【拿高分 选好题】（新课程）高中数学二轮复习 第一部分 18个必考问题 专项突破《必考问题13 立体几何》热点命题 苏教版

1 必考问题必考问题 1313 立体几何立体几何 真题体验 1 2012 江苏 7 如图 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AB AD 3 cm AA1 2 cm 则四棱锥A BB1D1D的体积为 cm3 解析 关键是求出四棱锥A BB1D1D的高 连接AC交BD于O 在长方体中 AB AD 3 BD 3且AC BD 2 又 BB1 底面ABCD BB1 AC 又DB BB1 B AC 平面BB1D1D AO为四棱锥A BB1D1D的高且AO BD 1 2 3 2 2 S矩形BB1D1D BD BB1 3 2 6 22 VA BB1D1D S矩形BB1D1D AO 6 6 cm3 1 3 1 32 3 2 2 答案 6 2 2012 江苏 16 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 A1B1 A1C1 D E分别是棱 BC CC1上的点 点D不同于点C 且AD DE F为B1C1的中点 求证 1 平面ADE 平面BCC1B1 2 直线A1F 平面ADE 证明 1 因为ABC A1B1C1是直三棱柱 所以CC1 平面ABC 又AD 平面ABC 所以 CC1 AD 2 又因为AD DE CC1 DE 平面BCC1B1 CC1 DE E 所以AD 平面BCC1B1 又AD 平面ADE 所以平面ADE 平面BCC1B1 2 因为A1B1 A1C1 F为B1C1的中点 所以A1F B1C1 因为CC1 平面A1B1C1 且A1F 平面A1B1C1 所以CC1 A1F 又因为CC1 B1C1 平面BCC1B1 CC1 B1C1 C1 所以A1F 平面BCC1B1 由 1 知AD 平面BCC1B1 所以A1F AD 又AD 平面ADE A1F 平面ADE 所以A1F 平面ADE 高考定位 高考对本内容的考查主要有 1 主要考查空间概念 空间想象能力 点线面位置关系判断 表面积与体积计算等 A 级要求 2 主要考查线线 线面 面面平行与垂直的证明 B 级要求 应对策略 证明或探究空间中线线 线面 面面平行与垂直的位置关系 一要熟练掌握所有判定 定理与性质定理 梳理好几种位置关系的常见证明方法 如证明线面平行 既可以构造线 线平行 也可以构造面面平行 而证明线线平行常用的是三角形中位线性质 或构造平行 四边形 二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路 三要注意表述规范 推理严 谨 避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论 必备知识 1 平行关系 1 判定两直线平行 可供选用的定理有 公理 4 若a b b c 则a c 线面平行的性质定理 若a a b 则a b 线面垂直的性质定理 若a b 则a b 面面平行的性质定理 若 r a r b 则a b 2 线面平行的判定 可供选用的定理有 若a b a b 则a 若 a 则a 3 3 判定两平面平行 可供选用的定理有 若a b a b相交 且 a b 则 2 垂直关系 1 判定两直线垂直 可供选用的定理有 若a b b c 则a c 若a b 则a b 2 线面垂直的判定 可选用的定理有 若a b a c b c 且b与c相交 则a 若a b b 则a 若 b a a b 则a 3 判定两平面垂直 可供选用的定理有 若a a 则 必备方法 1 线线 线面 面面的平行与垂直的关系可以通过下列形式转化 2 弄清各类问题的关键点 把握问题的层次 重视容易忽视的问题 如证平行时 由 于过分强调线线 线面 面面平行的转化 而忽视由垂直关系证平行关系 证垂直时 同 样忽视由平行关系来证明或利用勾股定理计算证明 3 图形的展开 折叠 切割在考查空间想象能力方面有着不可比拟的优势 解决此类 问题的关键是弄清图形变化前后的点 线 面的对应关系 并分析清楚变化前后点 线 面的位置变化 命题角度一 空间几何体的认识及表面积 与体积的计算 命题要点 求简单组合体的侧面积和体积 例 1 2012 南师附中模拟 已知四棱椎P ABCD的底面是边长为 6 的正方形 侧棱PA 底面ABCD 且PA 8 则该四棱椎的体积是 审题视点 听课记录 4 审题视点 四棱锥的高已知 先求底面面积 再利用棱锥的体积公式求体积 解析 底面是边长为 6 的正方形 故其底面积为 36 又侧棱PA 底面ABCD 且 PA 8 故棱锥的高为 8 由棱锥体积公式得V 36 8 96 1 3 答案 96 涉及柱 锥 台 球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题 要在正 确理解概念的基础上 画出符合题意的图形或辅助线 面 分析几何体的结构特征 选择 合适的公式 进行计算 另外要重视空间问题平面化的思想和割补法 等积转换法的运 用 突破训练 1 2012 海安中学调研 已知正六棱锥P ABCDEF的底面边长为 1 cm 侧面积为 3 cm2 则该棱锥的体积为 cm3 解析 侧面积 底面周长 斜高 6 斜高 3 1 2 1 2 所以 斜高 1 cm 底面的边心距 cm 3 2 在斜高 高 底面边心距组成的直角三角形中 可求高 cm 1 2 底面面积 6 cm2 3 4 3 3 2 体积 cm3 1 3 3 3 2 1 2 3 4 答案 3 4 命题角度二 空间中点线面位置关系的判断 命题要点 命题真假判断或填空 例 2 2012 泰州学情调研 设 是三个不重合的平面 l是直线 给 出下列四个命题 若 l 则l 若l l 则 若l上有两点到 的距离相等 则l 若 则 其中正确命题的序号是 审题视点 5 听课记录 审题视点 根据空间中线面 面面之间的位置关系的判定或性质进行判断 解析 由线线 线面 面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断 真命题为 答案 这类题为高考常考题型 其实质为多项选择 主要考查空间中线面之间的 位置关系 要求熟悉有关公理 定理及推论 并具备较好的空间想象能力 做到不漏选 多选 错选 突破训练 2 2012 通州期末 设 为两个不重合的平面 m n是两条不重 合的直线 给出下列四个命题 若m n m n 则 若n m 与 相交且不垂直 则n与m不垂直 若 m m n 则n 若m n n 则m 其中真命题的序号是 解析 根据线线 线面 面面平行与垂直的判定与性质定理 可得真命题为 答案 6 命题角度三 线线 线面 面面平行与垂直的证明 命题要点 线线 线面 面面平行与垂直的判定与性质 例 3 2012 南京模拟 如图 正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平 面互相垂直 ABE是等腰直角三角形 AB AE FA FE AEF 45 1 求证 EF 平面BCE 2 设线段CD AE的中点分别为P M 求证 PM 平面BCE 审题视点 听课记录 审题视点 1 要证EF 平面BCE 只需证明BC EF EF BE 说明BC EB是平面 BCE内的相交直线即可 2 线段CD AE的中点分别为P M 取BE的中点N 连接CN MN PM CN CN在平面 BCE内 PM不在平面BCE内 即可证明PM 平面BCE 证明 1 因为平面ABEF 平面ABCD BC 平面ABCD BC AB 平面ABEF 平面 ABCD AB 所以BC 平面ABEF 又EF 平面ABEF 所以BC EF 因为 ABE为等腰直角三角形 AB AE 所以 AEB 45 又因为 AEF 45 所以 FEB 90 即EF BE 因为BC 平面ABCD BE 平面BCE BC BE B 所以EF 平面BCE 2 取BE的中点N 连接CN MN 则MN AB PC 且MN AB PC 1 2 PMNC为平行四边形 所以PM CN CN 平面BCE PM 平面BCE PM 平面BCE 证明或探究空间中线线 线面 面面平行与垂直的位置关系 一要熟练掌 握所有判定定理与性质定理 梳理好几种位置关系的常见证明方法 如证明线面平行 既 可以构造线线平行 也可以构造面面平行 而证明线线平行常用的是三角形中位线性质 或构造平行四边形 二要用分析与综合相结合的方法来寻找证明的思路 三要注意表述规 范 推理严谨 避免使用一些虽然正确但不能作为推理依据的结论 7 突破训练 3 2012 苏中三市学情调查 如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD 是直角梯形 AB DC ABC 45 DC 1 AB 2 PA 平面ABCD PA 1 1 求证 AB 平面PCD 2 求证 BC 平面PAC 3 若M是PC的中点 求三棱锥M ACD的体积 1 证明 AB DC 且AB 平面PCD CD 平面PCD AB 平面PCD 2 证明 在直角梯形ABCD中 过C作CE AB于点E 则四边形ADCE为矩形 AE DC 1 又AB 2 BE 1 在 Rt BEC中 ABC 45 CE BE 1 CB 2 AD CE 1 则AC AD2 DC22 AC2 BC2 AB2 BC AC 又 PA 平面ABCD PA BC PA AC A BC 平面PAC 3 解 M是PC中点 M到面ADC的距离是P到面ADC距离的一半 VM ACD S ACD PA 1 3 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2 1 12 13 深刻理解定理 正确使用定理 一 深刻理解 正确记忆定义 定理 例 1 判断下列命题的真假 1 不相交的两条直线叫做平行直线 2 如果一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 3 如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 解 1 应为 同一平面内不相交的两条直线叫做平行直线 2 应为 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个 平面平行 8 3 应为 如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 所以上述三个命题都是假命题 老师叮咛 要对定义 定理深刻理解 正确记忆 不出现错误判断 例如 如果平面外 一条直线和这个平面内的一条直线平行 那么这条直线和这个平面平行 中的 平面外 就不可缺少 二 正确使用判定定理 性质定理证题 例 2 如图 正方形ABCD和四边形ACEF所在