高中数学 同步测控课时训练12 新人教A版选修2-1

1 课时训练课时训练 1212 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质 1 1 顶点在原点 对称轴是 y 轴 并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是 A x2 3yB y2 6x C x2 12yD x2 6y 答案 C 解析 依题意知抛物线方程为 x2 2py p 0 的形式 又 3 p 6 2p 12 故方程为 x2 12y p 2 2 2 经过抛物线 y2 2px p 0 的焦点作一直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 则的值是 12 12 y y x x A 4B 4C p2D p2 答案 B 解析 采用特例法 当直线与 x 轴垂直时 易得 A B 4 p p 2 p p 2 12 12 y y x x 3 3 设抛物线 C y2 4x 的焦点为 F 过 F 点作直线交抛物线 C 于 A B 两点 则 AOB 的最小面积是 A B 2C 4D 12 答案 B 解析 设直线 AB 的倾斜角为 由弦长公式得 AB 又 原点O到直线AB的距离d sin 2 4 sin S AOB sin 1 2 2 42 sinsin 当sin 1 时 S AOB min 2 故选B 4 4 抛物线 y x2上与直线 2x y 4 距离最近的点的坐标是 A B 1 1 C D 2 4 3 5 2 4 3 9 2 4 答案 B 解析 设抛物线上的点 x0 y0 则它到直线 2x y 4 的距离 d 所以 22 000 2xx4 x1 3 55 当 x0 1 y0 1 时 d 取最小值 2 0 x 5 5 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分 光源在抛物线的焦点处 灯口直径为 60 cm 灯深 40 cm 则光源到反射镜顶点的距离是 A 11 25 cmB 5 625 cm C 20 cmD 10 cm 答案 B 解析 如图建立直角坐标系 则 A 40 30 设抛物线方程为 y2 2px p 0 将点 40 30 代入得 2 p 所以 5 625 45 4 p 2 6 6 已知 A B 是抛物线 y2 2px p 0 上两点 O 为坐标原点 若 OA OB 且 AOB 的垂心恰是此 抛物线的焦点 则直线 AB 的方程是 A x pB x 3pC x pD x p 3 2 5 2 答案 D 解析 由 OA OB 设点 A B 的坐标分别为 A x0 y0 B x0 y0 满足 kFA kOB 1 即 0 0 y p x 2 1 0 0 y x x0 又 2px0 x0 p 22 00 p yx 2 2 0 y 5 2 7 7 设抛物线 y2 2px p 0 的焦点为 F 点 A 0 2 若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 则点 B 到该 抛物线准线的距离为 答案 3 2 4 解析 由已知得点 B 的纵坐标为 1 横坐标为 即 B 将其代入 y2 2px 得 1 2p 解得 p 4 p 1 4 p 4 p 则点 B 到准线的距离为p 2 pp3 244 3 2 4 8 8 已知抛物线 C y2 2px p 0 的准线为 l 过 M 1 0 且斜率为的直线与 l 相交于点 A 与 C3 的一个交点为 B 若 则 p AMMB 答案 2 解析 过 B 作准线的垂线 垂足为 B1 设 l 与 x 轴交于 M1 则易得 MM1 l 由 AM MB 得 BB1 2MM1 AM BM 所以点 M 恰为抛物线的焦点 即 1 p 2 p 2 9 9 已知点 A 0 2 B 0 4 动点 P x y 满足 y2 8 PA PB 1 求动点 P 的轨迹方程 2 设 1 中所求轨迹与直线 y x 2 交于 C D 两点 求证 OC OD O 为坐标原点 1 解 由题意可得 x 2 y x 4 y y2 8 PA PB 化简得 x2 2y 2 证明 将 y x 2 代入 x2 2y 中 得 x2 2 x 2 整理得 x2 2x 4 0 可知 4 16 20 0 设 C x1 y1 D x2 y2 则 x1 x2 2 x1x2 4 因为 y1 x1 2 y2 x2 2 所以 y1y2 x1 2 x2 2 x1x2 2 x1 x2 4 4 因为 x1x2 y1y2 0 所以 OC OD OC OD 1010 已知抛物线 y2 4x 的准线与 x 轴交于 M 点 过 M 点作直线与抛物线交于 A B 两点 若 AB 的 垂直平分线与 x 轴交于点 E x0 0 3 1 求 x0的取值范围 2 若 ABE 是等边三角形 求 x0的值 解 1 设过 M 点的直线 l y k x 1 k 0 将 l 的方程代入 y2 4x 得 k2x2 2 k2 2 x k2 0 所以 4 k2 2 2 4k4 0 解得 1 k3 即 x0 3 2 2 k 2 因为 ABE 为等边三角形 所以 ABE 的高 d AB 3 2