高中数学 等比数列（3）教案 苏教版必修5

1 等比数列 等比数列 3 3 三维目标 一 知识与技能 1 掌握 错位相减 的方法推导等比数列前n项和公式 2 掌握等比数列的前n项和的公式 并能运用公式解决简单的实际问题 二 过程与方法 1 通过公式的推导过程 提高学生的建模意识及探究问题 分析与解决问题的能力 体 会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法 渗透方程思想 分类讨论思想及转化思想 优 化思维品质 2 从 错位相减法 这种算法中 体会 消除差别 培养化简的能力 3 经历等比数列前n项和的推导与灵活应用 总结数列的求和方法 并能在具体的问题 情境中发现等比关系建立数学模型 解决求和问题 三 情感 态度与价值观 通过经历对公式的探索 激发学生的求知欲 鼓励学生大胆尝试 勇于探索 敢于创新 磨练思维品质 从中获得成功的体验 感受思维的奇异美 结构的对称美 形式的简洁美 数学的严谨美 教学重点与难点 重点 等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用 难点 等比数列的前n项和公式的推导 突破难点手段 抓两点 破难点 即一抓学生情感和思维的兴奋点 激发他们的兴 趣 鼓励学生大胆猜想 积极探索 及时地给以鼓励 使他们知难而进 二抓知识选择的切 入点 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手 教师在学生主体下给予适当的提示和 指导 学法与教学用具 1 学法 由等比数列的结构特点推导出前n项和公式 从而利用公式解决实际问题 2 教学方法 采用启发和探究 建构教学相结合的教学模式 3 教学用具 多媒体 实物投影仪 授课类型 新授课 课时安排 1 课时 教学思路 一 创设情景 揭示课题一 创设情景 揭示课题 首先回忆一下前两节课所学主要内容 1 等比数列的定义 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比等于同一个常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母q表示 0 q 即 1 n n a a q 0 q 2 等比数列的通项公式 0 1 1 1 qaqaa n n 0 1 1 qaqaa m mn 3 n a成等比数列 n n a a 1 q Nn q 0 n a 0 是数列 n a成等比数列的必要 非充分条件 4 既是等差又是等比数列的数列 非零常数列 2 5 等比中项 若bGa 成等比数列 则GabG 2 叫做a与b的等差中项 6 性质 若mnpq m n q pN 则 qpnm aaaa 7 判断等比数列的方法 定义法 中项法 通项公式法 8 等比数列的增减性 二 研探新知二 研探新知 1 等比数列前 n 项和公式的推导 方法一 错位相减法 一般地 设等比数列 123 n a a aa 的前 n 项和是 n S 123n aaaa 由 123 1 1 nn n n Saaaa aa q 得 221 11111 231 11111 nn n nn n Saa qa qa qa q qSa qa qa qa qa q 11 1 n n q Saa q 当1 q时 q qa S n n 1 1 1 或 1 1 n n aa q S q 当1 q时 1 naSn 这种求和方法称为 错位相减法 错位相减法 是研究数列求和的一个重要方 注意 1 n Snqa 1 和 nn Sqaa 1 各已知三个可求第四个 2 注意求和公式中是 n q 通项公式中是 1 n q不要混淆 3 应用求和公式时1 q 必要时应讨论1 q的情况 方法二 运用等比定理 有等比数列的定义 q a a a a a a n n 12 3 1 2 根据等比的性质 有q aS aS aaa aaa nn n n n 1 121 32 即 q aS aS nn n 1 qaaSq nn 1 1 结论同上 围绕基本概念 从等比数列的定义出发 运用等比定理 导出了公式 方法三 运用方程思想 提取公比q n S n aaaa 321 13211 n aaaaqa 11 n qSa 1nn aSqa 3 qaaSq nn 1 1 结论同上 方程 在代数课程里占有重要的地位 方程思想是应用十分广泛的一种数学思想 利 用方程思想 在已知量和未知量之间搭起桥梁 使问题得到解决 一般地 设等比数列 n aaaa 321 它的前 n 项和是 方法四 由等次幂差公式直接推得 详略 三 质疑答辩 排难解惑 发展思维三 质疑答辩 排难解惑 发展思维 例 1 求等比数列 1 2 4 从第 5 项到第 10 项的和 解 由2 2 1 21 qaa得 15 21 21 1 4 4 S 1023 21 21 1 10 10 S 从第 5 项到第 10 项的和为 10 S 4 S 1008 例 2 一条信息 若一人得知后用一小时将信息传给两个人 这两个人又用一小时各传 给未知此信息的另外两人 如此继续下去 一天时间可传遍多少人 解 根据题意可知 获知此信息的人数成首项2 1 1 qa的等比数列 则 一天内获知 此信息的人数为 12 21 21 24 24 4 S 例 3 教材 51 P例 1 求等比数列 n a中 1 已知 1 4a 1 2 q 求 10 S 2 已知 1 1a 243 k a 3q 求 k S 解 1 10 10 1 10 1 4 1 1 1023 2 1 1128 1 2 aq S q 2 1 1 243 3 364 11 3 n k aa q S q 例 4 在ba 之间插入 10 个数 使它们同这个数成等比数列 求这 10 个数的和 例 5 教材 51 P例 2 求等比数列 n a中 3 7 2 S 6 63 2 S 求 n a 解 若1q 则 63 2SS 与已知 3 7 2 S 6 63 2 S 矛盾 1q 从而 3 1 3 1 7 12 aq S q 6 1 6 1 63 12 aq S q 得 3 19q 2q 由此可得 1 1 2 a 12 1 22 2 nn n a 4 例 6 教材 51 P例 3 求数列 1111 1 2 3 2482n n 的前n项和 解 1111 1 2 3 2482 n n Sn 1111 123 2482n n 11 1 1 1 1 22 1 1 222 1 2 n n n nn n 说明 数列的每一项都是一个等差数列与一个等比数列的对应项的和 求解时要采用分 组求和 例 7 等比数列 n a的各项均为正数 其前n项中 数值最大的一项是 54 若该数列的前 n项之和为 n S 且6560 80 2 na SS 求 1 通项公式 n a 2 前 100 项之和 100 S 例 8 设数列 n a 6 5 1 a 若以 n aaa 21 为系数的二次方程 Nnxaxa nn 01 2 1 且2 n 都有根 且满足133 1 求证 2 1 n a为等比数列 2 求 n a 3 求 n a的前n项和 n S 四 巩固深化 反馈矫正四 巩固深化 反馈矫正 五 归纳整理 整体认识五 归纳整理 整体认识 1 等比数列求和公式 当1 q时 1 naSn 当1 q时 q qaa