高中数学 2.1.7正、余弦定理的应用举例 复习学案 北师大版必修5

用心 爱心 专心 1 2 2 22 2 2 正 余弦定理的正 余弦定理的应应用用举举例例 知识梳理知识梳理 1 实际问题数学模型 推演 理算 实际问题的解数学模型的解 抽象概括 还原说明 2 解斜三角形的应用问题 通常需根据题意 从实际问题中抽象出一个或几个三角形 然 后通过解这些三角形 得出所要求的量 从而得到实际问题的解 其中建立数学模型的方法 是我们的归宿 用数学手段来解决实际问题 是学习数学的根本目的 3 解题应根据已知合理选择正余弦定理 要求算法简洁 算式工整 计算准确 典例剖析典例剖析 题型一题型一 正 余弦定理在几何中的应用正 余弦定理在几何中的应用 例例 1 1 如图所示 已知半圆的直径AB 2 点C在AB的延长线上 BC 1 点P为半圆上的一 个动点 以DC为边作等边 PCD 且点D与圆心O分别在PC的两侧 求四边形OPDC面积的 最大值 解 设 POB 四边形面积为 则在 POC 中 由余弦 定理得 PC2 OP2 OC2 2OP OCcos 5 4cos OPC PCD 5 4cos sin21 2 1 4 3 2sin 3 4 35 当 即 时 max 2 3 2 6 5 4 35 评述 本题中余弦定理为表示 PCD的面积 从而为表示四边形OPDC面积提供了可能 可见正 余弦定理不仅是解三角形的依据 一般地也是分析几何量之间关系的重要公式 要 认识到这两个定理的重要性另外 在求三角函数最值时 涉及到两角和正弦公式 sin sin cos cos sin 的构造及逆用 应予以重视 题题型二型二 正 余弦定理在函数中的正 余弦定理在函数中的应应用用 例 2 如图 有两条相交成角的直线 交点是 甲 乙分别在 60 XX YY OOX 上 OY 起初甲离点 千米 乙离点 千米 后来两人同时用每小时千米的速度 O3O14 甲沿 方向 乙沿方向步行 XX YY 1 起初 两人的距离是多少 2 用包含 的式子表示 小时后两人的距离 tt 3 什么时候两人的距离最短 解 1 设甲 乙两人起初的位置是 AB 则 222 2cos60ABOAOBOA OB X X Y Y B Q P OA 用心 爱心 专心 2 22 1 312 3 17 2 起初 两人的距离是 7 2 设甲 乙两人 小时后的位置分别是 tPQ 则 4APt 4BQt 当时 3 0 4 t 2222 34 14 2 34 14 cos6048247PQtttttt 当时 3 4 t 2222 43 14 2 43 14 cos12048247PQtttttt 所以 2 48247PQtt 3 222 1 4824748 4 4 PQttt 当时 即在第分钟末 最短 1 4 t 15PQ 答 在第分钟末 两人的距离最短 15 评析 2 中 分 0t和 t 两种情况进行讨论 但对两种情形的结果进行比较后发 4 3 4 3 现 目标函数有统一的表达式 从而 3 中求最值是对这个统一的表达式进行运算的 备选题备选题 正 余弦定理的综合应用正 余弦定理的综合应用 例 3 如图 已知 ABC 是边长为 1 的正三角形 M N 分别是边 AB AC 上的点 线段 MN 经过 ABC 的中心 G 设 MGA 2 33 1 试将 AGM AGN 的面积 分别记为 S1与 S2 表示为 的函数 2 求 y 的最大值与最小值 22 12 11 SS 解析 1 因为 G 是边长为 1 的正三角形 ABC 的中心 所以 AG MAG 由正弦定理 233 323 6 得 GMGA sinsin 66 3 GM 6sin 6 则 S1 GM GA sin 同理可求得 S2 1 2 sin 12sin 6 sin 12sin 6 2 y 72 3 cot2 22 12 11 yy 22 2 144 sinsin sin66 因为 2 33 所以当 或 时 y 取得最大值 ymax 240 当 时 y 取得最小值 ymin 216 3 2 3 2 A B C M N D 用心 爱心 专心 3 点评 三角函数有着广泛的应用 本题就是一个典型的范例 通过引入角度 将图形的 语言转化为三角的符号语言 再通过局部的换元 又将问题转化为我们熟知的函数 这些解题思维的拐点 4 f tt t 点击双基点击双基 1 在 ABC中 则 ABC 的面积为 70 50sin2 10sin4Cba A B C D 1 8 1 4 1 2 1 解 S 4sin10 sin50 sin70 4cos20 cos40 cos80 ABC Cabsin 2 1 20sin 20sin80cos40cos20cos4 20sin 80cos40cos40sin2 20sin2 160sin 2 1 答案 C 2 如图所示 在一幢 20m 高的楼顶 A 测得对面一塔顶 C 的仰角为 60 塔基 D 的俯角为 45 则这座塔的高是 A 20m B 10m C 10 10 m D 20 20 m 3333 解 可知BAD 45 AE 20 AB 20 BAC 60 CB ABtan60 20所以这座塔的高 CD 20 20 m 33 答案 D 3 在 ABC 中 根据下列条件解三角形 则其中有两个解的是 A b 10 A 45 B 70 B a 60 c 48 B 100 C a 7 b 5 A 80 D a 14 b 16 A 45 解 A B 可根据余弦定理求解 只有一解 选项 C 中 A 为锐角 且 a b 只有一解 选项 D 中所以有两个解 bsinA a b 答案 D 4 一船向正北航行 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上 继续 航行半小时后 看见一灯塔在船的南偏西 600 另一灯塔在船的南偏西 750 则这艘船是每小 时航行 解 10 海里 5 某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来 他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他 看见第二辆车与第三辆车的俯角差 则第一辆车与第二辆车的距离与第二辆车与第三 1 d 辆车的距离之间的关系为 2 d A B 21 dd 21 dd C D 不能确定大小 21 dd 解 依题意知 BC CD BAC CAD 2 d 1 d ABC 中 B AC BAC BC sinsin ACD 中 ADE AC ADC AC DAC CD sinsinsin BADE sinsin C A E B D DCB A E 用心 爱心 专心 4 BC CD 即 21 dd 答案 C 课后作业 1 有一长为 1 公里的斜坡 它的倾斜角为 20 现要将倾斜角改为 10 则坡底要伸长 A 1 公里 B sin10 公里 C cos10 公里 D cos20 公里 答案 A 2 边长分别为 5 7 8 的三角形的最大角与最小角的和是 A 90 B 120 C 135 D 150 解 用余弦定理算出中间的角为 60 答案 B 3 下列条件中 ABC 是锐角三角形的是 A sinA cosA B 0 C tanA tanB tanC 0 D b 3 c 3 B 30 5 1 ABBC3 解 由 sinA cosA 得 2sinAcosA 0 A 为钝角 5 1 25 24 由 0 得 0 cos 0 B 为钝角 ABBCBABCBABC 由 tanA tanB tanC 0 得 tan A B 1 tanAtanB tanC 0 tanAtanBtanC 0 A B C 都为锐角 由 得 sinC C 或 B b sinC c sin2 3 3 3 2 答案 C 4 已知锐角三角形的边长分别为 1 3 a 则 a 的范围是 A B C D 10 8 10 8 10 8 8 10 解 a 22 22 31 31 a a 810 答案 B 5 某市在 旧城改造 中计划内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境 已知这 种草皮每平方米 a 元 则购买这种草皮至少要 A 450a 元B 225a 元 C 150a 元 D 300a 元 20 米30 米 150 解 S 150购买这种草皮至少要 150a 元 2 1 150sin3020 答案 C 6 甲船在岛 B 的正南方 A 处 AB 10 千米 甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行 同时乙 船自 B 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 60 的方向驶去 当甲 乙两船相距最近时 它 们所航行的时间是 A 分钟B 分钟C 21 5 分钟D 2 15 分钟 7 150 7 15 用心 爱心 专心 5 解 设航行时间为 t 小时 则两船相距 120cos 6 410 2 6 410 22 tttt 1002028 2 tt t 小时 分钟 14 5 7 150 答案 A 7 飞机沿水平方向飞行 在 A 处测得正前下方地面目标 C 得俯角为 30 向前飞行 10000 米 到达 B 处 此时测得目标 C 的俯角为 60 这时飞机与地面目标的水平距离为 A 5000 米B 5000米C 4000 米D 米224000 解 30 DBC 60 AB 1000 CB 10000 BD 5000A 30BCD 答案 A 8 如图 ABC 是简易遮阳棚 A B 是南北方向上两个定点 正东方向射出的太阳光线与地 面成 40 角 为了使遮阴影面 ABD 面积最大 遮阳棚 ABC 与地面 所成的角为 A75 B60 C50 D45 解 作 CE 平面 ABD 于 E 则 CDE 是太阳光线与地面所成的角 即 CDE 40 延长 DE 交直线 AB 于 F 连结 CF 则 CFD 是遮 阳棚与地面所成的角 设为 要使 S ABD最大 只需 DF 最大 在 CFD 中 40sin CF 140sin DF DF 40sin 140sin CF CF 为定值 当 50 时 DF 最大 答案 C 二 填空题 9 某船在海面 A 处测得灯塔 C 与 A 相距310海里 且在北偏东 0 30方向 测得灯塔 B 与 A 相距615海里 且在北偏西 0 75方向 船由A向正北方向航行到 D 处 测得灯塔 B 在南偏 西 0 60方向 这时灯塔 C 与 D 相距 海里 答案 310 10 在 ABC 中 已知 60 如果 ABC 两组解 则 x 的取值范围是 Bbxa 2 地 地 D C B A 地 地 E FD C B A 图 1 图 2 用心 爱心 专心 6 解 asinB b a 即 xsin60 2 x 3 3 4 2 x 答案 3 3 4 2 x 11 一船以每小时 15km 的速度向东航行 船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 行驶 4h 后 60 船到达 C 处 看到这个灯塔在北偏东 这时船与灯塔的距离为15 km 答案 30 2 三 解答题 12 某人在 M 汽车站的北偏西 20 的方向上的 A 处 观察到点 C 处有一辆汽车沿公路向 M 站行 驶 公路的走向是 M 站的北偏东 40 开始时 汽车到 A 的距离为 31 千米 汽车前进 20 千 米后 到 A 的距离缩短了 10 千米 问汽车还需行驶多远 才能到达 M 汽车站 解 由题设 画出示意图 设汽车前进 20 千米后到达 B 处 在ABC 中 AC 31 BC 20 AB 21 由余弦定理得 cosC BCAC ABBCAC 2 222 31 23 则 sin C 1 cos C 22 2 31 432 sinC 31 312 所以 sinMAC sin 120 C sin120 cosC cos120 sinC 62 335 在MAC 中 由正弦定理得 MC 35 AMC MACAC sin sin 2 3 31 62 335 从而有 MB MC BC 15 答 汽车还需要行驶 15 千米才能到达 M 汽车站 13 如图 为了解某海域海底构造 在海平面内一条直线上的 A B C 三点进行测量 已知 于 A 处测得水深 于50ABm 120BCm 80ADm B 处测得水深 于 C 处测得水深 求 DEF 的余弦值 200BEm 110CFm 用心 爱心 专心 7 解 作交 BE 于 N 交 CF 于 M DMAC 2222 3017010 298DFMFDM 2222 50120130DEDNEN 2222 90120150EFBEFCBC 在中 由余弦定理 DEF 222222 1301501029816 cos 22 130 15065 DEEFDF DEF DEEF 14 在中 角 A B C 的对边分别为 ABC abc 2 2sin3cosCC 又的面积为 1 求角 C 的大小 2 求的值 7c ABC 3 3 2 ab 解 1 由已知得 所以 2 2 1 cos 3cosCC 1 cos 2 C 60C 2 因为 所以 13 3 sin 22 ABC SabC 13 3 sin60 22 ab 6ab 又因为 所以 222 2coscababC 222 7