为圆心 CA 长为半径画弧 交26 斜边 AB 于 D 求 AD 的长 答案 2 略解 过点 C 作 CE AB 于 E 先用勾股定理求得 图 9 AB 9 再用面积法求得 CE 最后用勾股定理求得 AE 1 由垂径定理得22 AD 2 五 师生小结 纳入系统五 师生小结 纳入系统 1 定理的三种基本图形 如图 10 11 12 2 计算中三个量的关系 如图 13 222 2 adR 3 证明中常用的辅助线 过圆心作弦的垂线段 图 10 图 11 图 12 图 13 六 达标检测 反馈效果六 达标检测 反馈效果 1 课本 P78练习第 1 题 如图 14 在 O 的半径为 50mm 弦 AB 50mm 则点 O 到 AB 的距离为 AOB 度 2 作图题 经过已知 O 内的已知点 A 作弦 使它以点 A 为中点 如图 15 O BC A F D O A B D B a d R O A B O A 3 课本 P78练习第 2 题 图 14 图 15 课课 堂堂 练练 习习 姓名 得分 1 如图 O 的半径为 50mm 弦 AB 50mm 则点 O 到 AB 的距离为