高中数学 第二章2.3.2课时活页训练 苏教版选修1-1

一 填空题 1 已知椭圆 1 和双曲线 1 有公共的焦点 那么双曲线的渐近线 x2 3m2 y2 5n2 x2 2m2 y2 3n2 方程是 解析 由双曲线方程 判断出公共焦点在 x 轴上 所以椭圆的一个焦点为 0 3m2 5n2 双曲线的一个焦点为 0 所以 m2 8n2 2m2 3n2 又因为双曲线渐近线方程为 y x 6 n 2 m 把 m2 8n2 即 m 2 n 代入 得 y x 2 3 4 答案 y x 3 4 2 双曲线与椭圆 1 有相同的焦点 它的一条渐近线方程为 y x 则双曲线 x2 16 y2 64 方程为 答案 y2 x2 24 3 关于双曲线 1 与 k k 0 且 k 1 有下列结论 有相同的顶点 x2 16 y2 9 x2 16 y2 9 有相同的焦点 有相同的离心率 有相同的渐近线 其中正确结论的序号是 解析 双曲线 1 与 k k 0 且 k 1 显然有共同的渐近线 0 双曲线 x2 16 y2 9 x2 16 y2 9 x 4 y 3 1 的实半轴长 a 4 虚半轴长 b 3 所以半焦距 c 5 双曲线 k 可化为 x2 16 y2 9 x2 16 y2 9 1 故实半轴长 a 4 4 虚半轴长 b 3 3 所以半焦距 c 5 5 x2 16k y2 9kkkk 故两个双曲线的焦点 顶点都不相同 都错 而前者的离心率 e 后者的 c a 5 4 离心率 e e 所以离心率相同 所以 正确 c a 5 k 4 k 5 4 答案 4 设 P 是双曲线 1 上一点 双曲线的一条渐近线方程是 3x 2y 0 F1 F2 x2 a2 y2 9 分别是双曲线的左 右焦点 若 PF1 3 则 PF2的值为 解析 双曲线的一条渐近线方程为 3x 2y 0 b 3 a 2 b a 3 2 又 PF1 PF2 2a 4 3 PF2 4 PF2 7 或 PF2 1 舍去 答案 7 5 双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别是 F1 F2 过 F1作倾斜角为 30 的 x2 a2 y2 b2 直线交双曲线右支于 M 点 若 MF2垂直于 x 轴 则双曲线的离心率为 解析 如图 由题知 MF1F2 30 MF2 x 轴 MF1 2MF2 MF1 MF2 2a MF2 2a 又 F1F2 2c cot30 e F1F2 MF2 2c 2a c a33 答案 3 6 过点 P 1 的直线 l 与双曲线 1 有且仅有一个公共点 且这个公共 b a x2 a2 y2 b2 点恰是双曲线的左顶点 则双曲线的实半轴长等于 解析 依题意知 过点 P 的直线 l 与双曲线相切或与双曲线的渐近线 y x 平行 所 b a 以 a 1 或 解得 a 1 或 a 2 即实半轴长等于 1 或 2 b a a 1 b a 答案 1 或 2 7 以双曲线 1 的右焦点为圆心 且与其渐近线相切的圆的方程是 x2 9 y2 16 解析 由双曲线方程 1 知其右焦点的坐标为 5 0 渐近线方程为 4x 3y 0 所 x2 9 y2 16 以所求圆的半径为 4 4 5 3 0 42 32 故所求圆的方程为 x 5 2 y2 42 答案 x 5 2 y2 16 8 F1 F2是双曲线 1 的左 右焦点 P 是双曲线左支上的点 已知 x2 4 y2 45 PF1 PF2 F1F2依次成等差数列 且公差大于 0 则 F1PF2 解析 由双曲线定义可知 PF2 PF1 4 又 2PF2 PF1 F1F2 PF1 14 PF2 10 PF1 6 在 PF1F2中 由余弦定理可得 cos F1PF2 F1PF2 120 1 2 答案 120 9 如图 F1和 F2是双曲线 1 a 0 b 0 的两个焦点 A 和 B 是以 O 为圆心 以 x2 a2 y2 b2 OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点 且 F2AB 是等边三角形 则双曲线的离心率 为 解析 连结 OA 图略 F2AB 是等边三角形 由双曲线及圆的对称性可知 AOF1 60 又 OA OF1 A 点坐标为 c 将 A 点坐标代入双曲线方程 得 c 2 3 2 c2 4a2 1 又 b2 c2 a2 3c2 4b2 由 可得 e 1 3 答案 1 3 二 解答题 10 已知双曲线的左 右焦点分别为 F1 F2 离心率为 且过点 4 210 1 求双曲线的标准方程 2 直线 x 3 与双曲线交于 M N 两点 求证 F1M F2M 解 1 由双曲线的离心率为 2 c a2 2 a b a2 b2 a2 即双曲线为等轴双曲线 可设其方程为 x2 y2 0 由于双曲线过点 4 10 42 2 10 6 所求双曲线的标准方程为 1 x2 6 y2 6 2 证明 由 1 可得 F1 F2的坐标分别为 2 0 2 0 M N 的坐标分别为 3 333 3 3 kF1M kF2M 3 3 2 3 3 3 2 3 故 kF1M kF2M 1 3 3 2 3 3 3 2 3 F1M F2M 11 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左 右焦点分别为 F1 F2 点 P 在双曲线的右 x2 a2 y2 b2 支上 且 PF1 4PF2 试求该双曲线离心率的取值范围 解 PF1 4PF2 点 P 在双曲线的右支上 设 PF2 m 则 PF1 4m 由双曲线的定义 得 PF1 PF2 4m m 2a m a 2 3 又 PF1 PF2 F1F2 即 4m m 2c m c 即 a c e 又 e 1 双曲线离 2 5 2 3 2 5 c a 5 3 心率的取值范围为 10 b 0 由已知得 a c 2 又 x2 a2 y2 b23 a2 b2 c2 b2 1 双曲线 C 的标准方程为 y2 1 x2 3 2 由题意得Error 整理得 1 3k2 x2 6kmx 3m2 3 0 直线与双曲线 C 有两个不同 的交点 Error 解得 m2 3k2 1 设 M x1 y1 N x2 y2 线段 MN 的中点为 B x0 y0 则 x1 x2 x0 y0 kx0 m 由题意知 AB MN kAB 6km 1 3k2