熟练运用旋转解决平面几何中的问题

一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 熟练运用旋转解决平面几何中的问题熟练运用旋转解决平面几何中的问题 平面几何的证题方法多种多样 利用旋转来解决平面几何问题 有时能收到事半功倍 的效果 例 图 1 中以 ABC 的边 AB AC 为一边向外作正方形 ABDE 及正方形 ACFG 连结 BG CE 求证 1 BG CE 2 BG CE 分析 一般的证法是证明 ABG 与 AEC 全等 然后应用 全等三角形的性质 而如果采用旋转 则可以如下证明 由已 知可知 点 E 绕点 A 逆时针旋转 90 为点 B 点 C 绕点 A 逆时针旋转 90 为点 G 从而知 线段 EC 绕点 A 逆时针旋转 90 为线段 BG 故有 BG CE BG CE 本文将从最常见的两种 旋转出发 谈谈旋转在平面几何中的应用 一 按旋转的角度进行区分一 按旋转的角度进行区分 1 1 90 90 角旋转角旋转 例 1 如图 2 E F 分别是边长为 1 的正方形 ABCD 的 BC CD 上的点 且 CEF 的周长 是 2 求 EAF 的大小 解 将 ABE 绕点 A 作逆时针旋转 90 则 AB 边与 AD 边重合 设旋转后 E E 由 条件 CEF 的周长为 2 即 CE EF CF 2 又 BE CE CF DF 2 且显然有 BE DE 故 CE CF FE 2 从而必有 EF FE 又 AE AE AF AF 故 AEF AE F EAF E AF 又从作图知 EAE 90 故 EAF 45 例 2 北京东城 2010 年上学期期末 如图 P为正方形ABCD内一点 若 PA a PB 2a PC 3a a 0 求 1 APB的度数 2 正方形ABCD的面 积 分析 三条已知的线段PA PB PC具有一个共公顶点 且它们不能构 成三角形 但是当把 ABP按顺时针方向旋转 90 后 即会出现等腰直角三角形 于是PA 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形 解 1 将 ABP绕点B顺时针方向旋转 90 得 CBQ 则 ABP CBQ且PB QB 于是PB QB 2a PQ 2a 22 PBQB 2 在 PQC中 PC2 9a2 PQ2 QC2 9a2 PC2 PQ2 QC2 PQC 90 PBQ是等腰直角三角形 BPQ BQP 45 故 APB CQB 90 45 135 2 APQ APB BPQ 135 45 180 三点A P Q在同一直线上 在Rt AQC中 AC2 AQ2 QC2 a 2a 2 a2 10 4 a2 22 故S正方形ABCD AC2 5 2 a2 1 2 2 思考 例 2 中 如果把 CBP绕点B逆时针方向旋转 90 得 ABM 怎样解以上问题 答 1 PBM是等腰直角三角形 且由勾股定理的逆定理得 APM 90 2 过点B作 BN AP 垂足为N 则PN BN 于是在 ABN中可求出边长AB的平方 即得正方形的2a 面积 2 2 60 60 角旋转角旋转 例 1 如图 3 分别以 ABC 的边 AB AC 为一边向外作等边三 角形 ABD 及等边三角形 ACE 连结 BE CD 设 M N 分别是 BE CD 的中点 求证 AMN 是等边三角形 证明 由条件可知 ADC 绕点 A 逆时针旋转 60 为 ABE 即线段 CD 绕点 A 逆时针旋转 60 得 BE 中点 M 故 AN AM NAM 二 60 即 AMN 是等边 三角形 例 2 如图 4 P 是等边三角形 ABC 内一点 且 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的大小 解 将 APC 绕点 A 顺时针旋转 60 由 ABC 为等边三角形知 此时所得新三角形 边与 AB 重合 设 P 旋转后为 P 则 APP 的边长为 3 的等边三角形 P B PC 5 又 PB 4 故 pp 2 PB2 P B2 从而 P PB 是以 P PB 为直角的直角三角形 从而 APB APP P PB 60 90 150 例 3 如图 在凸四边形ABCD中 ABC 30 ADC 60 AD DC 证明 BD2 AB2 BC2 分析 所证结论即是三条线段BD AB BC能构成一个直角三角形 因 此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中 证 连接AC AD DC ADC 60 ADC是等边三角形 故将 DCB绕点C顺时针方向旋转 60 时可得 ACE 连接BE 于是 DCB ACE且CB CE BCE 60 BCE是等边三角形 BC BE CBE 60 ABC 30 ABE 90 故AB2 BC2 AB2 BE2 AE2 BD2 练习 已知 如图 M 是等边 ABC 内的一个点 且 MA 2cm MB cm MC 4cm 求 ABC 的边 AB 的长度 2 3 3 3 旋转到特殊位置旋转到特殊位置 例 1 如图 在 ABC中 ACB 90 A 25 以点C为旋转中心 将 ABC旋转 角到 A1B1C的位置 使B点恰好落在A1B1上 求旋转角 的度数 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 分析 将 ABC旋转到点B落在A1B1上的特殊位置时 即确定了旋转角 的大小 于 是 A1BB1是平角 它是解题的切入点 通过平角可列方程求出角 解 ABC A1B1C 旋转前后的图形全等 A A1且CB CB1 ADC A1DB A1BD 在 ABC中 ABC 90 25 65 BCB1 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 CBB1 180 1 2 点A1 B B1在同一直线上 65 180 180 1 2 解之得 50 思考 例 1 中 若 A 那么 与 有何数量关系 答 2 二 按计算要求进行区分二 按计算要求进行区分 1 1 求角度 求角度 例 1 青岛 如图 1 P 是正三角形 ABC 内的一点 且 PA 6 PB 8 PC 10 求 APB 的度数 分析 由题中已知条件中的 6 8 10 这组勾股数联想到直角 三角形 于是设法将 PA PB PC 集中到一个三角形中 可以将 APC 绕着 A 点逆时针旋转 60 得到 AFB 图 1 图 2 从而可得 APB APF BPF 然后设法求出 APF BPF 的度数即可 解 将 APC 绕点 A 逆时针旋转 60 后 得 AFB 连接 FP 如图 2 则 FB PC 10 FA PA 6 FAP 60 FAP 是正三角形 FP PA 6 在 PBF 中 PB2 PF2 82 62 102 BF2 BPF 90 APB APF FPB 60 90 150 例 2 如图所示 ABC 中 ACB 120 将该图形绕点 C 按顺时针旋转 30 后 得到 A B C 则 AB C 的度数是 AA F PP BB CC B A C B A 图 3 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 分析 根据旋转的性质可以知道 BCB 是旋转角 它的度数应该是 30 AB C 可 以看成是 ACB 和 BCB 的和 所以 AB C 120 30 150 答 AB C 的度数是 150 2 2 求线段间的关系或长度 求线段间的关系或长度 例 1 旅顺 操作 如图 3 ABC 是正三角形 BDC 是顶角 BDC 120 的等腰三角形 以 D 为顶点作一个 60 角 角的两边分别 交 AB AC 边于 M N 两点 连 MN 探究 线段 BM MN NC 之间的关系 并加以证明 分析 本题要探究的三条线段不在同一个三角形之中 必须设法 将它们集中到一个三角形中 易知 DBA DCA 90 BD CD 于是将 DBM 绕 D 点顺时针 旋转120 到 DCP 的位置 则BM CP DM DP 再证MN NC CP 即可得证 解 ABC 为正三角形 ABC ACB 60 又 BDC 120 DB DC DBC DCB 30 DBM DCN 90 于是将 DBM 绕 D 点顺时针 旋转120 到 DCP 位置 则BM CP DM DP MDP 120 又 MDN 60 PDN 60 PDN MDN DN DN MDN PDN MN NP NC CP BM NC MN 答 AB C 的度数是 150 例 2 如图 4 所示 边长为 3 的正方形 ABCD 绕点 C 按顺时针方向旋转 30 后得到正方 形 EFGH EF 交 AD 于点 H 那么 DH 的长是 A D M N P B C 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 分析 由旋转的性质可以知道 BFC DCG 30 所以 FCD 60 可以连结线段 HC 如图 4 所示 由已知可知 F D 90 FC DC HC 是 Rt FHC 和 Rt DHC 公共的斜 边 根据 HL 公理可以判断 Rt FHC Rt DHC 所以 FHC DHC 30 所以 HC 2DH 根 据勾股定理可得 即 因为 DC 3 所以 DH 222 DHDCHC 2 22 DHDCDC 3 答 DH 的长是 3 3 3 求求面面积积 图 3 例 1 如图4 ABC 是等腰直角三角形 D 为 AB 的中点 AB 2 扇形ADG 和 BDH 分别是 以 AD BD 为半径的圆的 求阴影部分面积 4 1 分析 从表面上看图形异常繁杂 若想 直接求阴影部分面积则不可能 若将扇形BDH 和 BDC 绕 D 点顺时针旋转180 问题就迎刃而解了 解 将扇形 BDH 和 BDC 绕 D 点顺时针 图 4 图 5 旋转 180 变成图 5 S阴 S半圆 S AEF 12 12 1 2 1 2 1 2 1 例 2 如图所示 AOB 中 OA 3cm OB 1cm 将 AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转 90 A A B H C C C D D E E F F G GH B A O B A 图 1 D B A O D B A 图 2 H G D CB A F E 图 4 H G D C B A F E 图 5 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 到 A OB 那么 AB 扫过的区域的面积是 分析 AB 扫过的区域是一个不规则的图形 要想计算它的面积 可以将它分割为 和 两部分 如图 2 所示 根据旋转可以知道区域 和区域 的面积是相等的 所以可以将 转化为 而区域 的面积 扇形 OAA 的面积 扇形 ODD 的面积 又因 为 OD OD 1 OA 3 所以区域 的面积 2 1 4 OA 2 1 4 OD 2 2 cm 答 AB 扫过的区域的面积是 2 2 cm 4 4 进进行行图图形形分分割割 例 4 厦门 如图6 在四边形ABCD 中 A 90 ABC 与 ADC 互补 1 求 C 的度数 2 若 BC CD 且 AB AD 请在图上画一条线段 把四边 ABCD 分成两部分 使得这两部分能够重新拼成一个正方形 并说明理由 析解 本题设计新颖 巧妙把直 观感知 操作确认和逻辑推理结合起来 第 1 问可根据四边形内角和直接求解 第 2 问则 ABC ADC 180 以及要 把四边形分成两部分 使得这两部分能够 图 6 图 7 拼成一个正方形 则新图必须有四个直角 由 C 90 又 AB AD 因此猜想过点 A 作 AE BC 于 E 又得一个直角 把 ABE 绕点A 逆时针旋转90 这时 AB 与 AD 重合 则被 分成两部分拼成一个正方形 5 5 构造平行四边形 构造平行四边形 例 5 天津 如图 8 已知四边形纸片 ABCD 现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等 的平行四边形纸片 如果限定裁剪线最多有两条 能否做到 用 能 或 不能 填空 若填 能 请确定裁剪线的位置 并说明拼接方法 若填 不能 请简要说明理 由 分析 本题旨在通过操作与几何说 理 拓展学生思考与探索空间 主要考 四边形的分割和平行四边形的判定知识 其中包含着深刻的图形变换思想 需要 丰富观察能力 抽象思维能力 动手操作能力和解决实际问 图 8 图 9 图 10 A A B B C C DD E F 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 题能力 本题通过连接四边形对边中点 构造线段相等并利用四边形内角和为 360 借 助旋转 平移变换 可达到剪拼的目的 解 能 如图 9 图 10 取四边形 ABCD 各边的中点 E G F H 连接 EF GH 则 EF GH 为裁剪线 EF GH 将四边形分成 1 2 3 4 四个部分 拼接时 图中的 1 不动 将 2 4 分别绕点 H F 各旋转 180 3 平移 拼成的四边形满足条件 三 按旋转类型进行区分三 按旋转类型进行区分 1 1 正三角形类型 正三角形类型 在正 ABC 中 P 为 ABC 内一点 将 ABP 绕 A 点按逆时针方向旋转 600 使得 AB 与 AC 重合 经过这样旋转变化 将图 1 1 a 中的 PA PB PC 三条线段集中于 图 1 1 b 中的一个 CP 中 此时 AP 也为正三角形 P P A B C P A B C P P 图 1 1 a 图 1 1 b 例 1 如图 1 1 设 P 是等边 ABC 内的一点 PA 3 PB 4 PC 5 则APB 的度数是 A BC P 3 4 5 A B C P P 3 4 5 3 3 图 1 1 图 1 2 简解 简解 在 ABC 的外侧 作BA CAP 且 A AP 3 连结B P P P 则 BA CAP 易证 AP为正三角形 PB为 Rt P P P APB AP PB 1500 P P 60 90 2 2 正方形类型 正方形类型 在正方形 ABCD 中 P 为正方形 ABCD 内一点 将 ABP 绕 B 点按顺时针方向旋转 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 900 使得 BA 与 BC 重合 经过旋转变化 将图 2 1 a 中的 PA PB PC 三条线段集 中于图 2 1 b 中的 CP中 此时 BP为等腰直角三角形 P P D C B A P D C B A P P 图 2 1 a 图 2 1 b 例 2 如图 2 1 P 是正方形 ABCD 内一点 点 P 到正方形的三个顶点 A B C 的距离 分别为 PA 1 PB 2 PC 3 求此正方形 ABCD 面积 A B CD P AB C D E F P 图 2 1 图 2 2 简解简解 作 AED 使DAE BAP AE AP 连结 EP 则 ADE ABP SAS 同样方法 作 DFC 且有 DFC BPC 易证 EAP 为等腰直角三角形 又 AP 1 PE 同理 PF 322 EDA PBA FDC PBC 又 PBA PBC 900 EDF EDA FDC ADC 900 900 1800 点 E D F 在一条直线上 EF ED DF 2 2 4 在 EPF 中 EF 4 EP FP 322 由勾股定理的逆定理 可知 EPF 为 Rt S正方形 ABCD SRt EPF SRt EPA SRt PFC 3 8 1 2 9 2 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 例 3 如图 3 1 正方形 ABCD 中 边长 AB 点 E F 分别在 BC CD 上 且3 BAE 300 DAF 150 求 AEF 的面积 第十一届希望杯邀请赛试题 A B C D E F F 图 3 1 简解简解 延长 CB 至使得 B DF 连结 A 则 Rt AB Rt ADF SAS F F F F AE 300 150 450 FAE 900 300 150 450易证 AE FAE SAS F F EA FEA 600 FEC 600 在 Rt ABE 中 AB BAE 300 F 3 BE 1 CE 1 FE 2CE 2 1 E EF 2 1 33 F 3 所以 S AEF S AF E AB E 2 1 3 1 2 F 1 2 333 3 3 等腰直角三角形类型 等腰直角三角形类型 在等腰直角三角形 ABC 中 C Rt P 为 ABC 内一点 将 APC 绕 C 点按逆时 针方向旋转 900 使得 AC 与 BC 重合 经过这样旋转变化 在图 3 1 b 中的一个 CP 为等腰直角三角形 P AB C P AB C P P 图 3 1 a 图 3 1 b 例 4 如图 4 1 在 ABC 中 ACB 900 BC AC P 为 ABC 内一点 且 PA 3 PB 1 PC 2 求BPC 的度数 1 2 3 A B C P C AB P P 1 2 3 2 3 图 4 1 图 4 2 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 简解 简解 在 Rt ABC 的外侧 作BC ACP 且 C CP 2 连结P P P P 则 BC ACP 易证 Rt CP为等腰直角三角形 在 PB中 P P P B 3 BP 1 P 2 由勾股定理的逆定理可知 PB 为 Rt 为 P P 2 P Rt PB 900 P BPC CP PB 450 1350 P P 90 例 5 如图 5 1 在 ABC 中 BAC 900 AB AC ABC 内一点 O AO 2cm 如果把 ABO 绕 A 点按逆时针方向转动 900 使 AB 与 AC 重合 则 O 点经过的路径长为 A B C O O 图 5 1 例 6 如图 6 1 五边形 ABCDE 中 ABC AED 900 AB CD AE BC DE 1 则这个 五边形 ABCDE 的面积等于 2003 年宁波市至诚杯竞赛题 A B C D E A B C D E C 图 6 1 图 6 2 简解简解 延长 DE 至使得 E BC 连结 A 则 AE ABC SAS C C C C AB CD AE BC DE 1 CD D C CAD AD SSS C SABCDE 2 S C DA 2 11 1 1 2 4 4 三角形与圆混合类型三角形与圆混合类型 将 CAD 绕 A 点按顺时针方向旋转 600到 BA 经过旋转变化 将图 3 1 D 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 a 中的 DC 与 BD 组合在一条直线上 见图 3 1 b 此时BD 是个平角 AD D 为正三角形 D A B C D o A B C D o D 图 3 1 a 图 3 1 b 例 7 如图 7 1 正三角形 ABC 内接于 O P 是劣弧上任意一点 PA 2 则四边形 A BC ABPC 的面积为 A B C P o A B C P o P 图 7 1 图 7 2 简解简解 延长 PB 至使得B PC 连结 A 则 AB APC SAS P P P P A AP AB PAC 又 BAC 600 P P AP 为正三角形 P S 四边形 ABPC S AP P 3 四 与旋转有关的探索型题目四 与旋转有关的探索型题目 1 1 条件探索型 条件探索型 条件探索型的特征是给出了结论 要求探索使该结论成立所具备的条件 解题时 一般 需要从结论出发 逆向思维解 即执果索因 例例 1 1 遂宁 遂宁 如图 1 把正方形 ACFG 与 Rt ACB 按如图 甲 所示重叠在一起 其中 AC 2 BAC 600 若把 Rt ACB 绕直角顶点 C 按顺时针方向旋转 使斜边 AB 恰好经过正方形 ACFG 的顶点 F 得 A B C A B 分别与 A C A B 相交于 D E 如图 乙 所示 ACB 至少旋转多少度才能得到 A B C 说明理由 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 求 ACB 与 A B C 的重叠部分 即四边形 CDEF 的面积 若取近似值 则精确到 0 1 解 解 ACGF 是正方形 A B 经过点 F A C CF 又 A 60 A CF 是等边三角形 又 A CF 60 ACA 90 一 60 30 ABC 至少旋转 30 才能得到 A CB 2 ACA 30 BAC 60 A DE 90 又 AC 2 可求得 CD A D 2 一 33 在 Rt A DE 中 DE A Dtan60 2 一 2一 3 333 A DE 的面积为 A D DE 2 一 2一 3 1 2 1 2 33 7 36 2 又 A B 4 A F 2 F 是 A B 的中点 A CF 的面积 ABC 的面积 而 B C A C tan60 2 1 2 3 S ABC 2 2 2 S A CF 1 2 333 四边形 DCFE 的面积为 一 一 6 6 一3 7 36 2 3 7 3 2 5 2 3 若取近似值 则结果应约为 1 7 2 探索结论型探索结论型 结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确 需要探索发现与之相应的结论的题 目 解结论探索型题的方法是由因导果 例例 2 2 衡阳市 衡阳市 已知 如图 2 平行四边形 ABCD 中 AB CD AB 1 BC 对角线5 AC BD 交于 O 点 将直线 AC 绕点 O 顺时针旋转 分别交 BC AD 于点 E F 证明 当旋转角为时 四边形是平行四边形 0 90 G B F C A 甲甲 E D G B F C A 乙乙 图 1 B A 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 试说明在旋转过程中 线段 AF 与 EC 总保持相等 在旋转过程中 四边形 BEDF 可能是菱形吗 如果不能 请说明理由 如果能 说明理由 并求出此时 AC 绕点 O 顺时针旋转的度数 解解 证明 当 AOF 时 AB EF 又 AF BE 0 90 四边形 ABEF 为平行四边形 AO CO FAO ECO AOF COE AOF COE AF EC 四边形 BEDF 可是是菱形 理由理由 如图 2 连接 BF DE 由 2 知 AOF COE 得 OE OF EF 与 BD 互相平分 当 EF BD 时 四边形 BEDF 为菱形 在 Rt ABC 中 AC OA 1 AB 又 AB AC AOB AOF 215 0 45 0 45 AC 绕点 O 顺时针旋转时 四边形 BEDF 为菱形 0 45 3 3 存在性探索型存在性探索型 存在型探索题是指在一定的前提下 需探索发现某种数学关系是否存在的题目 解存在性探 索题先假设要探索的问题存在 继而进行推导与计算 若得出矛盾或错误的结论 则不存 在 反之即为所求的结论 例 1 河北 如图 1 1 一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条 边分别重合在一起 现正方形ABCD保持不动 将三角尺GEF绕斜边EF的中点O 点O也 是BD中点 按顺时针方向旋转 1 如图 1 2 当EF与AB相交于点M GF与BD相交于点N时 通过观察或测 量BM FN的长度 猜想BM FN满足的数量关系 并证明你的猜想 2 若三角尺GEF旋转到如图 1 3 所示的位置时 线段FE的延长线与AB的延 长线相交于点M 线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N 此时 1 中的猜想还 成立吗 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 O F E D C B A 图 2 图 1 2 E AB D G F O M N C 图 1 1 A G B E C O D F 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 分析 本题主要考查旋转图形的性质 解答时应着眼于图形的旋转不变性来探索线段 之间的变化规律 对于 1 问 经测量后可知BM FN 然后利用三角形全等证明即可 对 于 2 问 要明确 在继续旋转的过程中 虽然 OBM和 OFN都发生了变化 但二者之 间全等的关系没变 故结论成立 解 1 BM FN 证明 GEF是等腰直角三角形 四边形ABCD是正方形 ABD F 45 OB OF 又 BOM FON OBM OFN BM FN 2 BM FN仍然成立 证明 GEF是等腰直角三角形 四边形ABCD是正方形 DBA GFE 45 OB OF MBO NFO 135 又 MOB NOF OBM OFN BM FN 评注 本题利用图形旋转的不变性 探索图形在旋转过程中的有关规律 让同学们体 验图形旋转变换的性质 同时也考查了同学们空间想象 规律探索 推理能力以及分析问 题 解决问题的能力 是一道不可多得的优秀题目 例 2 黑龙江鸡西 已知 AOB 900 在 AOB 的平分线 OM 上有一点 C 将一个三角 板的直角顶点与 C 重合 它的两条直角边分别与 OA OB 或它们的反向延长线 相交于点 D E 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 垂直时 如图 1 易证 OD OE OC 2 当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时 在图 2 图 3 这两种情况下 上述结 论是否还成立 若成立 请给予证明 若不成立 线段 OD OE OC 之间又有怎样的数量关 系 请写出你的猜想 不需证明 图 1 3 A B D G E F O M N C 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 图 2 1 图 2 2 图 2 3 分析 由于在旋转的过程中 虽然点 O 的位置发生了变化 但 AOC 和 COE 的大小不 变 都是 45 因此可过 C 分别作 OA OB 的垂线 从而转化为等腰直角三角形 图 1 来 处理 对于图 3 可仿图 2 处理 解 图 2 结论 OD OE OC 2 证明 过 C 分别作 OA OB 的垂线 垂足分别为 P Q CPD CQE DP EQ OP OD DP DQ OE EQ 又 OP 0Q 0C 即 OD DP OE EQ 0C 22 OD OE 0C 2 图 3 结论 OE OD OC 2 评注 从以上两例可以看出 解决这类问题的关键是要把握以下两点 1 在解题时 认真观察图形 不放过一个细节 看清旋转的角度和方向 找准旋转前 后的相关的角与边 在旋转的过程中 弄清变与不变的量 2 再解决这类问题时 我们通常将其转换成全等形求解 根据旋转变换的特征 找到 对应的全等形 通过线段 角的转换达到求解的目的 练习部分练习部分 一 选择题 1 2009 年泸州 如图 1 P 是正 ABC 内的一点 若将 PBC 绕点 B 旋转到 P BA 则 PBP 的度数是 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 A 45 B 60 C 90 D 120 2 2009 年陕西省 如图 AOB 90 B 30 A OB 可以看作是由 AOB 绕点 O 顺时针旋转 角度得到的 若点 A 在 AB 上 则旋转角 的大小可以是 A 30 B 45 C 60 D 90 3 2009 年桂林市 百色市 如图所示 在方格纸上建立的平面直角坐标系中 将 ABO 绕点O按顺时针方向旋转 90 得A B O 则点 A 的坐标为 A 3 1 B 3 2 C 2 3 D 1 3 4 2009 年甘肃白银 下列图形中 既是轴对称图形 又是中心对称图形的是 A 等腰梯形B 平行四边形C 正三角形D 矩形 5 2009 年台州市 单词 NAME 的四个字母中 是中心对称图形的是 A N B A M D E 6 2009 年广西钦州 某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛 从学 生中征集到的设计方案有等腰三角形 正三角形 等腰梯形 菱形等四种方案 你认为符 合条件的是 A 等腰三角形B 正三角形C 等腰梯形D 菱形 7 如图 在 Rt ABC 中 D E是斜边BC上两点 ABAC 且 DAE 45 将 绕点顺时针旋转 90 后 得到 连ADCA AFB 接 下列结论 EF AEDAEFABEACDBEDCDE 222 BEDCDE 其中正确的是 A B C D 8 2009 年四川省内江市 已知如图 1 所示的四张牌 若将其中一张牌旋转 180O后得到图 x y 1 2 4 3 0 1 2 3123 A B BCDE F A 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 2 则旋转的牌是 图 1 图 2 A B C D 9 2009 成都 在平面直角坐标系 xOy 中 已知点 A 2 3 若将 OA 绕原点 O 逆时针旋转 180 得到 0A 则点 A 在平面直角坐标系中的位置是在 A 第一象限 B 第二象限 c 第三象限 D 第四象限 10 2009 年崇左 已知点的坐标为 为坐标原点 连结 将线段绕A ab OOAOA 点按逆时针方向旋转 90 得 则点的坐标为 O 1 OA 1 A A B C D ab ab ba ba 二 填空题 1 2009 肇庆 在平面直角坐标系中 点关于原点对称点的坐标是 23 P P 2 2009 年衡阳市 点 A 的坐标为 0 把点 A 绕着坐标2 原点顺时针旋转 135 到点 B 那么点 B 的坐标是 3 2009 年枣庄市 如图 直线 4 4 3 yx 与x轴 y轴分别交于A B两点 把AOB 绕点A顺时针旋转 90 后得到AO B 则点 B 的坐标是 4 2009 年抚顺市 如图所示 在平面直角坐标系中 三个顶OAB 点的坐标是 将绕原点按逆时针 0 0 3 45 2OAB OAB O 方向旋转后得到 则点的坐标是 90 11 OAB 1 A 三 解答题 1 如图 P 是正方形内一点 将 ABP 绕点 B 顺时针方向旋转能与 CBP 重合 若 BP 3 求 PP A B Ox y O B O b B b A b y b A1 B1 x 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 2 正方形 ABCD 内一点 P 使得 PA PB PC 1 2 3 证明 APB 135 3 如图 P 是等边 ABC 内一点 PA 3 PB 4 PC 5 则 APB 4 2009 年河南 如图 在 Rt ABC中 ACB 90 B 60 BC 2 点0是AC的中点 过点0的直线l从与AC重合的位置开始 绕点0作逆时针旋转 交AB边于点D 过点C作CE AB交直线l 于点E 设直线l的旋转角为 1 当 度时 四边形EDBC是等腰梯形 此时AD的 长为 当 度时 四边形EDBC是直角梯形 此时AD的 长为 2 当 90 时 判断四边形EDBC是否为菱形 并说明理由 5 如图 ABC 中 ACB 90 AC BC 1 将 ABC 绕点 C 逆 时针旋转角 0 90 得到 A1B1C1 连结 BB1 设 CB1交 AB 于 D AlB1分 别交 AB AC 于 E F A B C P 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 1 在图中不再添加其它任何线段的情况下 请你找出一对全等的三角形 并加以证明 ABC 与 A1B1C1全等除外 2 当 BB1D 是等腰三角形时 求 3 当 60 时 求 BD 的长 6 13 分 已知RtABC 中 90ACBCCD 为AB边的中点 90EDF EDF 绕D点旋转 它的两边分别交AC CB 或它们的延长线 于E F 当EDF 绕D点旋转到DEAC 于E时 如图 1 易证 1 2 DEFCEFABC SSS 当EDF 绕D点旋转到DEAC和不垂直时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否 成立 若成立 请给予证明 若不成立 DEF S CEF S ABC S 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 7 已知正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A 点 G E 分别在线段 AD AB 上 1 如图 1 连接 DF BF 若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 判断命题 在旋转 的过程中线段 DF 与 BF 的长始终相等 是否正确 若正确请说明理由 若不正确请举反例说 明 A E C F B D 图 1 图 3 A D F E C B A D B C E 图 2 F 图 1 G F E D C BA D 图 2 G F E C BA 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 2 若将正方形 AEFG 绕点 A 按顺时针方向旋转 连接 DG 在旋转的过程中 你能否找到一 条线段的长与线段 DG 的长始终相等 并以图 2 为例说明理由 8 将两块含 30 角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放 1 将图 1 中 DEC 绕点 C 顺时针旋转任意角度 则 ACB1 BCA1 2 将图 1 中 绕点 C 顺时针旋转 45 得图 2 点 11 A B C 与 AB 的交点 11 PA C是 求出图中 ACP1的各个内角的度数 求证 11 2 CPAP 2 3 将图 2 中 绕点 C 顺时针旋转 30 到 如图 3 点 11 A B C 22 A B C 与 AB 的交点 22 PA C是 求出图中 CP1 P2的各个内角的度数 线段之间存在一个确定 112 CPPP与 的等量关系 请你写出这个关系式并说明 理由 4 将图 3 中线段绕点 C 顺时针 1 CP 旋转 60 到 如图 4 连结 3 CP 32 P P 求证 AB 32 P P 9 把两个全等的直角三角板 ABC 和 EFG 叠放在一起 使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合 其中 B F 30 斜 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 边 AB 和 EF 长均为 4 1 当 EG AC 于点 K GF BC 于点 H 时 如图 求 GH GK 的值 2 现将三角板 EFG 由图 所示的位置绕 O 点沿逆时针方向旋转 旋转角 满足条件 0 30 如图 EG 交 AC 于点 K GF 交 BC 于点 H GH GK 的值是否改变 证明你发现的结论 3 在 下 连接 HK 在上述旋转过程中 设 GH GKH 的面积x 为 求与之间的函数关系式 并写出自变量的取值范围 yyxx 10 海口实验区 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 备用图 图 图 G O B A C H K F G O B A C E H K F G O B A C E C B A E D 图 1 N M A B C D E M N图 2 一切为了学生的发展 一切为了家长的心愿 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出 这个等量关系 并加以证明 11 已知 将一副三角板 Rt ABC和Rt DEF 如图 摆放 点E A D B在一条直线上 且D是AB的中点 将Rt DEF绕点D顺时针方向旋转角 0 90 在旋转 过程中 直线DE AC相交于点M 直线DF BC相交于点N 分别过点M N作直线AB 的垂线 垂足为G H 1 当 30 时 如图 求证 AG DH 2 当 60 时 如图