辽宁省丹东市九年级数学下册 第二章《二次函数 二次函数与一元二次方程（一）》教案 北师大版

1 二次函数二次函数与一元二次方程 一 与一元二次方程 一 教学目标 知识与技能 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 过程与方法 1 通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数 讨论一元二次方程的根的情况 进一步 培养学生的数形结合思想 2 理解一元二次方程 ax2 bx c h 的根就是二次函数 y ax2 bx c 与直线 y h h 是实 数 图象交点的横坐标 情感态度与价值观 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程 体会二次函数与方程之间的联系 2 通过探索二次函数与一元二次方程的关系 使学生体会数学的严谨性以及数学结论 的确定性 教学重点 理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学难点 理解一元二次方程 ax2 bx c h 的根就是二次函数 y ax2 bx c 与直线 y h h 是实数 图象交点的横坐标 教学过程 第一环节 课前热身 耐心填一填 5 分钟 1 y ax2 bx c a b c 是常数 a 0 y 叫做 x 的 它的图象是一条抛物线 它的对称轴是直线 x 顶点坐标是 2 二次函数的解析式中的一般式是 y ax2 bx c a 0 顶点式 y a x h 2 k 交点式 y a x x1 x x2 2 3 抛物线 y x2 2x 4 的对称轴是 开口方向是 顶点坐标是 4 抛物线 y 2 x 2 x 3 与 x 轴的交点为 与 y 轴的交点为 5 已知抛物线与轴交于 A 1 0 和 1 0 并经过点 M 0 1 则此抛物线的解析式 为 第二环节 用心想一想 马到功成 10 分钟 1 我们已经知道 竖直上抛物体的高度 h m 与运动时间 t s 的关系可用公式 h 5t2 v0t h0表示 其中 h0 m 是抛出时的高度 v0 m s 是抛出时的速度 一个小球从地面 以 40m s 的速度竖直向上抛出起 小球的高度 h m 与运动时间 t s 的关系如图所示 那么 1 图象上每个点的横 纵坐标含义是什么 2 h 和 t 的关系式是什么 3 小球经过多少秒后落地 2 分别求出二次函数 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2 的图 象与 x 轴的交点的坐标 并快速作出草图 思路点拨 与 x 轴交点就是求当 y 0 时这个方程的解 然后写成点的坐标 1 观察下列二次函数 y x2 2x y x2 2x 1 y x2 2x 2 的图象 每个图象与 x 轴有几个 交点 2 一元二次方程 x2 2x 0 x2 2x 1 0 有几个根 验证一下一元二次方程 x2 2x 2 0 有根 3 吗 3 说说二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2 bx c 0 的根 有什么关系 3 归纳整理 a 二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点有三种情况 1 有两个交点 2 有一个交点 3 没有交点 b 当二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴有交点时 交点的横坐标就是当 y 0 时自变量 x 的值 即一元二次方程 ax2 bx c 0 的根 c 完成下列表格 观察二次函数 y ax2 bx c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2 bx c 0 的根及一元二次方程的根的判别式有什么关系 二次函数 y ax2 bx c 的图 象和 x 轴交点 一元二次方程 ax2 bx c 0 的 根 一元二次方程 ax2 bx c 0 根 的判别式 b2 4ac 有两个相异的实数根 b2 4ac 0 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 b2 4ac 0 第三环节 教材题变形 拓展延伸 10 分钟 例 一个足球被从地面向上踢出 它距地面的高度 h m 可以用公式 h 4 9t2 19 6t 来表示 其中 t s 表示足球被踢出后经过的时间 1 当 t 1 时 足球的高度是多少 2 t 为何值时 h 最大 3 经过多长时间球落地 4 方程 4 9t2 19 6t 0 的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗 5 方程 14 7 4 9t2 19 6t 的根的实际意义是什么 你能在图上表示吗 解 1 t 1 时 h 14 7 4 2 h 4 9 t 2 2 19 6 当 t 2 时 h 最大 3 对于 h 4 9t2 19 6t 球落地表示 h 0 即 4 9t2 19 6t 0 解得t1 0 舍去 t2 4 即足球被踢出后经过 4s 后球落地 4 方法一 解方程 0 4 9t2 19 6t 得 t 0 t 4 根 t 0 t 4 分别表示足球离开地面和落地的时刻 方法二 直接观察抛物线与直线 x 轴的交点 0 0 4 0 即可 图形表示方程的根就是抛物线与 x 轴的两个交点 5 方法一 解方程 14 7 4 9t2 19 6t 得 t 1 t 3 方法二 图象法 过点 0 14 7 作一条与 y 轴垂直的直线 找到它与抛物线的交点 再分别过交点作 x 轴的垂线 找出两个垂足的横坐标即可 表明球被踢出 1 秒和 3 秒时 离地面的高度都是 14 7 秒 第四环节 放开手脚 做一做 8 分钟 例 已知二次函数 y kx2 7x 7 的图象与 x 轴有两个交点 则 k 的取值范围为什么 错解 由 7 2 4 k 7 49 28k 0 得 k 4 7 正确解法 此函数为二次函数 k 0 又与 x 轴有交点 7 2 4 k 7 49 28k 0 得 k 4 7 故 k 且 k 0 4 7 点拨 因为是二次函数 因而 k 0 有两个交点 但未点明为两个不同点 所以应为 0 第五环节 大胆尝试 练一练 5 分钟 1 抛物线 y 3 x 2 x 5 与 x 轴的交点坐标为 2 抛物线 y x2 2x 3 与 两坐标轴交点的个数为 个 3 抛物线 y 2x2 8x m 与 x 轴只有一个交点 则 m 4 二次函数 y kx2 3x 4 的图象与 x 轴有两个交点 则 k 的取 5 值范围 5 若 a 0 b 0 c 0 0 那么抛物线 y ax2 bx c 经过 象限 第六环节 归纳小结 2 分钟 鼓励学生结合本节课的学习谈一谈他们对二次函数与一元二次方程的关系的认识 理解 了理解二次函数图象与 x 轴交点的个数与一