Euler法和改进的Euler法实验报告.doc

用Euler法和改进的Euler法求u=-5u(0t1)，u(0)=1的数值解，步长h=0.1，0.05，并比较两个算法的精度。解：1) 当步长h=0.1时编写程序如下所示clfclearclc %直接求解微分方程y=dsolve(Dy=-5*y,y(0)=1,t)%Euler法h=0.1;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i);endzbu%改进的Euler法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);endzbv plot(t,u,r*,markersize,10)hold on,plot(t,v,r.,markersize,20)hold on,ezplot(y,0,1)hold on,title(Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）),grid onlegend(Euler法,改进的Euler法,解析解)%解真值h=0.1;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i); zby(2,i)=y(i);endzby我们可以得到计算后的结果图像如图一所示图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t坐标0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0欧拉1.00000.50000.25000.12500.06250.03130.01560.00780.00390.00200.0010改进欧拉1.0000 0.6250 0.3906 0.2441 0.1526 0.0954 0.0596 0.0373 0.0233 0.0146 0.0091真值1.00000.60650.36790.22310.13530.08210.04980.03020.01830.01110.0067表1 Euler法和改进的Euler法在各点数值比较（h=0.1）为了比较Euler法和改进的Euler法的算法精度，在这里我们利用相对误差的概念进行评判。对于Euler法和改进的Euler法的每个的估计值有：相对误差=估计值真值 真值从而我们可以通过计算得到如下的相对误差表：t坐标0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0欧拉0 0.1756 0.3204 0.4398 0.5382 0.6193 0.6862 0.7413 0.7867 0.8242 0.8551改进欧拉0 0.0305 0.0618 0.0942 0.1275 0.1618 0.1972 0.2336 0.2712 0.3099 0.3498表2 Euler法和改进的Euler法在各点相对误差比较（h=0.1）为了评定算法精度，我们对每种算法的在所有点处的相对误差求平均，可以得到Euler法的平均相对误差为0.5443，改进的Euler法的平均相对误差为0.1670。由此我们可以得出改进的欧拉法的算法进度更高。2) 当步长h=0.05时程序编写如下clfclearclc %直接求解微分方程y=dsolve(Dy=-5*y,y(0)=1,t)%Euler法h=0.01;t=0:h:1;n=length(t);u=zeros(1,n);u(1)=1;zbu(1,1)=t(1);zbu(2,1)=u(1);for i=2:n f=-5*u(i-1); u(i)=u(i-1)+h*f; zbu(1,i)=t(i); zbu(2,i)=u(i);endzbu%改进的Euler法v=zeros(1,n);v0=zeros(1,n);v(1)=1;zbv(1,1)=t(1);zbv(2,1)=v(1);for i=2:n f=-5*v(i-1); v0(i)=v(i-1)+h*f; v(i)=v(i-1)+h/2*(f-5*v0(i); zbv(1,i)=t(i); zbv(2,i)=v(i);endzbv plot(t,u,r*,markersize,10)hold on,plot(t,v,r.,markersize,20)hold on,ezplot(y,0,1)hold on,title(Euler法和改进的Euler法比较（h=0.1）),grid onlegend(Euler法,改进的Euler法,解析解)%解真值h=0.01;t=0:h:1;n=length(t);for i=1:n y(i)=1/exp(5*t(i); %通过第一部分程序直接解得的解析解 zby(1,i)=t(i); zby(2,i)=y(i);endzby计算后的结果图像为图1 Euler法和改进的Euler法比较（h=0.05）同时，我们得到Euler法，改进的Euler法和解析解的在各点处数值分别如下所示：t坐标0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.50欧拉1.0000 0.7500 0.5625 0.4219 0.3164 0.2373 0.1780 0.1335 0.1001 0.0751 0.0563 改进欧拉1.0000 0.7813 0.6104 0.4768 0.3725 0.2910 0.2274 0.1776 0.1388 0.1084 0.0847 真值1.0000 0.7788 0.6065 0.4724 0.3679 0.2865 0.2231 0.1738 0.1353 0.1054 0.0821 t坐标0.550.600.650.700.750.800.850.900.951.00欧拉0.0422 0.0317 0.0238 0.0178 0.0134 0.0100 0.00750.0056 0.0042 0.0032改进欧拉0.0662 0.0517 0.0404 0.0316 0.0247 0.0193 0.01500.0118 0.0092 0.0072真值0.0639 0.0498 0.0388 0.0302 0.0235 0.0183 0.01430.0111 0.0087 0.0067表1 Euler法和改进的Euler法在各点数值比较（h=0.05）此时，求出两种算法的相对误差的平均值分别为：Euler法改进的Euler法0.29600.0321由此可见改进的Euler法的算法精度高于Euler法。由以上的分析我们可以得出如下结论：1. Euler法和改进的Euler法相比较，改进的Euler法的计算精度更高，相对误差也比较小。因此在求解微分方程的数值解时，改进的Euler法优于Euler法。2. 在上述两种