考点20平面向量的数量积、平面向量应用举例 (2)

圆学子梦想 铸金字品牌 1 温馨提示 温馨提示 此此题库为题库为 Word 版 版 请请按住按住 Ctrl 滑滑动动鼠鼠标滚轴标滚轴 调节调节合适的合适的观观 看比例 点看比例 点击击右上角的关右上角的关闭闭按按钮钮可返回目可返回目录录 考点考点 2020 平面向量的数量积 平面向量应用举例平面向量的数量积 平面向量应用举例 一 选择题一 选择题 1 2012 2012 江西高考理科江西高考理科 7 7 在直角三角形 ABC 中 点 D 是斜边 AB 的中点 点 P 为线段 CD 的中点 则 22 2 PAPB PC A 2 B 4 C 5 D 10 解题指南 用向量法求解 解析 选 D 将 ABC 各边均赋予向量 则 2222 22 PAPBPAPB PC PC 22 2 PDDAPDDB PC 22 2 DAPCDBPC PC 22 2 PCCAPCCB PC 222 2 222PCPC CAPC CBCACB PC 2 2 2 22PCPCCACBAB PC 2 2 2 64610 AB PC 2 2012 2012 安徽高考理科安徽高考理科 8 8 在平面直角坐标系中 0 0 6 8 OP 将向量 OP 绕点 O 按逆时针旋转 3 4 后得向量OQ 则点Q的坐标是 A 7 2 2 B 7 2 2 C 4 6 2 D 4 6 2 解题指南 先写出向量 6 8 OP 在把向量OP 按逆时针旋转 3 4 计算出向 圆学子梦想 铸金字品牌 2 量OQ 既得点Q的坐标 解析 选A 将向量 6 8 OP 按逆时针旋转 3 2 后得 8 6 OM 则 1 7 2 2 2 OQOPOM 3 2012 2012 辽宁高考理科辽宁高考理科 3 3 已知两个非零向量 满足a b 则下面结论正确的是 a b a b A B a b a b C D a b a b a b 解题指南 将所给等式两边平方 找到两个向量的关系 解析 选 B 22 2222 22ababababaa bbaa bb 0a bab 4 2012 2012 辽宁高考文科辽宁高考文科 1 1 已知向量 1 1 2 abx 若 1a b 则x 11 1 1 22 ABCD 解题指南 按照数量积的坐标运算 展开即可解决问题 解析 选 D 1 1 2 211a bxxx 5 2012 2012 福建高考文科福建高考文科 3 3 已知向量 1 2 ax 2 1 b 则a b 的充要 条件是 A 1 2 x B 1x C 5x D 0 x 解题指南 垂直表明数量积为 0 结合平面向量的数量积的坐标运算公式进 行求解 解析 选 D 1 220a bx 解得 0 x 圆学子梦想 铸金字品牌 3 6 2012 2012 广东高考理科广东高考理科 8 8 对任意两个非零的平面向量 和 定义 若平面向量 a b 满足 0ab a 与b 的夹角 0 4 且a b 和 b a 都在集合 2 n nZ 中 则a b A 1 2 B 1 C 3 2 D 5 2 解题指南 解决本小题首先搞清 的定义 然后根据 2 2 22 cos a b a bb a ab 再结合 0 4 确定 1 1 2 a bb a 是解决本题的 关键 解析 选 C 2 2 22 1 cos 0 1 42 a b a bb aa bb a ab 2 n a b b anN 又 2 3 cos 4 a ba a bb aa b b a 又 2 cos a bb b aaba bb a a b 31 22 a bb a 7 2012 2012 广东高考文科广东高考文科 1010 对任意两个非零的平面向量 定义 A A 若两个非零的平面向量 a b 满足 a 与 b 的夹角 4 2 且 a b rr o 和b a rr o 都在集合 2 n nZ 中 则a b rr o A 5 2 B 3 2 C 1 D 1 2 解题指南 解决本小题首先搞清 的定义 然后根据 2 2 22 cos a b a bb a ab 再结合 0 4 确定 1 1 2 a bb a 是解决本题的 关键 圆学子梦想 铸金字品牌 4 解析 选 D 2 2 22 1 cos 0 1 42 a b a bb aa bb a ab 2 n a b b anN 又 2 3 cos 4 a ba a bb aa b b a 又 2 cos a bb b aaba bb a a b 31 22 a bb a 8 2012 2012 陕西高考文科陕西高考文科 7 7 设向量a 1 cos 与b 1 2cos 垂 直 则cos2 等于 A 2 2 B 1 2 C 0 D 1 解题指南 由向量垂直关系 可计算cos 的值 再由二倍角公式计算 解析 选 C 已知a 1 cos b 1 2cos a b 0a b 2 12coscos20 故选 C 9 2012 2012 天津高考理科天津高考理科 7 7 已知 ABC为等边三角形 AB 2 设点 P Q 满足若 1 APAB AQACR 3 2 BQCP 则 A 1 2 B 12 2 C 110 2 D 32 2 2 解题指南 根据向量的线性运算及数量积进行运算 解析 选 A BQ AQAB CP APAC 1 ACAB ABAC 又 3 2 BQ CP 且 2ABAC 0 60AB AC 0 cos60 2AB ACAB AC 3 1 2 ACABABAC 222 3 1 1 2 ABAB ACAC 又在等边三角形中 22 2 4 4AC ABACAB 所以 解得 1 2 2 3 4 2 1 4 1 2 圆学子梦想 铸金字品牌 5 C B A P Q 二 填空题二 填空题 10 2012 2012 浙江高考文科浙江高考文科 1515 与 与 2012 2012 浙江高考理科浙江高考理科 1515 相同 相同 在 ABC 中 M 是 BC 的中点 AM 3 BC 10 则AB AC 解题指南 考查向量的数量积运算 要注意把所求向量往已知向量上去化 解析 不妨设 ABC 为等腰三角形 则AM BC 2 92516AB ACAMMBAMMCAMMB MC 答案 16 11 2012 2012 安徽高考理科安徽高考理科 1414 若平面向量 a b 满足 23ab 则a b A 的最 小值是 解题指南 将 23ab 两边同时平方 得 22 23494ababa b A 根据 22 444aba ba b A 即可求得 解析 22 22 23494 9 444944 8 ababa b aba ba ba ba ba b A AAAA 答案 9 8 12 2012 2012 北京高考文科北京高考文科 1313 与 与 2012 2012 北京高考理科北京高考理科 1313 相同 相同 己知正方形 ABCD 的边长为 l 点 E 是 AB 边上的动点 则DE CB 的值为 DE DC 的最大值为 圆学子梦想 铸金字品牌 6 解题指南 利用图形中的直角关系建系用坐标计算 也可以适当选取基向量 进行计算 解析 方法一 如图所示 以 AB AD 所在直线分别为 x y 轴建立坐标系 设 0 E t 0 1t 则 0 1 D B 1 0 C 1 1 1 0 1 DEtCB 1 0 DC 1DE CB 1DE DCt 方法二 选取 AB AD 作为基向量 设AE tAB 0 1t 则 DE CBtABADAD 2 0 11tAB ADAD 1DE DCtABADABt 答案 1 1 13 2012 2012 湖南高考文科湖南高考文科 1515 如图 4 在平行四边形 ABCD 中 AP BD 垂足为 P 3AP 且AP AC A 解题指南 本题考查平面向量加法的几何运算 平面向量的数量积运算 考 查数形结合思想 等价转化思想等数学思想方法 根据向量的三角形法则和平 行四边形法则进行线性运算 向量垂直时数量级为零 向量的平方等于模的平 方 解析 设 ACBDO 则 2 ACABBO AP AC A 2 APABBO A x y AB CD E 圆学子梦想 铸金字品牌 7 22AP ABAP BO AA 2 22 2AP ABAP APPBAP A 18 答案 18 14 2012 2012 江苏高考江苏高考 9 9 如图 在矩形ABCD中 2 2ABBC 点E是 BC的中点 点F在边CD上 若2AB AF 则 AE BF 的值是 解题指南 先建立坐标系 再恰当的表示向量 最 后用数量积公式 解析 以 A 点为原点 AB 所在直线为 x 轴 AD 所 在直线为 y 轴建立直角坐标系 xOy 则AB 2 0 AE 2 1 设 2 2 221 F tAFtAB AFtt 所以 2 1 12 2 2 AE BF 答案 2 15 2012 2012 安徽高考文科安徽高考文科 1 1 设向量 1 2 1 1 2 am bmcmac 若 b 则 a 解题指南 根据向量的坐标运算 求出a c 由 acb 得 0ac b 从 而求出m 解析 1 3 3 3 1 302 2 acmac bmmma A 答案 2 16 2012 2012 江西高考文科江西高考文科 1212 设单位向量 x y 2 1 若 mb 则 2xy m b 解题指南 由已知条件联立方程组求得向量的坐标 然后求 2xy m 解析 由可得2 0 xy 又因为为单位向量所以 22 1xy 联立解得m AB CD E F 圆学子梦想 铸金字品牌 8 5 5 2 5 5 x y 或 5 5 2 5 5 x y 故 2xy 5 答案 5 17 2012 2012 新课标全国高考文科新课标全国高考文科 1515 与 与 2012 2012 新课标全国高考理新课标全国高考理 科科 1313 相同 相同 已知向量 a b 夹角为 45 且 1 210aab 则 b 解题指南 将 2a b 平方展开 将 a a b代入展开式 将展开式看作关 于 b 的方程 解得 b 解析 a b 的夹角为45 1a 2 cos45 2 a babb 22 2 24410 2 abbb 3 2b 答案 3 2 三 解答题三 解答题 18 2012 2012 山东高考理科山东高考理科 1717 已知向量 0 2cos 2 cos3 1 sin Ax A xAnxm 函数 f xm n 的最大值为 6 求A 将函数 yf x 的图象向左平移12 个单位 再将所得图象上各点的横坐标 缩短为原来的 1 2倍 纵坐标不变 得到函数 yg x 的图象 求 g x 在 5 0 24 上的 值域 解题指南 1 先利用数量积的坐标运算 再利用和差倍角公式化为 sin wxAy 的形式 2 先利用图象变换法求出 g x 的解析式 再利用整 圆学子梦想 铸金字品牌 9 体代入法求值域 解析 1 0 2cos 2 cos3 1 sin Ax A xAnxm f xm n x A xAx2cos 2 1cos3sin 6 2sin 6 sin2cos 6 co