高中数学百大经典例题——两平面的平行判定和性质（新课标）

用心 爱心 专心 典型例题一典型例题一 例例 1 1 已知正方体 1111 DCBAABCD 求证 求证 平面平面 11D ABBDC1 证明证明 为正方体 1111 DCBAABCD BCAD 11 又 平面 BC1BDC1 故 平面 1A DBDC1 同理 平面 11B DBDC1 又 1111 DBDAD 平面平面 11D ABBDC1 说明 说明 上述证明是根据判定定理 1 实现的 本题也可根据判定定理 2 证明 只需连接 即可 此法还可以求出这两个平行平面的距离 CA1 典型例题二典型例题二 例例 2 如图 已知 aA A a 求证 求证 a 证明 证明 过直线作一平面 设 a 1 a b ba 1 又 a ba 在同一个平面内过同一点有两条直线与直线平行 A 1 aab 与重合 即 a 1 a a 用心 爱心 专心 说明 说明 本题也可以用反证法进行证明 典型例题三典型例题三 例例 3 如果一条直线与两个平行平面中的一个相交 那么它和另一个也相交 已知 已知 如图 Al 求证 求证 与相交 l 证明 证明 在上取一点 过 和作平面 由于与 有公共点 与有公共 BlB A 点 B 与 都相交 设 a b ba 又 都在平面内 且 和交于 lab laA 与相交 lb 所以 与相交 l 典型例题四典型例题四 例例 4 4 已知平面 为夹在 间的异面线段 分别为 ABCDa EFAB 的中点 CD 求证 求证 EF EF 证明 证明 连接并延长交于 AF G FCDAG 确定平面 且 AGCD AC DG 用心 爱心 专心 所以 DGAC GDFACF 又 DFGAFC DFCF ACFDFG FGAF 又 BEAE BGEF BG 故 EF 同理 EF 说明 说明 本题还有其它证法 要点是对异面直线的处理 典型例题六典型例题六 例例 6 如图 已知矩形的四个顶点在平面上的射影分别为 ABCD 1 A 1 B 1 C 1 D 且 互不重合 也无三点共线 1 A 1 B 1 C 1 D 求证 求证 四边形是平行四边形 1111 DCBA 证明 证明 1 AA 1 DD 11 DD AA 不妨设和确定平面 1 AA 1 DD 同理 和确定平面 1 BB 1 CC 又 且 11 BB AA 1 BB 1 AA 同理 AD 又AADAA 1 又 11D A 11C B 用心 爱心 专心 1111 CBDA 同理 1111 DCBA 四边形是平行四边形 1111 DCBA 典型例题七典型例题七 例例 7 设直线 平面 下列条件能得出的是 lm A 且 B 且 l m l m l mml C 且 D 且 l mml l mml 分析 分析 选项 A 是错误的 因为当时 与可能相交 选项 B 是错误的 理由同ml A 选项 C 是正确的 因为 所以 又 选项 D llm m m 也是错误的 满足条件的可能与相交 答案 答案 C 说明 说明 此题极易选 A 原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致 本例这样的选择题是常见题目 要正确得出选择 需要有较好的作图能力和对定理 公理的 准确掌握 深刻理解 同时要考虑到各种情况 典型例题八典型例题八 例例 8 设平面平面 平面平面 且 分别与相交于 a 求证 平面平面 bba 分析 分析 要证明两平面平行 只要设法在平面上找到两条相交直线 或作出相交直线 它们分别与平行 如图 用心 爱心 专心 证明 证明 在平面内作直线直线 在平面内作直线直线 PQ a MN b 平面平面 平面 平面 PQ MN MNPQ 又 pa QaPQ NbMN 平面平面 说明 说明 如果在 内分别作 这样就走了弯路 还需证明 PQ MNPQ 在 内 如果直接在 内作 的垂线 就可推出 MN abMNPQ 由面面垂直的性质推出 线面垂直 进而推出 线线平行 线面平行 最后得到 面面平行 最后得到 面面平行 其核心是要形成应用性质定理的意识 在立体几何证 明中非常重要 典型例题九典型例题九 例例 9 如图所示 平面平面 点 点 是 AC DB aAB 的公垂线 是斜线 若 分别是和的中点 CDbBDAC cCD MNABCD 1 求证 MN 2 求的长 MN 分析 分析 1 要证 取的中点 只要证明所在的平 MNADPMN 面 为此证明 即可 2 要求之长 在中 PMN PM PNMNCMA 的长度易知 关键在于证明 从而由勾股定理可以求解 CMCNCDMN 证明 证明 1 连结 设是的中点 分别连结 ADPADPMPN 是的中点 MABBDPM 又 BD PM 用心 爱心 专心 同理 是的中点 NCDACPN AC PN 平面 PPMPN PMN 平面 MN PMN MN 2 分别连结 MCMD bBDAC aBMAM 2 1 又 是 的公垂线 AB 90DBMCAM ACMRt BDMRt DMCM 是等腰三角形 DMC 又是的中点 NCDCDMN 在中 CMNRt 22222 4 2 1 cabCNCMMN 说明 说明 1 证 线面平行 也可以先证 面面平行 然后利用面面平行的性质 推证 线面平行 这是一种以退为进的解题策略 2 空间线段的长度 一般通过构造三角形 然后利用余弦定理或勾股定理来求解 3 面面平行的性质 面面平行 则线面平行 面面平行 则被第三个平面所截得的 交线平行 典型例题十典型例题十 例例 10 如果平面内的两条相交直线与平面所成的角相等 那么这两个平面的位置 关系是 分析 分析 按直线和平面的三种位置关系分类予以研究 解 解 设 是平面内两条相交直线 ab 1 若 都在平面内 与平面所成的角都为 这时与重合 根据ab ab 0 教材中规定 此种情况不予考虑 2 若 都与平面相交成等角 且所成角在内 ab 90 0 与有公共点 这时与相交 ab 若 都与平面成角 则 与已知矛盾 此种情况不可能 ab 90ba 3 若 都与平面平行 则 与平面所成的角都为 内有两条直线与ab ab 0 平面平行 这时 用心 爱心 专心 综上 平面 的位置关系是相交或平行 典型例题十一典型例题十一 例例 11 试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行 已知 已知 平面 A 求证 求证 过有且只有一个平面 A 分析 分析 有且只有 要准确理解 要先证这样的平面是存在的 再证它是惟一的 缺一 不可 证明 证明 在平面内任作两条相交直线和 则由知 ab AaA bA 点和直线可确定一个平面 点和直线可确定一个平面 AaMAbN 在平面 内过分别作直线 MNAaa bb 故 是两条相交直线 可确定一个平面 a b a aaa a 同理 b 又 a bAba 所以过点有一个平面 A 假设过点还有一个平面 A 则在平面内取一直线 点 直线确定一个平面 由公理 2 知 ccA Ac m n cm cn 又 mA nA 这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾 因此假设不成立 所以平面只有一个 所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 典型例题十二典型例题十二 例例 12 已知点是正三角形所在平面外的一点 且 为SABCSCSBSA SG 上的高 分别是 的中点 试判断与平面内的SAB DEFACBCSCSGDEF 用心 爱心 专心 位置关系 并给予证明 分析分析 1 如图 观察图形 即可判定平面 要证明结论成立 只需证明 SGDEF 与平面内的一条直线平行 SGDEF 观察图形可以看出 连结与相交于 连结 就是适合题意的直CGDEHFHFH 线 怎样证明 只需证明是的中点 FHSG HCG 证法证法 1 连结交于点 CGDEH 是的中位线 DEABC ABDE 在中 是的中点 且 ACG DACAGDH 为的中点 HCG 是的中位线 FHSCG SGFH 又平面 平面 SG DEFFH DEF 平面 SGDEF 分析分析 2 要证明平面 只需证明平面平面 要证明平面 SGDEFSAB DEFDEF 平面 只需证明 而 可由题设直接推出 SABDFSA EFSB DFSA EFSB 证法证法 2 为的中位线 EFSBC SBEF 平面 平面 EFSAB SBSAB 平面 EFSAB 同理 平面 DFSABFDFEF 平面平面 又 平面 SAB DEF SGSAB 平面 SGDEF 典型例题十三典型例题十三 例例 13 如图 线段分别交两个平行平面 于 两点 线段分别交 PQ ABPD 于 两点 线段分别交 于 两点 若 CDQF FE9 PA12 AB 的面积为 72 求的面积 12 BQACF BDE 用心 爱心 专心 分析 分析 求的面积 看起来似乎与本节内容无关 事实上 已知的面积 BDE ACF 若与的对应边有联系的话 可以利用的面积求出的面积 BDE ACF ACF BDE 解 解 平面 平面 AFQAF BEQAF 又 BEAF 同理可证 与相等或互补 即 BDAC FAC EBD EBDFAC sinsin 由 得 BEFA 212412 QAQBAFBE AFBE 2 1 由 得 ACBD 73219 PBPABDACACBD 3 7 又 的面积为 72 即 ACF 72sin 2 1 FACACAF EBDBDBES DBE sin 2 1 FACACAF sin 3 7 2 1 2 1 FACACAF sin 2 1 6 7 8472 6 7 的面积为 84 平方单位 BDE 说明 说明 应用两个平行的性质一是可以证明直线与直线的平行 二是可以解决线面平行的 问题 注意使用性质定理证明线线平行时 一定第三个平面与两个平行平面相交 其交线互 相平行 典型例题十四典型例题十四 例例 14 在棱长为的正方体中 求异面直线和之间的距离 aBDCB1 分析 分析 通过前面的学习 我们解决了如下的问题 若和是两条异面直线 则过且aba 平行于的平面必平行于过且平行于的平面 我们知道 空间两条异面直线 总分别存bba 在于两个平行平面内 因此 求两条异面直线的距离 有时可以通过求这两个平行平面之间 的距离来解决 具体解法可按如下几步来求 分别经过和找到两个互相平等的平面 作出BDCB1 用心 爱心 专心 两个平行平面的公垂线 计算公垂线夹在两个平等平面间的长度 解 解 如图 根据正方体的性质 易证 111 11 11 DCBBDA CDBA DBBD 平面平面 连结 分别交平面和平面于和 1 ACBDA1 11D CBMN 因为和分别是平面的垂线和斜线 在平面内 1 CC 1 ACABCDACABCDBDAC 由三垂线定理 同理 BDAC 1 DAAC 11 平面 同理可证 平面 1 ACBDA1 1 AC 11D CB 平面和平面间的距离为线段长度 BDA1 11D CBMN 如图所示 在对角面中 为的中点 为的中点 1 AC 1 O 11C AOAC aACNCMNAM 3 3 3 1 11 和的距离等于两平行平面和的距离为 BDCB1BDA1 11D CBa 3 3 说明 说明 关于异面直线之间的距离的计算 有两种基本的转移方法 转化为线面距 设 是两条异面直线 作出经过而和平行的平面 通过计算和的距离 得出abba a 和距离 这样又回到点面距离的计算 转化为面面距 设 是两条异面直线 作abab 出经过而和平行的平面 再作出经过和平行的平面 通过计算 之间的ba ab 距离得出和之间的距离 ab 用心 爱心 专心 典型例题十五典型例题十五 例例 15 正方体棱长为 求异面直线与的距离 1111 DCBAABCD aAC 1 BC 解法解法 1 直接法 如图 取的中点 连结 分别交 于 两点 BCPPD 1 PBAC 1 BCMN 易证 MNDB 1 ACDB 111 BCDB 为异面直线与的公垂线段 易证 MNAC 1 BCaDBMN 3 3 3 1 1 小结 小结 此法也称定义法 这种解法是作出异面直线的公垂线段来解 但通常寻找公垂线 段时 难度较大 解法解法 2 转化法 如图 平面 ACBCA 11 与的距离等于与平面的距离 AC 1 BCACBCA 11 在中 作斜边上的高 则长为所求距离 1 OBORt OEOE aOB 2 2 aOO 1 aBO 2 3 1 a BO OBOO OE 3 3 1 1 小结 小结 这种解法是将线线距离转化为线面距离 用心 爱心 专心 解法解法 3 转化法 如图 平面平面 1 ACD BCA 11 与的距离等于平面与平面的距离 AC 1 BC 1 ACDBCA 11 平面 且被平面和平面三等分 1 DB 1 ACD 1 ACDBCA 11 所求距离为 aDB 3 3 3 1 1 小结 小结 这种解法是线线距离转化为面面距离 解法解法 4 构造函数法 如图 任取点 作于点 作于点 设 1 BCQ BCQR RACPK KxRC 则 且xaQRBR KRCK 222 CRCKKR 222 2 1 2 1 xCRKR 则 222 2 1 xaxQK 222 3 1 3 1 3 2 2 3 aaax 故的最小值 即与的距离等于 QKAC 1 BCa 3 3 小结 小结 这种解法是恰当的选择未知量 构造一个目标函数 通过求这个函数的最小值来 得到二异面直线之间的距离 解法解法 5 体积桥法 如图 用心 爱心 专心 当求与的距离转化为求与平面的距离后 设点到平面的AC 1 BCACBCA 11 CBCA 11 距离为 h 则 1111 BCCABCAC VV 22 2 1 3 1 2 4 3 3 1 aaah 即与的距离等于 ah 3 3 AC 1 BCa 3 3 小结 小结 本解法是将线线距离转化为线面距离 再将线面距离转化为锥体化为锥体的高 然后用体积公式求之 这种方法在后面将要学到 说明 说明 求异面直线距离的方法有 1 直接法 当公垂线段能直接作出时 直接求 此时 作出并证明异面直线的公垂线 段 是求异面直线距离的关键 2 转化法 把线线距离转化为线面距离 如求异面直线 距离 先作出过且平aba 行于的平面 则与距离就是 距离 线面转化法 b b ab 也可以转化为过平行的平面和过平行于的平面 两平行平面的距离就是两条异abba 面直线距离 面面转化法 3 体积桥法 利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求 4 构造函数法 常常利用距离最短原理构造二次函数 利用求二次函数最值来解 两条异面直线间距离问题 教科书要求不高 要求会计算已给出公垂线时的距离 这 方面的问题的其他解法 要适度接触 以开阔思路 供学有余力的同学探求 典型例题十六典型例题十六 例例 16 如果 和是夹在平面与之间的两条线段 且 ABAC ACAB 直线与平面所成的角为 求线段长的取值范围 2 ABAB 30AC 解法解法 1 如图所示 用心 爱心 专心 作于 连结 ADDBDCDBC BDAB DCAC 222 BCACAB 在中 由余弦定理 得 BDC 0 22 cos 222222 CDBD BCACAB CDBD BCCDBD BDC 是与所在的角 ADABD AB 又 也就等于与所成的角 即 ABD AB 30ABD 2 AB 1 AD3 BD1 2 ACDC 2 4ACBC 即 0 132 413 1 2 22 AC ACAC 3 1 1 0 2 AC 即长的取值范围为 3 32 ACAC 3 32 解法解法 2 如图 ACAB 必在过点且与直线垂直的平面内ACAAB 设 则在内 当时 的长最短 且此时l lAC ACABCABAC tan 3 32 30tan AB 而在内 点在 上移动 远离垂足时 的长将变大 ClAC 从而 3 32 AC 即长的取值范围是 AC 3 32 说明 说明 1 本题考查直线和直线 直线和平面 平面和平面的位置关系 对于运算能力和 用心 爱心 专心 空间想象能力有较高的要求 供学有余力的同学学习 2 解法 1 利用余弦定理 采用放缩的方法构造出关于长的不等式 再通过解不等式AC 得到长的范围 此方法以运算为主 AC 3 解法 2 从几何性质角度加以解释说明 避免了繁杂的运算推导 但对空间想象能力要 求很高 根据此解法可知线段是连结异面直线和 上两点间的线段 所以是ACABlAC 与 的公垂线段时 其长最短 ABl 典型例题十七典型例题十七 例例 17 如果两个平面分别平行于第三个平面 那么这两个平面互相平行 已知 已知 求证 分析 分析 本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力 由于两个平面没有公共 点称两平面平行 带有否定性结论的命题常用反证法来证明 因此本题可用反证法证明 另