高中数学《生活中的优化问题举例》学案1 新人教A版选修1-1

用心 爱心 专心1 3 4 3 4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 成功细节成功细节 本节主要研究导数在实际生活中的应用 在学习时 我认为应该注意以下几个方面的细节 1 要 细致分析实际问题中各个量之间的关系 正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x 把实际问 题转化为数学问题 即列出函数解析式 yf x 根据实际问题确定函数 yf x 的定义域 2 要熟 练掌握应用导数法求函数最值的步骤 细心运算 正确合理地做答 3 求实际问题的最值时 一定要 从问题的实际意义去考察 不符合实际意义的理论值应予舍去 4 在实际问题中 有 0fx 常常 仅解到一个根 若能判断函数的最大 小 值在x的变化区间内部得到 则这个根处的函数值就是所求 的最大 小 值 如 本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题 可设长方体的宽为x m 则长为 2x m 高为 2 3 0 m 35 4 4 1218 xx x h 故长 方体的体 积为 2 3 0 m69 35 4 2 3322 xxxxxxV 从而 1 18 35 4 1818 2 xxxxxxV 令V x 0 解得x 0 舍去 或x 1 因此x 1 当 0 x 1 时 V x 0 当 1 x 3 2 时 V x 0 故在x 1 处V x 取得极大值 并且这个极大值就是V x 的最大值 从而最大体积V V x 9 12 6 13 m3 此时长方体的长为 2 m 高为 1 5 m 答 当长方体的长为 2 m 时 宽为 1 m 高为 1 5 m 时 体积最大 最大体积为 3 m3 高效预习高效预习 核心栏目 核心栏目 学习细节学习细节 核心栏目 核心栏目 A A 基础知识 基础知识 一 利用导数解决生活中的优化问题利用导数解决生活中的优化问题 情景引入情景引入 生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为优化问 关注 思考 1 了解优化问题的类型 2 实际问题中为什么极值点 一般就是最值点 粗读 概括 1 认真阅读教材中的例题 从中提 炼解答优化问题的解题步骤 2007 年重庆市文科 20 题 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽 之比为 2 1 问该长方体的长 宽 高各为多少时 其体积最大 最大体积是多少 用心 爱心 专心2 题 通过前面的学习 我们知道 导数是求函数最大 小 值的有力工具 这一节 我们利用导数 解 决一些生活中的优化问题 例题 1 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动 通常需要张贴海报进行宣传 现让你设计一张如图 所示的竖向张贴的海报 要求版心面积为 128dm2 上 下两边各空 2dm 左 右两 边各空 1dm 如何设计海报的尺寸 才能使四周空心面积最小 引导引导 先建立目标函数 然后利用导数求最值 解 设版心的高为 xdm 则版心的宽为 128 x dm 此时四周空白面积为 128512 4 2 12828 0S xxxx xx 求导数 得 2 512 2S x x 令 2 512 20S x x 解得16 16xx 舍去 于是宽为 128128 8 16x 当 0 16 x 时 S x0 因此 16x 是函数 S x的极小值 也是最小值点 所以 当版心高为 16dm 宽为 8dm 时 能使四周 空白面积最小 答 当版心高为 16dm 宽为 8dm 时 海报四周空白面积最小 思考思考 在课本例 1 中 16x 是函数 S x的极小值点 也是最小值点 为什么 是否还有别的解法 探究探究 在实际问题中 由于 fx 0 常常只有一个根 因此若能判断该函数的最大 小 值在x的变 化区间内部得到 则这个根处的极大 小 值就是所求函数的最大 小 值 由课本例 1 可得 256256 482 48S xxx xx 2 32872 256 4 8 0 xxxS x 当且仅当即时取最小值 16 128 此时y 8 例题 2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 1 你是否注意过 市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些 2 是不是饮料瓶越大 饮料公司的利润越大 背景知识 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料 瓶子的制造成本是 2 0 8 r 分 其中 r 是瓶子的半径 单位是厘米 已知每出售 1 mL 的饮料 制造商可获利 0 2 分 且制造商能制作 的瓶子的最大半径为 6cm 问题 瓶子的半径多大时 能使每瓶饮料的利润最大 瓶子的半径多大时 每瓶的利润最小 引导引导 先建立目标函数 转化为函数的最值问题 然后利用导数求最值 解 由于瓶子的半径为r 所以每瓶饮料的利润是 用心 爱心 专心3 3 322 4 0 20 80 8 06 33 r yf rrrrr 令 2 0 8 2 0frrr 解得 2r 0r 舍去 当 0 2r 时 0fr 当 2 6r 时 0fr 当半径2r 时 0fr 它表示 f r单调递增 即半径越大 利润越高 当半径2r 时 0fr 它表示 f r单调递减 即半径越大 利润越低 1 半径为2cm 时 利润最小 这时 20f 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本 此 时利润是负值 2 半径为6cm 时 利润最大 引导引导 我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式 2 2 0 8 06 3 r f rrr 图象如图 能否根据它的图象说出其实际意义 探究探究 当 0 2r 时 f r为减函数 其实际意义为 瓶子的半 径小于 2cm 时 瓶子的半径越大 利润越小 半径为2cm 时 利润最小 当 2 6r 时 f r为增函 数 其实际意义为 瓶子的半径大于 2cm 时 瓶子的半径越大 利润越大 特别的 当3r 时 30f 即瓶子的半径为 3cm 时 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等 3r 时 利润才为正值 当2r 时 20f 即瓶子的半径为 2cm 时 饮料的利润最小 饮料利 润还不够饮料瓶子的成本 此时利润是负值 例题 2 磁盘的最大存储量问题 计算机把数据存储在磁盘上 磁盘是带有磁性介质的圆盘 并有操作系统将其格式化成磁道和扇区 磁道是指不同半径所构成的同心轨道 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域 磁道上的定长弧段可作 为基本存储单元 根据其磁化与否可分别记录数据 0 或 1 这个基本单元通常被称为比特 bit 为了保障磁盘的分辨率 磁道之间的宽度必需大于m 每比特所占用的磁道长度不得小于n 为了 数据检索便利 磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数 问题 现有一张半径为R的磁盘 它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域 1 是不是r越小 磁盘的存储量越大 2 r为多少时 磁盘具有最大存储量 最外面的磁道不存储任何信息 解 由题意知 存储量 磁道数 每磁道的比特数 设存储区的半径介于r与 R 之间 由于磁道之间的宽度必需大于m 且最外面的磁道不存储任何信 息 故磁道数最多可达 Rr m 由于每条磁道上的比特数相同 为获得最大存储量 最内一条磁道必须装 满 即每条磁道上的比特数可达 2 r n 所以 磁盘总存储量 用心 爱心 专心4 f r Rr m 2 r n 2 r Rr mn 1 它是一个关于r的二次函数 从函数解析式上可以判断 不是r越小 磁盘的存储量越大 2 为求 f r的最大值 计算 0fr 2 2frRr mn 令 0fr 解得 2 R r 当 2 R r 时 0fr 当 2 R r 时 0fr 因此 2 R r 时 磁盘具有最大存储量 此时最大存储量为 2 2 4 R mn 思考思考 根据以上三个例题 总结用导数求解优化问题的基本步骤 总结总结 1 认真分析问题中各个变量之间的关系 正确设定最值变量y与自变量x 把实际问题转化 为数学问题 列出适当的函数关系式 yf x 并确定函数的定义区间 2 求 fx 解方程 0fx 得出所有实数根 3 比较函数在各个根和端点处的函数值的大小 根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值 关键细节 由问题的实际意义来判 断函数最值时 如果函数在此区间 上只有一个极值点 那么这个极值 就是所求最值 不必再与端点值比 较 用心 爱心 专心5 例 4 10 某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法 达到 100 人的团体 每人收费 1000 元 如果 团体的人数超过 100 人 那么每超过 1 人 每人平均收费降低 5 元 但团体人数不能超过 180 人 如何 组团可使旅行社的收费最多 不到 100 人不组团 解析 先列出问题的文字模型 标准收费数 降低的收费数 再转化为数学模型 答案 设参加旅游的人数为 x 旅游团收费为 y 则依题意有 f x 1000 x 5 x 100 x 100 x 180 令 1500 100fxx 得x 150 又 100 100000f 150 112500f 180 108000f 所以当参加人数为 150 人时 旅游团的收费最高 可达 112500 元 B B 综合拓展 综合拓展 例 1 某工厂生产某种产品 已知该产品的月生产量x t 与每吨产品的价格p 元 t 之间的关系式为 p 24200 5 1 x2 且生产x t 的成本为 R 50000 200 x 元 问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大 最大利润是多少 解析 利润 收入 成本 列出利润的函数关系式 利用导数解决优化问题 答案 每月生产x吨时的利润为 20050000 5 1 24200 2 xxxxf 3 1 2400050000 0 5 xxx 由 2 3 240000 5 fxx 解得 200 x 或200 x 舍去 因为 f x在 0 内只有一个点 200 x 使得 0fx 故它就是最大值点 且最大值为 0 200 0 xfxxf使内只有一个点在因 故它就是最大值点 且最大值为 3 1 200 200 24000 200500003150000 5 f 元 思维拓展 1 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值 最小值的实际问题 主要有以下几种类型 1 与几何 长度 面积 体积等 有关的最值问题 2 与物理学有关的最值问题 3 与利润及其成本 效益最大 费用最小等 有关的最值问题 4 效率最值问题 2 利用导数解决优化问题的基本思路 优优化化问问题题 用用函函数数表表示示数数学学问问题题 用导数解决数学问题优化问题的答案 建建立立数数学学模模型型 解解决决数数学学模模型型 作作答答 用心 爱心 专心6 答 每月生产 200 吨产品时利润达到最大 最大利润为 315 万元 例 2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C 100 4q 价格p与产量q的函数关系式为 qp 8 1 25 求产量q为何值时 利润L最大 分析 利润L等于收入R减去成本C 而收入R等于产量乘价格 由此可得出利润L与产量q的函数 关系式 再用导数求最大利润 解 收入 2 11 2525 88 Rq pqqqq 利润 22 11 25 1004 21100 88 LRCqqqqq 0100 q 1 21 4 Lq 令0L 即 1 210 4 q 求得唯一的极值点84q 答 产量为 84 时 利润 L 最大 例 3 甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边A处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸 40 km 的B处 乙厂到河岸的垂足D与A相距 50 km 两厂要在此岸边合建一个供水站C 从供水站到甲 厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a元和 5a元 问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省 解析 根据题设条件作出图形 分析各已知条件之间的关系 借助图形的特征 合理选择这些条件 间的联系方式 适当选定变元 构造相应的函数关系 通过求导的方法 或其他方法求出函数的最小值 可确定点C的位置 答案 解法一 根据题意知 只有点C在线段AD上某一适当位置 才能使总运费最省 设C点距D点x km 则 BD 40 AC 50 x BC 2222 40 xCDBD 又设总的水管费用为y元 依题意有 y 3a 50 x 5a 22 40 x 050 x y 3a 22 40 5 x ax 令y 0 解得x 30 在 0 50 上 y只有一个极值点 根据实际问题的意义 函数在x 30 km 处取得最小值 此时AC 50 x 20 km 供水站建在A D之间距甲厂 20 km 处 可使水管费用最省 解法二 设 BCD 则BC sin 40 CD 2 0 cot40 cot4050 AC 设总的水管费用为f 依题意 有 f 3a 50 40 cot 5 40 sin a 150a 40a sin cos35 f 40a 22 53cos sin 53cos sin 35cos 40 sinsin a 令 f 0 得 cos 5 3 C C D D B B A A 用心 爱心 专心7 根据问题的实际意义 当 cos 5 3 时 函数取得最小值 此时 sin 5 4 cot 4 3 AC 50 40cot 20 km 即供水站建在A D之间距甲厂 20 km 处 可使水管费用最省 例 4 在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多 少时 箱底的容积最大 最大容积是多少 解析 先建立起目标函数 再求最值 答案 解法一 设箱底边长为xcm 则 箱高 60 2 x h cm 得箱子容积 2 60 32 2 xx hxxV 600 x 2 3 60 2 x V xx 600 x 令 2 3 60 2 x V xx 0 解得 x 0 舍去 x 40 并求得 V 40 16 000 由题意可知 当 x 过小 接近 0 或过大 接近 60 时 箱子容积很小 因此 16 000 是最大值 答 当 x 40cm 时 箱子容积最大 最大容积是 16 000cm3 解法二 设箱高为xcm 则箱底长为 60 2x cm 则得 箱子容积 xxxV 2 260 300 x 后面同解法一 略 由题意可知 当x过小或过大时箱子容积很小 所以最大值出现在极值点处 事实上 可导函数 2 60 32 2 xx hxxV xxxV 2 260 在各自的定义域中都只有一个极 值点 从图象角度理解即只有一个波峰 是单峰的 因而这个极值点就是最值点 不必考虑端点的函数 值 例 5 圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 解析 转化为数学问题就是 圆柱的体积是一个定值时 求表面积最小时 高与半径的比值 答案 设圆柱的高为 h 底半径为 R 则表面积 S 2 Rh 2 R2 由 V R2h 得 2 V h R 则 x 60 2x 60 2x 60 2x x 60 2x60 60 x x 60 60 x x 用心 爱心 专心8 S R 2 R 2 V R 2 R2 2V R 2 R2 令 2 2 V s R R 4 R 0 解得 R 3 2 V 从而 h 2 V R 2 3 2 V V 3 4V 23 V 即 h 2R 因为 S R 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐的高与底直径相等时 所用材料最省 思考 思考 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使所用材料 最省 提示 S 2Rh 2 2 R h R RS 2 2 2 V R R RS 2 2 2 R 2 32 2 1 2 2 1 RSRRRS RV 0 2 6 RS RhRRhR2226 22 例 6 已知矩形的两个顶点位于x轴上 另两个顶点位于抛物线y 4 x2在x轴上方的曲线上 求 这种矩形中面积最大者的边长 解 设位于抛物线上的矩形的一个顶点为 x y 且x 0 y 0 则另一个在抛物线上的顶点为 x y 在x轴上的两个顶点为 x 0 x 0 其中 0 x 2 设矩形的面积为S 则S 2 x 4 x2 0 x 2 由S x 8 6 x2 0 得x 3 3 2 易知 x 3 4 是S在 0 2 上的极值点 即是最大值点 所以这种矩形中面积最大者的边长为3 3 2 和 3 8 例 7 要建一个圆柱形无盖的粮仓 要求它的容积为 3 500m 问如何选择它的直径和高 才能使所用 材料最省 解析 欲使材料最省 实际上是使表面积最小 答案 设直径为d 高为h 表面积为S 由 2 500 2 d h 得 2 2000 h d 又 2 2 2000 24 dd Sd h d 而 2 2000 2 d S d 令0S 即 2 2000 0 2 d d 得 3500 2 d 此时 3500 h 用心 爱心 专心9 3500 02 d 时 0S 3500 2 d 时 0S 所以 当 3500 2 d 3500 d 用料最省 点评 用料最省 造价最低一般都是与表面积有关 此类问题的求解思路是找到变量之间的关系 再借助关系列出函数式 然后通过导数予以求解 例 8 用宽为a 长为b的三块木板 做成一个断面为梯形的水槽 如图 2 问斜角 多大时 槽的流量最大 最大流量是多少 解析 槽的流量与槽的横截面面积有关 横截面面积越大 槽的流量就 越大 因此 求槽的流量最大 其实就是求横截面面积的最大值 设横截面 面积为S 则 1 2 SABED CD 答案 由于2 cosABaa sinCDa 因此 1 2 cos sin 2 Saaaa 2 sin 1cos 0 2 a 又 22 2coscos1 Sa 令0S 即 22 2coscos1 0a 得 1 cos 2 或cos1 由于 0 2 得cos1 那么 1 cos 2 此时 3 当 0 3 时 0S 当 32 时 0S 所以 当 3 时 横截面的面积最大 此时 槽的流量最大 点评 流量最大 横梁的强度最大等都与横截面的面积有关 而面积又往往与三角联系在一起 根 据题目条件找出各量之间的关系是求解此类问题的关键 例 9 一书店预计一年内要销售某种书 15 万册 欲分几次订货 如果每次订货要付手续费 30 元 每 千册书存放一年要耗库费 40 元 并假设该书均匀投放市场 问此书店分几次进货 每次进多少册 可使 所付的手续费与库存费之和最少 解 设每次进书x千册 0150 x 手续费与库存费之和为y元 由于该书均匀投放市场 则平均库存量为批量之半 即2 x 故有 x 0 15 15 15 150 y y A极小值A 用心 爱心 专心10 150 y x 30 2 x 40 22 450020 15 15 20 xx y xx 令y 0 得x 15 列表如右 所以当x 15 时 y取得极小值 且极小值唯一 故当 x 15 时 y 取得最小值 此时进货次数为 150 10 15 次 即该书店分 10 次进货 每次进 15000 册书 所付手续费与库存费之和最少 作业作业 课堂作业课堂作业 1 知识点 1 一质点做直线运动 由始点起经过 ts 后的距离为 s 432 15 3 43 ttt 则速度为零的时刻是 A 0s 与 2s 末 B 3s 末 C 0s 与 3s 末 D 0s 2s 3s 末 2 知识点 1 用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时 在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形 然后把四边折起 就能焊接成铁盒 所做铁盒容积最大时 在四角截去的正方形的边长为 A 6cm B 8cm C 10cm D 12cm 3 知识点 1 要做一个圆锥形漏斗 其母线长为 20cm 要使其体积最大 则其高应为 A cm 3 320 B 100cm C 20cm D 4 若一球的半径为r 作内接于球的圆柱 则其侧面积最大为 A 2 r2B r2C 4 r2D 2 1 r2 5 以长为 10 的线段AB为直径作半圆 则它的内接矩形面积的最大值为 A 10B 15 C 25D 50 6 知识点 1 如图 将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形 再沿虚线折起 做成 一个无盖的正六棱柱容器 当这个正六棱柱容器的底面边长为 时 其容积最大 7 知识点 1 一面靠墙三面用栏杆 围成一个矩形场地 如果栏杆长 40cm 要使围成的场地面积最大 靠墙的边应该为 cm 8 知识点 1 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品 若该商品的零售价定为p元 则销售量 Q 单位 件 与零售价p 单位 元 有如下关系 2 8300170Qpp 问该商品零售价定为多少元时 毛利润L最大 并求出最大毛利润 课后作业课后作业 9 当室内的有毒细菌开始增加时 就要使用杀菌剂 刚开始使用的时候 细菌数量还会继续增加 随着时间 的增加 它增加幅度逐渐变小 到一定时间 细菌数量开始减少 如果使用杀菌剂 t 小时后的细菌数量为 b t cm 3 20 用心 爱心 专心11 105 104t 103t2 1 求细菌在 t 5 与 t 10 时的瞬时速度 2 细菌在哪段时间增加 在哪段时间减少 为什么 10 一条水渠 断面为等腰梯形 如图所示 在确定断面尺寸时 希望在 断面ABCD的面积为定值S时 使得湿周l AB BC CD最小 这样可使水 流阻力小 渗透少 求此时的高h和下底边长b 11 有甲 乙两城 甲城位于一直线形河岸 乙城离岸 40 千米 乙城到 岸的垂足与甲城相距 50 千米 两城在此河边合设一水厂取水 从水厂到 甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元 问水厂应设在河边的何处 才能使水管费用最省 家庭作业家庭作业 12 请你的父母与你一起围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场 为充分利用已有资源 可以利用 原有的墙壁作为一边 其他三边需要砌新的墙壁 如何设才能使砌壁所用的材料最省 作业参考答案作业参考答案 课堂作业课堂作业 1 D 32 56 2 3 stttt tt 令0s 得0 2 3t 2 A 设箱底边长为xcm 则箱高 48 2 x h cm 得箱子容积 23 2 48 2 xx V xx h 048 x 则 2 3 48 2 x V xx 048 x 令 0V x 解得32x 0 x 删掉 所以当32x 即 4832 6 2 hcm 时 体积取得最大值 3 A 设母线和底面所成的角等于 0 2 则20cosr 20sinh 22