高考数列大题专题

1 高考中的数列高考中的数列 最后一讲最后一讲 内部资料勿外传 1 已知数列 an bn cn 满足 1 设 cn 3n 6 an 是公差为 3 的等差数列 当 b1 1 时 求 b2 b3的值 2 设 求正整数 k 使得对一切 n N 均有 bn bk 3 设 当 b1 1 时 求数列 bn 的通项公式 2 设 an 是公比为正数的等比数列 a1 2 a3 a2 4 求 an 的通项公式 设 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 an bn 的前 n 项和 Sn 3 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1为 a a R 设数列的前 n 项和为 Sn 且 成等比数列 求数列 an 的通项公式及 Sn 记 An Bn 当 a 2 时 试比较 An与 Bn的大小 4 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列 的前 n 项和 5 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 bn 中的 b3 b4 b5 I 求数列 bn 的通项公式 II 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 求证 数列 Sn 是等比数列 6 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数 使得这 n 2 个数构成递增的等比数列 将这 n 2 个数的乘积计作 Tn 再令 an lgTn n 1 I 求数列 an 的通项公式 设 bn tanan tanan 1 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 2 7 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 S5S6 15 0 若 S5 5 求 S6及 a1 求 d 的取值范围 8 已知等差数列 an 的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数列 an 的通项公式 设 bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 9 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 1 求 a3 a5 2 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 3 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 10 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前 n 项和 Sn 11 已知数列 an 满足 n N 1 令 bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 12 等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知对任意的 n N 点 n Sn 均在函数 y bx r b 0 且 b 1 b r 均 为常数 的图象上 1 求 r 的值 2 当 b 2 时 记 bn n N 求数列 bn 的前 n 项和 Tn 13 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 3 求 n a及 n S 令 bn 2 1 1 n a n N 求数列 n b的前 n 项和 n T 14 已知数列 an 是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 a2a6 55 a2 a7 16 1 求数列 an 的通项公式 2 数列 an 和数列 bn 满足等式 an n N 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 15 设数列 an 的通项公式为 an pn q n N P 0 数列 bn 定义如下 对于正整数 m bm是使得不等式 an m 成立的所有 n 中的最小值 若 求 b3 若 p 2 q 1 求数列 bm 的前 2m 项和公式 16 已知数列 xn 的首项 x1 3 通项 xn 2np np n N p q 为常数 且成等差数列 求 p q 的值 数列 xn 前 n 项和 Sn的公式 17 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 2an 2n 求 a1 a4 证明 an 1 2an 是等比数列 求 an 的通项公式 18 在数列 an 中 a1 1 求 an 的通项公式 令 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 求数列 an 的前 n 项和 Tn 4 19 已知数列 an 的首项 n 1 2 3 证明 数列是等比数列 求数列的前 n 项和 Sn 20 在数列 n a中 1 0a 且对任意 kN kN 21221 kkk aaa 成等差数列 其公差为 k d 若 k d 2k 证明 21222 kkk aaa 成等比数列 kN 若对任意 kN 21222 kkk aaa 成等比数列 其公比为 k q 设 1 q 1 证明 1 1 k q 是等差数列 21 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 1 1 a 1 42 nn Sa I 设 1 2 nnn baa 证明数列 n b是等比数列 II 求数列 n a的通项公式 22 设数列 n a的前n项和为 n S 已知 21 n nn babS 证明 当2b 时 1 2n n an 是等比数列 求 n a的通项公式 23 数列 an 的前n项和为Sn 且a1 1 1 1 3 nn aS n 1 2 3 求 I a2 a3 a4的值及数列 an 的通项公式 II 2462n aaaa 的值 5 1 已知数列 an bn cn 满足 1 设 cn 3n 6 an 是公差为 3 的等差数列 当 b1 1 时 求 b2 b3的值 2 设 求正整数 k 使得对一切 n N 均有 bn bk 3 设 当 b1 1 时 求数列 bn 的通项公式 专题 计算题 分类讨论 分析 1 先根据条件得到数列 bn 的递推关系式 即可求出结论 2 先根据条件得到数列 bn 的递推关系式 进而判断出其增减性 即可求出结论 3 先根据条件得到数列 bn 的递推关系式 再结合叠加法以及分类讨论分情况求出数列 bn 的通项公式 最后 综合即可 解答 解 1 an 1 an 3 bn 1 bn n 2 b1 1 b2 4 b3 8 2 an 1 an 2n 7 bn 1 bn 由 bn 1 bn 0 解得 n 4 即 b4 b5 b6 由 bn 1 bn 0 解得 n 3 即 b1 b2 b3 b4 k 4 3 an 1 an 1 n 1 bn 1 bn 1 n 1 2n n bn bn 1 1 n 2n 1 n 1 n 2 故 b2 b1 21 1 6 b3 b2 1 22 2 bn 1 bn 2 1 n 1 2n 2 n 2 bn bn 1 1 n 2n 1 n 1 当 n 2k 时 以上各式相加得 bn b1 2 22 2n 2 2n 1 1 2 n 2 n 1 bn 当 n 2k 1 时 2n n bn 点评 本题主要考察数列递推关系式在求解数列通项中的应用 是对数列知识的综合考察 属于难度较高的题 目 2 2011 重庆 设 an 是公比为正数的等比数列 a1 2 a3 a2 4 求 an 的通项公式 设 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 求数列 an bn 的前 n 项和 Sn 分析 由 an 是公比为正数的等比数列 设其公比 然后利用 a1 2 a3 a2 4 可求得 q 即可求得 an 的通 项公式 由 bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 可求得 bn 1 n 1 2 2n 1 然后利用等比数列与等差数列的前 n 项和公式即可求得数列 an bn 的前 n 项和 Sn 解答 解 设 an 是公比为正数的等比数列 设其公比为 q q 0 a3 a2 4 a1 2 2 q2 2 q 4 解得 q 2 或 q 1 q 0 q 2 an 的通项公式为 an 2 2n 1 2n bn 是首项为 1 公差为 2 的等差数列 7 bn 1 n 1 2 2n 1 数列 an bn 的前 n 项和 Sn 2n 1 2 n2 2n 1 n2 2 3 2011 浙江 已知公差不为 0 的等差数列 an 的首项 a1为 a a R 设数列的前 n 项和为 Sn 且 成等比数列 求数列 an 的通项公式及 Sn 记 An Bn 当 a 2 时 试比较 An与 Bn的大小 分析 设出等差数列的公差 利用等比中项的性质 建立等式求得 d 则数列的通项公式和前 n 项的和可 得 利用 的 an和 Sn 代入不等式 利用裂项法和等比数列的求和公式整理 An与 Bn 最后对 a 0 和 a 0 两种情况分情况进行比较 解答 解 设等差数列 an 的公差为 d 由 2 得 a1 d 2 a1 a1 3d 因为 d 0 所以 d a1 a 所以 an na Sn 解 An 1 2n 1a 所以 Bn 1 当 n 2 时 2n Cn0 Cn1 Cnn n 1 即 1 1 所以 当 a 0 时 An Bn 当 a 0 时 An Bn 4 2011 辽宁 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列 的前 n 项和 分析 I 根据等差数列的通项公式化简 a2 0 和 a6 a8 10 得到关于首项和公差的方程组 求出方程组的解即可得到数列的 首项和公差 根据首项和公差写出数列的通项公式即可 8 II 把 I 求出通项公式代入已知数列 列举出各项记作 然后给两边都除以 2 得另一个关系式记作 后 利用 an的通项公式及等比数列的前 n 项和的公式化简后 即可得到数列 的前 n 项和的通项公式 解答 解 I 设等差数列 an 的公差为 d 由已知条件可得 解得 故数列 an 的通项公式为 an 2 n II 设数列 的前 n 项和为 Sn 即 Sn a1 故 S1 1 当 n 1 时 得 a1 1 1 1 所以 Sn 综上 数列 的前 n 项和 Sn 是一道中档题 5 2011 湖北 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 bn 中的 b3 b4 b5 I 求数列 bn 的通项公式 II 数列 bn 的前 n 项和为 Sn 求证 数列 Sn 是等比数列 分析 I 利用成等差数列的三个正数的和等于 15 可设三个数分别为 5 d 5 d 代入等比数列中可求 d 进一步 可求数列 bn 的通项公式 9 II 根据 I 及等比数列的前 n 项和公式可求 Sn 要证数列 Sn 是等比数列 即可 解答 解 I 设成等差数列的三个正数分别为 a d a a d 依题意 得 a d a a d 15 解得 a 5 所以 bn 中的依次为 7 d 10 18 d 依题意 有 7 d 18 d 100 解得 d 2 或 d 13 舍去 故 bn 的第 3 项为 5 公比为 2 由 b3 b1 22 即 5 4b1 解得 所以 bn 是以 首项 2 为公比的等比数列 通项公式为 II 数列 bn 的前和 即 所以 因此 是以 为首项 公比为 2 的等比数列 点评 本题主要考查了等差数列 等比数列及前 n 和公式等基础知识 同时考查基本运算能力 6 2011 安徽 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数 使得这 n 2 个数构成递增的等比数列 将这 n 2 个数的乘积 计作 Tn 再令 an lgTn n 1 I 求数列 an 的通项公式 设 bn tanan tanan 1 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 分析 I 根据在数 1 和 100 之间插入 n 个实数 使得这 n 2 个数构成递增的等比数列 我们易得这 n 2 项的几 何平均数为 10 故 Tn 10n 2 进而根据对数的运算性质我们易计算出数列 an 的通项公式 II 根据 I 的结论 利用两角差的正切公式 我们易将数列 bn 的每一项拆成 的形式 进而得到结论 解答 解 I 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数 使得这 n 2 个数构成递增的等比数列 又 这 n 2 个数的乘积计作 Tn Tn 10n 2 又 an lgTn an lg10n 2 n 2 n 1 II bn tanan tanan 1 tan n 2 tan n 3 10 Sn b1 b2 bn 点评 本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合 其中根据已知求出这 n 2 项的几何平 均数为 10 是解答本题的关键 7 2010 浙江 设 a1 d 为实数 首项为 a1 公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 满足 S5S6 15 0 若 S5 5 求 S6及 a1 求 d 的取值范围 解答 解 由题意知 S6 3 a6 S6 S5 8 所以 解得 a1 7 所以 S6 3 a1 7 解 因为 S5S6 15 0 所以 5a1 10d 6a1 15d 15 0 即 2a12 9da1 10d2 1 0 故 4a1 9d 2 d2 8 所以 d2 8 故 d 的取值范围为 d 2或 d 2 8 2010 四川 已知等差数列 an 的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数列 an 的通项公式 设 bn 4 an qn 1 q 0 n N 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 分析 1 设 an 的公差为 d 根据等差数列的求和公式表示出前 3 项和前 8 项的和 求的 a1和 d 进而根据等 差数列的通项公式求得 an 2 根据 1 中的 an 求得 bn 进而根据错位相减法求得数列 bn 的前 n 项和 Sn 解答 解 1 设 an 的公差为 d 由已知得 解得 a1 3 d 1 11 故 an 3 n 1 1 4 n 2 由 1 的解答得 bn n qn 1 于是 Sn 1 q0 2 q1 3 q2 n 1 qn 1 n qn 若 q 1 将上式两边同乘以 q 得 qSn 1 q1 2 q2 3 q3 n 1 qn n qn 1 将上面两式相减得到 q 1 Sn nqn 1 q q2 qn 1 nqn 于是 Sn 若 q 1 则 Sn 1 2 3 n 所以 Sn 9 2010 四川 已知数列 an 满足 a1 0 a2 2 且对任意 m n N 都有 a2m 1 a2n 1 2am n 1 2 m n 2 1 求 a3 a5 2 设 bn a2n 1 a2n 1 n N 证明 bn 是等差数列 3 设 cn an 1 an qn 1 q 0 n N 求数列 cn 的前 n 项和 Sn 分析 1 欲求 a3 a5只需令 m 2 n 1 赋值即可 2 以 n 2 代替 m 然后利用配凑得到 bn 1 bn 和等差数列的定义即可证明 3 由 1 2 两问的结果可以求得 cn 利用乘公比错位相减求 cn 的前 n 项和 Sn 解答 解 1 由题意 令 m 2 n 1 可得 a3 2a2 a1 2 6 再令 m 3 n 1 可得 a5 2a3 a1 8 20 2 当 n N 时 由已知 以 n 2 代替 m 可得 a2n 3 a2n 1 2a2n 1 8 于是 a2 n 1 1 a2 n 1 1 a2n 1 a2n 1 8 即 bn 1 bn 8 所以 bn 是公差为 8 的等差数列 12 3 由 1 2 解答可知 bn 是首项为 b1 a3 a1 6 公差为 8 的等差数列 则 bn 8n 2 即 a2n 1 a2n 1 8n 2 另由已知 令 m 1 可得 an n 1 2 那么 an 1 an 2n 1 2n 1 2n 于是 cn 2nqn 1 当 q 1 时 Sn 2 4 6 2n n n 1 当 q 1 时 Sn 2 q0 4 q1 6 q2 2n qn 1 两边同乘以 q 可得 qSn 2 q1 4 q2 6 q3 2n qn 上述两式相减得 1 q Sn 2 1 q q2 qn 1 2nqn 2 2nqn 2 所以 Sn 2 综上所述 Sn 点评 本小题是中档题 主要考查数列的基础知识和化归 分类整合等数学思想 以及推理论证 分析与解决问 题的能力 同时考查了等差 等比数列的定义 通项公式 和数列求和的方法 10 2010 陕西 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前 n 项和 Sn 分析 I 由题意可得 a32 a1 a9 a9 从而建立关于公差 d 的方程 解方程可求 d 进而求出通项 an II 由 I 可得 代入等比数列的前 n 项和公式可求 Sn 解答 解 由题设知公差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 解得 d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 13 由 知 2 a n 2 n 由等比数列前 n 项和公式得 Sm 2 22 23 2n 2n 1 2 点评 本题考查了等差数列及等比数列的通项公式 等比数列的前 n 项和公式 属于基本公式的简单运用 11 2009 陕西 已知数列 an 满足 n N 1 令 bn an 1 an 证明 bn 是等比数列 2 求 an 的通项公式 分析 1 先令 n 1 求出 b1 然后当 n 2 时 求出 an 1的通项代入到 bn中化简可得 bn 是以 1 为首项 为 公比的等比数列得证 2 由 1 找出 bn的通项公式 当 n 2 时 利用 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 代入并利用等比数列的 前 n 项和的公式求出即可得到 an的通项 然后 n 1 检验也符合 所以 n N an都成立 解答 解 1 证 b1 a2 a1 1 当 n 2 时 所以 bn 是以 1 为首项 为公比的等比数列 2 解由 1 知 当 n 2 时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 1 当 n 1 时 所以 12 2009 山东 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 11 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解 因为对任意的nN 点 n n S 均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 所以得 n n Sbr 14 当1n 时 11 aSbr 当2n 时 111 1 1 nnnnn nnn aSSbrbrbbbb 又因为 n a 为等比数列 所以1r 公比为b 所以 1 1 n n abb 2 当 b 2 时 11 1 2 nn n abb 11 111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T 相减 得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 1 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 13 20102010 山东 山东 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 3 7a 57 26aa n a的前 n 项和为 n S 求 n a及 n S 令 bn 2 1 1 n a n N 求数列 n b的前 n 项和 n T 解析 设等差数列 n a的公差为 d 因为 3 7a 57 26aa 所以有 1 1 27 21026 ad ad 解得 1 3 2ad 所以321 2n 1 n an n S n n 1 3n 2 2 2 n 2n 由 知2n 1 n a 所以 bn 2 1 1 n a 2 1 2n 1 1 11 4 n n 1 111 4n n 1 所以 n T 111111 1 4223n n 1 11 1 4n 1 n 4 n 1 即数列 n b的前 n 项和 n T n 4 n 1 15 14 2009 湖北 已知数列 an 是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 a2a6 55 a2 a7 16 1 求数列 an 的通项公式 2 数列 an 和数列 bn 满足等式 an n N 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 分析 1 设等差数列 an 的公差为 d 分别表示出 a2a6 55 a2 a7 16 联立方程求得 d 和 a1进而根据等差数列通 项公式求得 an 2 令 cn 则有 an c1 c2 cn an 1 c1 c2 cn 1两式相减得 cn 1等于常数 2 进而可得 bn 进而根据 b1 2a1求得 b1则数列 bn 通项公式可得 进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上 b1 解答 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 则依题意可知 d 0 由 a2 a7 16 得 2a1 7d 16 由 a2a6 55 得 a1 2d a1 5d 55 由 联立方程求得 得 d 2 a1 1 或 d 2 a1 排除 an 1 n 1 2 2n 1 2 令 cn 则有 an c1 c2 cn an 1 c1 c2 cn 1 两式相减得 an 1 an cn 1 由 1 得 a1 1 an 1 an 2 cn 1 2 即 cn 2 n 2 即当 n 2 时 bn 2n 1 又当 n 1 时 b1 2a1 2 bn 于是 Sn b1 b2 b3 bn 2 23 24 2n 1 2n 2 6 点评 本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质 考查了对数列问题的综合把握 15 2009 北京 设数列 an 的通项公式为 an pn q n N P 0 数列 bn 定义如下 对于正整数 m bm是使 得不等式 an m 成立的所有 n 中的最小值 若 求 b3 若 p 2 q 1 求数列 bm 的前 2m 项和公式 解答 解 由题意 得 解 得 16 成立的所有 n 中的最小正整数为 7 即 b3 7 由题意 得 an 2n 1 对于正整数 m 由 an m 得 根据 bm的定义可知 当 m 2k 1 时 bm k k N 当 m 2k 时 bm k 1 k N b1 b2 b2m b1 b3 b2m 1 b2 b4 b2m 1 2 3 m 2 3 4 m 1 16 2008 浙江 已知数列 xn 的首项 x1 3 通项 xn 2np np n N p q 为常数 且成等差数列 求 p q 的值 数列 xn 前 n 项和 Sn的公式 分析 根据 x1 3 求得 p q 的关系 进而根据通项 xn 2np np n N p q 为常数 且成等差数列 建 立关于 p 的方求得 p 进而求得 q 进而根据 1 中求得数列的首项和公差 利用等差数列的求和公式求得答案 解答 解 x1 3 2p q 3 又 x4 24p 4q x5 25p 5q 且 x1 x3 2x4 3 25p 5q 25p 8q 联立 求得 p 1 q 1 由 1 可知 xn 2n n Sn 2 22 2n 1 2 n 点评 本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识 考查运算及推理能力 17 2008 四川 设数列 an 的前 n 项和为 Sn 2an 2n 求 a1 a4 证明 an 1 2an 是等比数列 求 an 的通项公式 考点 等比关系的确定 等比数列的通项公式 数列递推式 专题 计算题 证明题 分析 令 n 1 得到 s1 a1 2 并推出 an 令 n 2 求出 a2 s2得到 a3推出 a4即可 由已知得 an 1 2an Sn 2n 1 Sn 2n 2n 1 2n 2n即为等比数列 an an 2an 1 2 an 1 2an 2 2n 2 a2 2a1 2n 1a1 n 1 2n 1即可 解答 解 因为 a1 S1 2a1 S1 2 所以 a1 2 S1 2 由 2an Sn 2n知 2an 1 Sn 1 2n 1 an 1 Sn 2n 1 得 an 1 sn 2n 1 17 所以 a2 S1 22 2 22 6 S2 8a3 S2 23 8 23 16 S2 24a4 S3 24 40 由题设和 式知 an 1 2an Sn 2n 1 Sn 2n 2n 1 2n 2n 所以 an 1 2an 是首项为 2 公比为 2 的等比数列 an an 2an 1 2 an 1 2an 2 2n 2 a2 2a1 2n 1a1 n 1 2n 1 点评 此题重点考查数列的递推公式 利用递推公式求数列的特定项 通项公式等 同时考查学生掌握数列的递 推式以及等比数列的通项公式的能力 18 2008 四川 在数列 an 中 a1 1 求 an 的通项公式 令 求数列 bn 的前 n 项和 Sn 求数列 an 的前 n 项和 Tn 考点 数列递推式 数列的求和 专题 计算题 分析 由题设条件得 由此可知 由题设条件知 再由错位相减得 由此可知 由得 由此可知 Tn 2Sn 2a1 2an 1 解答 解 由条件得 又 n 1 时 故数列构成首项为 1 公式为 的等比数列 从而 即 由得 两式相减得 所以 由得 所以 Tn 2Sn 2a1 2an 1 点评 本题考查数列的综合运用 解题时要认真审题 仔细解答 18 19 2008 陕西 已知数列 an 的首项 n 1 2 3 证明 数列是等比数列 求数列的前 n 项和 Sn 考点 数列递推式 等比关系的确定 数列的求和 专题 计算题 分析 1 化简构造新的数列 进而证明数列是等比数列 2 根据 1 求出数列的递推公式 得出 an 进而构造数列 求出数列的通项公式 进 而求出前 n 项和 Sn 解答 解 由已知 2 分 又 4 分 数列是以 为首项 为公比的等比数列 6 分 由 知 即 8 分 设 则 由 得 10 分 又 1 2 3 12 分 数列的前 n 项和 14 分 点评 此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前 n 项和的方法 19 20 2010 2010 天津 天津 本小题满分 14 分 在数列 n a中 1 0a 且对任意 kN kN 21221 kkk aaa 成等差数列 其公差为 k d 若 k d 2k 证明 21222 kkk aaa 成等比数列 kN 若对任意 kN 21222 kkk aaa 成等比数列 其公比为 k q 设 1 q 1 证明 1 1 k q 是等差数列 解析 证明 由题设 可得 4 2121 aak kN kk 所以 131 2121212123 aaaaaaaa kkkkk 44 1 4 1kk 2k k 1 由 1 a 0 得 22 2 1 22 2 1 2122122 ak kaakkak kkkk 从而 于是 11 21222221 221212 aaaa kk kkkk akakaa kkkk 所以 所以 2 22122 k dkkNaaa kkk 时 对任意成等比数列 证法一 i 证明 由 2 2121 k aaa kk 成等差数列 及 22122 aaa kkk 成等比数列 得 21211 2 2 22121 221 k aa kk aaaq