求轨迹方程的常用方法

精品文档 1欢迎下载 求轨迹方程的常用方法 一 求轨迹方程的一般方法 1 定义法 如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线 如圆 椭圆 双曲线 抛 物线 的定义 则可先设出轨迹方程 再根据已知条件 待定方程中的常数 即可得到轨 迹方程 2 直译法 如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断 但点 P 满足的等量关系易于建立 则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系 再用点 P 的坐标 x y 表示该等量关系式 即可得到轨迹方程 3 参数法 如果采用直译法求轨迹方程难以奏效 则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量 t 以此量作为参变数 分别建立 P 点坐标 x y 与该参数 t 的函数关系 x f t y g t 进而通过消参化为轨迹的普通方程 F x y 0 4 代入法 相关点法 如果动点 P 的运动是由另外某一点 P 的运动引发的 而该点 的运动规律已知 该点坐标满足某已知曲线方程 则可以设出 P x y 用 x y 表 示出相关点 P 的坐标 然后把 P 的坐标代入已知曲线方程 即可得到动点 P 的轨迹方程 5 交轨法 在求动点轨迹时 有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题 这种问题通常 通过解方程组得出交点 含参数 的坐标 再消去参数求得所求的轨迹方程 若能直接消 去两方程的参数 也可直接消去参数得到轨迹方程 该法经常与参数法并用 一 用定义法求轨迹方程一 用定义法求轨迹方程 例例 1 1 已知的顶点 A B 的坐标分别为 4 0 4 0 C 为动点 且满足ABC 求点 C 的轨迹 sin 4 5 sinsinCAB 变式变式 已知圆的圆心为 M1 圆的圆心为 M2 一动圆 与这两个圆外切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 二 用直译法求轨迹方程二 用直译法求轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系 例例 2 2 一条线段两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动 且 BM a AM b 求AB中点M的轨迹方程 变式变式 动点P x y 到两定点A 3 0 和B 3 0 的距离的比等于 2 即 精品文档 2欢迎下载 求动点P的轨迹方程 2 PB PA 三 用参数法求轨迹方程三 用参数法求轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数 求出参数方程 最后消参 化为普通方程 注意参数 的取值范围 例例 3 3 过点 P 2 4 作两条互相垂直的直线 l1 l2 若 l1交 x 轴于 A 点 l2交 y 轴于 B 点 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 四 用代入法求轨迹方程四 用代入法求轨迹方程 例例 4 4 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB a A b y a x B 0 2 1 2 2 2 2 轨迹方程 变式变式 如图所示 已知P 4 0 是圆x2 y2 36 内的一点 A B是圆上两动点 且满足 APB 90 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 五 用交轨法求轨迹方程五 用交轨法求轨迹方程 B Q R A P o y x 精品文档 3欢迎下载 例例 5 5 已知椭圆 a b o 的两个顶点为 与 y 轴平行的 22 22 1 xy ab 1 0 Aa 2 0 A a 直线交椭圆于 P1 P2 求 A1P1与 A2P2交点 M 的轨迹方程 六 用点差法求轨迹方程六 用点差法求轨迹方程 例例 6 6 已知椭圆 1 2 2 2 y x 1 求过点且被平分的弦所在直线的方程 2 1 2 1 PP 2 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 3 过引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 12 A 练习 精品文档 4欢迎下载 1 在中 B C 坐标分别为 3 0 3 0 且三角形周长为 16 则点 A 的轨迹ABC 方 程是 2 两条直线与的交点的轨迹方程是 01 myx01 ymx 3 已知圆的方程为 x 1 2 y2 1 过原点 O 作圆的弦 0A 则弦的中点 M 的轨迹方程是 4 当参数 m 随意变化时 则抛物线的顶点的轨迹方程为 5 点 M 到点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小 1 则点 M 的轨迹方程为 6 求与两定点距离的比为 1 2 的点的轨迹方程为 7 抛物线的通径 过焦点且垂直于对称轴的弦 与抛物线交于 A B 两点 动点 Cxy4 2 在抛物线上 求 ABC 重心 P 的轨迹方程 8 已知动点 P 到定点 F 1 0 和直线 x 3 的距离之和等于 4 求点 P 的轨迹方程 9 过原点作直线l和抛物线交于 A B 两点 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方64 2 xxy 程 精品文档 5欢迎下载 高二 上 求轨迹方程的常用方法 答案 例 1 已知的顶点 A B 的坐标分别为 4 0 4 0 C 为动点 且满足ABC 求点 C 的轨迹 sin 4 5 sinsinCAB 解析解析 由由可知 即 满足椭 sin 4 5 sinsinCAB 10 4 5 cab10 BCAC 圆的定义 令椭圆方程为 则 则轨迹方程为1 2 2 2 2 b y a x 34 5 bca 图形为椭圆 不含左 右顶点 1 925 22 yx 5 x 点评点评 熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键 1 圆 到定点的距离等于定长 2 椭圆 到两定点的距离之和为常数 大于两定点的距离 3 双曲线 到两定点距离之差的绝对值为常数 小于两定点的距离 4 到定点与定直线距离相等 变式变式 1 1 1 已知圆的圆心为 M1 圆的圆心为 M2 一 动圆与这两个圆外切 求动圆圆心 P 的轨迹方程 解 设动圆的半径为 R 由两圆外切的条件可得 动圆圆心 P 的轨迹是以 M1 M2为焦点的双曲线的右支 c 4 a 2 b2 12 故所求轨迹方程为 2 一动圆与圆 O 外切 而与圆 C 内切 那么动圆的圆1 22 yx086 22 xyx 心 M 的轨迹是 A 抛物线 B 圆 C 椭圆 D 双曲线一支 解答解答 令动圆半径为 R 则有 则 MO MC 2 满足双曲线定义 故选 1 1 RMC RMO D 二 用直译法求曲线轨迹方程二 用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系 例 2 一条线段AB的长等于 2a 两个端点A和B分别在x轴 和y轴上滑动 求AB中点P的轨迹方程 解 设 M 点的坐标为 由平几的中线定理 在直角三 yx 精品文档 6欢迎下载 角形AOB中 OM 2 2 1 2 1 aaAB 22222 ayxayx M点的轨迹是以O为圆心 a为半径的圆周 点评点评 此题中找到了OM 这一等量关系是此题成功的关键所在 一般直译法有下列AB 2 1 几种情况 1 代入题设中的已知等量关系 若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出 则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹 2 列出符合题设条件的等式 有时题中无坐标系 需选定适当位置的坐标系 再根据题设 条件列出等式 得出其轨迹方程 3 运用有关公式 有时要运用符合题设的有关公式 使其公式中含有动点坐标 并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程 4 借助平几中的有关定理和性质 有时动点规律的数量关系不明显 这时可借助平面几何 中的有关定理 性质 勾股定理 垂径定理 中线定理 连心线的性质等等 从而分析出 其数量的关系 这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法 变式变式 2 2 动点P x y 到两定点A 3 0 和B 3 0 的距离的比等于 2 即 求动点P的轨迹方程 2 PB PA 解答解答 PA 2222 3 3 yxPByx 代入得2 PB PA 2222 22 22 4 3 4 3 2 3 3 yxyx yx yx 化简得 x 5 2 y2 16 轨迹是以 5 0 为圆心 4 为半径的圆 三 用参数法求曲线轨迹方程三 用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数 求出参数方程 最后消参 化为普通方程 注意参数 的取值范围 例例 3 3 过点 P 2 4 作两条互相垂直的直线 l1 l2 若 l1交 x 轴于 A 点 l2交 y 轴于 B 点 求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程 解析解析 分析分析 1 1 从运动的角度观察发现 点 M 的运动是由直线 l1引 发的 可设出 l1的斜率 k 作为参数 建立动点 M 坐标 x y 满 足的参数方程 解法解法 1 1 设 M x y 设直线 l1的方程为 y 4 k x 2 k 2 1 4 221 x k yl ll的方程为则直线由 Axl 0 k 4 2 1 的坐标为轴交点与 k Byl 2 40 2 的坐标为轴交点与 精品文档 7欢迎下载 M 为 AB 的中点 1 2 2 2 4 2 1 2 4 2 为参数k k k y k k x 消去 k 得 x 2y 5 0 另外 当 k 0 时 AB 中点为 M 1 2 满足上述轨迹方程 当 k 不存在时 AB 中点为 M 1 2 也满足上述轨迹方程 综上所述 M 的轨迹方程为 x 2y 5 0 分析分析 2 2 解法 1 中在利用 k1k2 1 时 需注意 k1 k2是否存在 故而分情形讨论 能 否避开讨论呢 只需利用 PAB 为直角三角形的几何特性 2 1 ABMP 解法解法 2 2 设 M x y 连结 MP 则 A 2x 0 B 0 2y l1 l2 PAB 为直角三角形 2 1 ABMP 由直角三角形的性质 2222 2 2 2 1 4 2 yxyx 化简 得 x 2y 5 0 此即 M 的轨迹方程 分析分析 3 3 设 M x y 由已知 l1 l2 联想到两直线垂直的充要条件 k1k2 1 即可列出轨迹方程 关键是如何用 M 点坐标表示 A B 两点坐标 事实上 由 M 为 AB 的中 点 易找出它们的坐标之间的联系 解法解法 3 3 设 M x y M 为 AB 中点 A 2x 0 B 0 2y 又 l1 l2过点 P 2 4 且 l1 l2 PA PB 从而 kPA kPB 1 02 24 22 04 y k x k PBPA 而 0521 2 24 22 4 yx y x 化简 得 注意到 l1 x 轴时 l2 y 轴 此时 A 2 0 B 0 4 中点 M 1 2 经检验 它也满足方程 x 2y 5 0 综上可知 点 M 的轨迹方程为 x 2y 5 0 点评点评 1 解法 1 用了参数法 消参时应注意取值范围 解法 2 3 为直译法 运用了 kPA kPB 1 这些等量关系 2 1 ABMP 用参数法求解时 一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量 如时间 速度 距离 角度 有向线段的数量 直线的斜率 点的横 纵坐标等 也可以没有具体的意义 选定 参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 变式变式 3 3 过圆 O x2 y2 4 外一点 A 4 0 作圆的割线 求割线被圆截得的弦 BC 的 精品文档 8欢迎下载 中点 M 的轨迹 解法一 解法一 几何法几何法 设点 M 的坐标为 x y 因为点 M 是弦 BC 的中点 所以 OM BC 所以 OM 即 x2 y2 x 2 y2 16 化简得 x 2 2 y2 4 由方程 与方程 x2 y2 4 得两圆的交点的横坐标为 1 所以点 M 的轨迹方程为 x 2 2 y2 4 0 x 1 所以 M 的轨迹是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆在圆 O 内的部分 解法二 解法二 参数法参数法 设点 M 的坐标为 x y B x1 y1 C x2 y2 直线 AB 的方程为 y k x 4 由直线与圆的方程得 1 k2 x2 8k2x 16k2 4 0 由点 M 为 BC 的中点 所以 x 1 又 OM BC 所以 2 2 21 1 4 2k kxx k 2 由方程 1 2 x y 消去 k 得 x 2 2 y2 4 又由方程 的 0 得 k2 所以 x 1 3 1 所以点 M 的轨迹方程为 x 2 2 y2 4 0 x 1 所以 M 的轨迹是以 2 0 为圆心 2 为半径的圆在圆 O 内的部分 四 用代入法等其它方法求轨迹方程四 用代入法等其它方法求轨迹方程 例例 4 4 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点MAB a A b y a x B 0 2 1 2 2 2 2 轨迹方程 分析 分析 题中涉及了三个点 A B M 其中 A 为定点 而 B M 为动点 且点 B 的运动是 有规律的 显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的 可见 M B 为相关点 故采用相关点法求 动点 M 的轨迹方程 解析解析 设动点 M 的坐标为 x y 而设 B 点坐标为 x0 y0 则由 M 为线段 AB 中点 可得 yy axx y y x ax 2 22 2 0 2 2 0 0 0 0 即点 B 坐标可表为 2x 2a 2y 上在椭圆点又1 2 2 2 2 00 b y a x yxB b y a ax b y a x 1 2 22 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 从而有 精品文档 9欢迎下载 1 4 4 2 2 2 2 b y a ax M 的轨迹方程为得动点整理 点评点评 代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 变式变式 4 4 如图所示 已知P 4 0 是圆x2 y2 36 内的一点 A B是圆上两动点 且 满足 APB 90 求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解析解析 设AB的中点为R 坐标为 x y 则在 Rt ABP 中 AR PR 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 又因为 R 是弦 AB的中点 依垂径定理 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在 Rt OAR中 AR 2 AO 2 OR 2 36 x2 y2 又 AR PR 22 4 yx 所以有 x 4 2 y2 36 x2 y2 即x2 y2 4x 10 0 因此点R在一个圆上 而当R在此圆上运动时 Q点即 在所求的轨迹上运动 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设Q x y R x1 y1 因为R是PQ的中点 所以x1 2 0 2 4 1 y y x 代入方程x2 y2 4x 10 0 得 10 0 2 4 4 2 2 4 22 xyx 整理得 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 x2 y2 56 这就是所求的轨迹方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 五 用交轨法求轨迹方程五 用交轨法求轨迹方程 22 22 1 xy ab 六 用点差法求轨迹方程六 用点差法求轨迹方程 分析 分析 此题中四问都跟弦中点有关 因此可考虑设弦端坐标的方法 解 解 设弦两端点分别为 线段的中点 则 11 yxM 22 yxN MN yxR yyy xxx yx yx 2 2 22 22 21 21 2 2 2 2 2 1 2 1 得 02 21212121 yyyyxxxx 由题意知 则上式两端同除以 有 21 xx 21 xx 02 21 21 2121 xx yy yyxx 将 代入得 02 21 21 xx yy yx 1 将 代入 得 故所求直线方程为 2 1 x 2 1 y 2 1 21 21 xx yy B Q R A P o y x 精品文档 10欢迎下载 0342 yx 将 代入椭圆方程得 符合题意 22 22 yx0 4 1 66 2 yy0 4 1 6436 为所求 0342 yx 2 将代入 得所求轨迹方程为 椭圆内部分 2 21 21 xx yy 04 yx 3 将代入 得所求轨迹方程为 椭圆内部 2 1 21 21 x y xx yy 0222 22 yxyx 分 练习 1 正确解答正确解答 ABC 为三角形 故 A B C 不能三点共线 轨迹方程里应除去点 即轨迹方程为 0 5 0 5 5 1 1625 22 x yx 2 两条直线与的交点的轨迹方程是 01 myx01 ymx 解答解答 直接消去参数即得 交轨法 m0 22 yxyx 3 已知圆的方程为 x 1 2 y2 1 过原点 O 作圆的弦 0A 则弦的中点 M 的轨迹方程是 解答解答 令 M 点的坐标为 则 A 的坐标为 2 代入圆的方程里面得 yx 2 yx 0 4 1 2 1 22 xyx 4 当参数 m 随意变化时 则抛物线的顶点的轨迹方程为 分析分析 把所求轨迹上的动点坐标 x y 分别用已有的参数 m 来表示 然后消去参数 m 便可得到动点的轨迹方程 解答解答 抛物线方程可化为 它的顶点坐标为 消去参数 m 得 故所求动点的轨迹方程为 5 点 M 到点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小 1 则点 M 的轨迹方程为 分析分析 点 M 到点 F 4 0 的距离比它到直线的距离小 1 意味着点 M 到 点 F 4 0 的距离与它到直线的距离相等 由抛物线标准方程可写出点 M 的轨 精品文档 11欢迎下载 迹方程 解答解答 依题意 点 M 到点 F 4 0 的距离与它到直线的距离相等 则点 M 的轨迹是以 F 4 0 为焦点