如何复习好立体几何

第 1 页 共 4 页 谈如何复习好立体几何 几何研究的对象是空间图形 即由空间的点 线 面所构成的图形 因此 立体几何 的基础是对点 线 面各种位置关系的讨论和研究 进而研究几何体的性质 在高考解答 题中 立体几何侧重于对直线与直线 直线与平面 平面与平面的各种位置关系的考查 加重考查空间概念 逻辑思维能力 空间想象能力及运算能力 一 立体几何解答题的考查方向一 立体几何解答题的考查方向 1 从命题形式看 从命题形式看 解答题往往设计成几个小问题 此类考题往往以多面体为依托 考 查线线 线面 面面的位置关系 然后考查面积 体积等度量关系 其解题思路也都是 作 证 求 强调作图 证明和计算相结合 2 从内容看 从内容看 计算角的问题 试题中常见的是异面直线所成角 这类试题有一定的 难度和需要一定的解题技巧 通常要把它们转化为相交直线所成的角 求距离 试题中 常见的是点与点之间的距离 点到直线的距离 点到平面的距离 直线与直线的距离 直 线到平面的距离 要特别注意解决此类问题的转化方法 简单的几何体的侧面积和表面 积问题 解此类问题除特殊几何体的现成的公式外 还可将侧面展开 转化为求平面图形 的面积问题 体积问题 要注意解题技巧 如等积变换 割补思想的应用 3 从方法看 从方法看 着重考查公理化方法 如解答题注重理论推导和计算相集合 考查转化 的思想方法 如经常要把立体几何问题转化为平面几何问题来解决 考查模型化方法和整 体考虑问题 处理问题的方法 如有时把形体纳入不同的几何背景之中 从而宏观上把握 形体 巧妙地把问题解决 考查割补法 等积变换法 以及变化运动的思想方法 极限方 法等 4 从能力看 从能力看 着重考查空间想象能力 即空间形体的观察分析和抽象的能力 要求 四会 会画图 根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线 面 作 出的图形要直观 虚实分明 会识图 根据题目给出的图形 想象出立体的形状和有 关线面位置关系 会析图 对图形进行必要的分解 组合 会复图 对图形或其 某部分进行平移 翻折 旋转 展开或实行割补术 考查逻辑思维能力和运算能力 考查 探索能力 二 把握两个热点问题二 把握两个热点问题 1 线线 线面 面面平行与垂直问题 线线 线面 面面平行与垂直问题 从近些年看 以多面体为载体 重点考查空间的直线与直线和直线与平面的位置关系 一直是高考立体几何命题的热点 因为这类题目既可以考查多面体的概念和性质 又能考 查空间的线面关系 并将论证和计算有机地结合在一起 可以比较全面 准确地考查考生 的空间想象能力 逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力 2 点到面的距离问题 点到面的距离问题 立体几何中的求距离 也是高考中的命题热点 其中点到平面的距离的计算是立体几 何中的一个难点 求点到平面距离 一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足 把点到 平面的距离转化为解三角形求解 需要作辅助线 然后通过逻辑推理论证及计算 三 命题趋势与复习对策三 命题趋势与复习对策 1 从近些年的高考立体几何试卷分析 将填空题设计成开放性问题和多选题的动向 应引起高度注意 已连续几年都出现这种题 这表明将立体几何填空题设计成新颖的题型 以成为高考命题的趋势 2 转化 化归思想贯穿立体几何始终 是处理立体几何问题的基本数学思想 在复习 中应注意培养化归转化意识 掌握常见的化归转化方法 如 等积转化 立几问题向平面 问题转化 符号语言 文字语言 图形语言的相互转化等 在复习中还要建立知识框架和 第 2 页 共 4 页 网络 弄清各概念之间的包含关系 理清定理的来龙去脉 从条件 结论和使用范围上去比较容 易 混淆的各个定理 从内涵和外延上比较容易混淆的各个概念 四 典例解析四 典例解析 例例 1 正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面互相垂直 M N 分别是对角线 AC 和 BF 上的点 且 AM FN 求证 MN 面 BEC 证明证明 过 M 作 MH AB 于 H 连 NH BC AB MH BC 如图 10 20 故 有 MH 面 EBC 且有 又 AM FN AC FB AHAM ABAC AHAMFN ABACFB 故 NH AF BE 从而有 NH 面 BEC 又 MH NH H 由 得 面 MNH 面 BEC 故 MN 面 BEC 评注 评注 利用面面平行证明线面平行是常用的一种思想方法 本题亦可连 AN 并延长交 BF 于 Q 如图 2 可证明 MN QC 从而证得 MN 面 BEC 读者不妨试一试 例例 2 如图 在直四棱柱中 底面是梯形 且 1111 ABCDABC D 1111 ABC D 是棱的中点 1111 ABDC 1111111 1 1 2 ADD DDCAB 11 ADAC E 11 AB 1 求证 CDAD 2 求点到平面的距离 1 C 11 CD B 解 解 1 证明 证明 连接 是正方形 1 AD 11 AD DA 又 平面 11 ADDA 11 ADAC 1 AD 1 ACD 又 平面 1 ADCD 1 DDCD CD 1 AD CDAD 2 用等体积法 用等体积法 设点到平面的距离为 1 C 11 CD Bh 在中 为直角三角形 由 11 CD B 1111 2 5 3 CDD BCB 11 CD B 得 点到平面的 11 111 1 C C D BCCD B VV 1 12sin13523 h 6 6 h 1 C 11 CD B A F H M B C D N E 图 1图 2 A F H M B C D N E Q 第 3 页 共 4 页 距离为 6 6 评注 评注 认识多面体中的线面关系 证明线线垂直 会求点到平面的距离 例例 3 如图 在三棱锥中 底面 VABC VC ABC 是的中点 且 ACBC DABACBCa VDC 0 2 1 求证 平面 VAB VCD 2 当解变化时 求直线与平面所成的角的 BCVAB 取值范围 解 解 1 证明 证明 是等腰三ACBCa ACB 角形 又是的中点 DAB 又底面 于是CDAB VC ABCVCAB 平面 AB VCD 又平面 平面平面 AB VAB VAB VCD 2 过点在平面内作于 CVCDCHVD H 则由 1 知平面 连接 于是CD VABBH 就是直线与平面所成的角 CBH BCVAB 在中 CHDRt 2 sin 2 CHa 设 在中 CBH BHCRt sinCHa 2 sinsin 2 0 2 又 0sin1 2 0sin 2 0 2 0 4 即直线与平面所成角的取值范围为 BCVAB 0 4 评注 评注 1 证明面面垂直常用方法可先证线面垂直 是通法 2 借面面垂直 作垂直的 两平面的交线的垂线 由面面垂直的性质定理可知线面垂直 从而找出线面角 然后结合 三角函数知识及角的范围 方法清晰 思路直观 功效显著 总之 在立体几何的复习中 概念 公理 定理 计算公式等 应牢固掌握 同时尽 可能多的掌握一些重要结论 因为这些知识都是学习立体几何的基本工具 它是思维浓缩 的精华内容 是规律的总结 也是进行推理 论证和计算的基础 其次 还要注意立体几 何语言的表达方法 要简明扼要 清楚明白 符合逻辑的进行表述 这需要在老师的指导