2008年江苏高考数学试题及答案(无错版)

苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 1 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试数学 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试数学 江苏卷 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 70 分 分 1 最小正周期为 其中 则 6 cos xxf 5 0 2 一个骰子连续投 2 次 点数和为 4 的概率 3 的形式 则 1 1 Rbabia i i 表示为ba 4 则集合 A中有 个元素 73 1 2 xxxAZ 5 的夹角为 则 ba 1201 3ab 5ab 6 在平面直角坐标系中 设是横坐标与纵坐标的绝对值均不xoyD 大于 2 的点构成的区域 是到原点的距离不大于 1 的点构成的区E 域 向中随机投一点 则落入中的概率 DE 7 某地区为了解 70 80 岁老人的日平均睡眠时间 单位 h 现随 机地选择 50 位老人做调查 下表是 50 位老人日睡眠时间频率分布表 序号 i 分组 睡眠时间 组中值 Gi 频数 人数 频率 Fi 1 4 5 4 560 12 2 5 6 5 5100 20 3 6 7 6 5200 40 4 7 8 7 5100 20 5 8 9 8 540 08 在上述统计数据的分析中 一部分计算见算法流程图 则输出的 S 的值为 8 直线是曲线的一条切线 则实数 b 的值为 bxy 2 1 ln 0 yx x 9 在平面直角坐标系中 设三角形的顶点分别为 点 P 0 p 在线段ABC 0 0 0 cCbBaA AO 上 异于端点 设均为非零实数 直线分别交于点 一同学已正pcba CPBP ABAC FE 确算的的方程 请你求的方程 OE0 1111 y ap x cb OF 0 11 y ap x 10 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律 第 n 行 从左向右的第 3 个数为 3 n 11 的最小值为 2 230 y x y zR xyz xz 12 在平面直角坐标系中 椭圆的焦距为 2 以 O 为圆心 为半径的圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x a 过点作圆的两切线互相垂直 则离心率 0 2 c a e 13 若 则的最大值 BCACAB2 2 ABC S 14 对于总有成立 则 13 3 xaxxf 1 1 x0 xfa 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 14 分 如图 在平面直角坐标系 xoy 中 以 ox 轴为始边做两个锐角 它们的终边分别与 单位圆相交于 A B 两点 已知 A B 的横坐标分别为 5 52 10 2 1 求的值 2 求的值 tan 2 16 14 分 在四面体中 且 E F 分别是 AB BD 的中点 ABCDBDADCDCB 求证 1 直线 EF 面 ACD 2 面 EFC 面 BCD B CA F D E x y O A B 开始 S 0 输入 Gi Fi i 1 S S Gi Fi i 5 i i 1 N Y 输出 S 结束 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 2 17 14 分 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km BC 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长为 ykm 1 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将 y 表示成 的函数关系式 设 OP x km 将 y 表示成 x 的函数关系式 2 请你选用 1 中的一个函数关系式 确定污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 18 16 分 设平面直角坐标系 xoy 中 设二次函数的图像与两坐标轴有三 2 2 f xxxb xR 个交点 经过这三个交点的圆记为 C 求 1 求实数 b 的取值范围 2 求圆 C 的方程 3 问圆 C 是否经过某定点 其坐标与 b 无关 请证明你的结论 19 16 分 1 设是各项均不为零的等差数列 且公差 若将此数列删 n aaa 21 4 n0 d 去某一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 当时 求的数值 求 的所有可能4 n d a1 n 值 2 求证 对于一个给定的正整数 存在一个各项及公差都不为零的等差数列 4 nn n bbb 21 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 B CD A O P 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 3 20 16 分 若 为常数 且 12 12 3 2 3 xpxp f xfx xR 12 p p 212 211 xfxfxf xfxfxf xf 1 求对所有实数成立的充要条件 用表示 2 设为两实数 1 xfxf x 21 p pba 且若 求证 在区间上的单调增区间的长度和为ba 21 bapp bfaf xf ba 闭区间的长度定义为 2 ab nm mn 附加题附加题 21 选做题 选做题 从 A B C D 四个中选做 2 个 每题 10 分 共 20 分 A 选修 4 1 几何证明选讲 如图 设 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 2 EDEB EC A B 选修 4 2 矩阵与变换 在平面直角坐标系中 设椭圆在矩阵 A 对应的变换作用下得到曲线 F 求 FxOy 22 41xy 2 0 0 1 的方程 C 选修 4 4 参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中 点是椭圆上的一个动点 求的最大值 xOy P xy 2 2 1 3 x y Sxy D 选修 4 5 不等式证明选讲 BCED A 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 4 设 a b c 为正实数 求证 333 111 2 3abc abc 必做题必做题 22 记动点 P 是棱长为 1 的正方体的对角线上一点 记 当为 1111 ABCD ABC D 1 BD 1 1 D P D B APC 钝角时 求的取值范围 23 请先阅读 在等式 的两边求导 得 2 cos22cos1xx x R 由求导法则 得 化简得等式 2 cos2 2cos1 xx sin2 24cos sin xxx AA sin22cossinxxx A 1 利用上题的想法 或其他方法 试由等式 1 x n 0122 CCCCn n nnnn xxx x R 正整数 证明 2n 1 1 1 n nx 1 1 C n kk n k kx 2 对于正整数 求证 i 0 ii 0 iii 3n 1 1 C n kk n k k 2 1 1 C n kk n k k 1 1 121 C 11 n n k n k kn 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 5 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数数 学学 一 填空题 本大题共 1 小题 每小题 5 分 共 70 分 1 的最小正周期为 其中 则 cos 6 f xx 5 0 解析 本小题考查三角函数的周期公式 2 10 5 T 答案 10 2 一个骰子连续投 2 次 点数和为 4 的概率 解析 本小题考查古典概型 基本事件共 6 6 个 点数和为 4 的有 1 3 2 2 3 1 共 3 个 故 31 6 612 P 答案 1 12 3 表示为 则 1 1 i i abi a bR ab 解析 本小题考查复数的除法运算 0 1 因此 2 11 12 ii i i ab1ab 答案 1 4 A 则 A Z 的元素的个数 2 137x xx 解析 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式 由得 2 137xx 2 580 xx 0 集合 A 为 因此 A Z 的元素不存在 答案 0 5 的夹角为 则 a b 120 1a 3b 5ab 解析 本小题考查向量的线性运算 22 22 552510ababaa bb A 7 22 1 25 110 1 3349 2 5ab 答案 7 6 在平面直角坐标系中 设 D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2 的点构成的区域 E 是到原xoy 点的距离不大于 1 的点构成的区域 向 D 中随机投一点 则落入 E 中的概率 解析 本小题考查古典概型 如图 区域 D 表示边长为 4 的正方形的内部 含边界 区域 E 表示 单位圆及其内部 因此 2 1 4 416 P 答案 16 7 算法与统计的题目 8 直线是曲线的一条切线 则实数 b 1 2 yxb ln0yx x 解析 本小题考查导数的几何意义 切线的求法 令得 故切点 2 ln2 1 y x 11 2x 2x 代入直线方程 得 所以 b ln2 1 答案 ln2 1 9 在平面直角坐标系中 设三角形 ABC 的顶点分别为 A 0 a B b 0 C c 0 点 P 0 p 在线段 AO 上 异于端点 设 a b c p 均为非零实数 直线 BP CP 分别交 AC AB 于点 E F 一同学已正确算 的 OE 的方程 请你求 OF 的方程 1111 0 xy cbpa 11 0 xy pa 解析 本小题考查直线方程的求法 画草图 由对称性可猜想填 事实上 由截距式可得直 11 cb 线 AB 直线 CP 两式相减得 显然直线 AB1 xy ba 1 xy cp 1111 0 xy bcpa 与 CP 的交点 F 满足此方程 又原点 O 也满足此方程 故为所求直线 OF 的方程 答案 11 bc 10 将全体正整数排成一个三角形数阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列的规律 第 n 行 n 3 从左向右的第 3 个数为 解析 本小题考查归纳推理和等差数列求和公式 前 n 1 行共有正整数 1 2 n 1 个 即个 因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第 3 个 即为 2 2 nn 2 2 nn 2 6 2 nn 答案 2 6 2 nn 11 已知 则的最小值 x y zR 230 xyz 2 y xz 解析 本小题考查二元基本不等式的运用 由得 代入得230 xyz 3 2 xz y 2 y xz 当且仅当 3 时取 22 9666 3 44 xzxzxzxz xzxz xz 答案 3 12 在平面直角坐标系中 椭圆1 0 的焦距为 2 以 O 为圆心 为半径的圆 过点 22 22 xy ab ab a 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 6 作圆的两切线互相垂直 则离心率 2 0 a c e 解析 设切线 PA PB 互相垂直 又半径 OA 垂直于 PA 所以 OAP 是等腰直角三角形 故 解得 2 2 a a c 2 2 c e a 答案 2 2 13 若 AB 2 AC BC 则的最大值 2 ABC S 解析 本小题考查三角形面积公式 余弦定理以及函数思想 设 BC 则 AC x2x 根据面积公式得 根据余弦定理得 ABC S 2 1 sin1 cos 2 AB BCBxB A 代入上式得 22222 42 cos 24 ABBCACxx B AB BCx A 2 4 4 x x ABC S 2 2 2 12812 4 1 416 x x x x 由三角形三边关系有解得 22 22 xx xx 2 222 22x 故当时取得最大值2 2x ABC S 2 2 答案 2 2 14 3 31f xaxx 对于总有 0 成立 则 1 1x f xa 解析 本小题考查函数单调性的综合运用 若 x 0 则不论取何值 0 显然成立 当a f x x 0 即时 3 31f xaxx 0 可化为 1 1x 23 31 a xx 设 则 所以 在区间上单调递增 在区间上 23 31 g x xx 4 3 1 2x gx x g x 1 0 2 1 1 2 单调递减 因此 从而 4 max 1 4 2 g xg a 当 x 0 即时 3 31f xaxx 0 可化为 1 0 a 23 31 xx 4 3 1 2x gx x 0 在区间上单调递增 因此 从而 4 综上 4 g x 1 0 ma 14 n g xg aa 答案 4 二 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 如图 在平面直角坐标系中 以轴为始边做两个锐角 它们的终边分别与单位圆相xoyox 交于 A B 两点 已知 A B 的横坐标分别为 2 2 5 105 求 tan 的值 求的值 2 解析 本小题考查三角函数的定义 两角和的正切 二倍角的正切公式 由条件的 因为 为锐角 所以 22 5 cos cos 105 sin 7 25 sin 105 因此 1 tan7 tan 2 tan tantan 3 1tantan 所以 2 2tan4 tan2 1tan3 tantan2 tan21 1tantan2 为锐角 3 02 2 2 3 4 16 在四面体 ABCD 中 CB CD AD BD 且 E F 分别是 AB BD 的中点 求证 直线 EF 面 ACD 面 EFC 面 BCD 解析 本小题考查空间直线与平面 平面与平面的位置关系的判定 E F 分别是 AB BD 的中点 EF 是 ABD 的中位线 EF AD EF面 ACD AD 面 ACD 直线 EF 面 ACD AD BD EF AD EF BD CB CD F 是 BD 的中点 CF BD 又 EFCF F BD 面 EFC BD面 BCD 面 EFC 面 BCD 17 某地有三家工厂 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A B 及 CD 的中点 P 处 已知 AB 20km CB 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形 ABCD 的区域上 含边界 且 A B 与等距离的 一点 O 处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道 AO BO OP 设排污管道的总长为km y 按下列要求写出函数关系式 设 BAO rad 将表示成的函数关系式 y 设 OP km 将表示成 x的函数关系x yx 式 请你选用 中的一个函数关系式 确定 污水处理厂的位置 使三条排污管道总长度最短 解析 本小题主要考查函数最值的应用 由条件知 PQ 垂直平分 AB 若 BAO rad 则 故 10 coscos AQ OA 又 OP 10 10ta 10 cos OB 10 10tan C B P O A D 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 7 所以 1010 10 10tan coscos yOAOBOP 所求函数关系式为 20 10sin 10 cos y 0 4 若 OP km 则 OQ 10 所以 OA OB xx 2 22 101020200 xxx 所求函数关系式为 2 220200 010yxxxx 选择函数模型 22 10coscos20 10sin10 2sin1 coscos sin y A 令0 得 sin 因为 所以 y 1 2 0 4 6 当时 是的减函数 当时 是的增函数 所以当0 6 0y y 6 4 0y y 时 这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上 且距离 AB 边 6 min 10 10 3y km 处 10 3 3 18 设平面直角坐标系中 设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点 xoy 2 2f xxxb xR 经过这三个交点的圆记为 C 求 求实数 b 的取值范围 求圆 C 的方程 问圆 C 是否经过某定点 其坐标与 b 无关 请证明你的结论 解析 本小题主要考查二次函数图象与性质 圆的方程的求法 令 0 得抛物线与轴交点是 0 b xy 令 由题意 b 0 且 0 解得 b 1 且 b 0 2 20f xxxb 设所求圆的一般方程为 2 x 2 0yDxEyF 令 0 得这与 0 是同一个方程 故 D 2 F y 2 0 xDxF 2 2xxb b 令 0 得 0 此方程有一个根为 b 代入得出 E b 1 x 2 yEy 所以圆 C 的方程为 22 2 1 0 xyxbyb 圆 C 必过定点 0 1 和 2 1 证明如下 将 0 1 代入圆 C 的方程 得左边 0 1 2 0 b 1 b 0 右边 0 22 所以圆 C 必过定点 0 1 同理可证圆 C 必过定点 2 1 19 设是各项均不为零的等差数列 且公差 若将此数列删去某 12 n a aa 4n 0d 一项得到的数列 按原来的顺序 是等比数列 当 n 4 时 求的数值 求的所有可能值 1 a d n 求证 对于一个给定的正整数 n n 4 存在一个各项及公差都不为零的等差数列 其中任意三项 按原来顺序 都不能组成等比数列 12 n b bb 解析 本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用 当 n 4 时 中不可能删去首项或末项 否则等差数列中连续三项成等比数列 1234 a a a a 则推出 d 0 若删去 则有即 2 a 2 314 aa a A 2 111 23adaad A 化简得 0 因为 0 所以 4 2 1 4a dd d 1 a d 若删去 则有 即 故得 1 3 a 2 14 aa a A 2 111 3adaad A 1 a d 综上 1 或 4 1 a d 当 n 5 时 中同样不可能删去首项或末项 12345 a a a a a 若删去 则有 即 故得 6 2 a 15 a aA 34 a aA 1111 423aadadad AA 1 a d 若删去 则 即 3 a 15 a aA 24 a aA 1111 43aadadad AA 化简得 3 0 因为 d 0 所以也不能删去 2 d 3 a 若删去 则有 即 故得 2 4 a 15 a aA 23 a ag 1111 42aadadad gg 1 a d 当 n 6 时 不存在这样的等差数列 事实上 在数列 中 1 a 2 a 3 a 2n a 1n a n a 由于不能删去首项或末项 若删去 则必有 这与 d 0 矛盾 同样若删 2 a 1n a aA 32n a a A 去也有 这与 d 0 矛盾 若删去 中任意一个 则必有 2n a 1n a aA 32n a a A 3 a 2n a 这与 d 0 矛盾 1n a aA 21n a a A 综上所述 n 4 5 略 20 若 为常数 1 1 3 xp fx 2 2 2 3 xp fx A 12 xR p p 且 112 212 fxfxfx f x fxfxfx 求对所有实数成立的充要条件 用表示 1 f xfx 12 p p 设为两实数 且 若 a bab 12 p p a b f afb 求证 在区间上的单调增区间的长度和为 闭区间的长度定义为 f x a b 2 ba m nnm 解析 本小题考查充要条件 指数函数与绝对值函数 不等式的综合运用 恒成立 1 f xfx 12 fxfx 12 32 3 xpxp A 123 log 2 33 xpxp 1232 xpxplog 因为 121212 xpxpxpxppp 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 8 所以 故只需 恒成立 12 pp 32 log 综上所述 对所有实数成立的充要条件是 1 f xfx 12 pp 32 log 1 如果 则的图象关于直线对称 因为 所以区间 12 pp 32 log 1 xp f afb 关于直线 对称 a b 1 xp 因为减区间为 增区间为 所以单调增区间的长度和为 1 a p 1 p b 2 ba 2 如果 12 pp 32 log 1 当时 12 pp 32 log 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 因为 所以 1 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3x p 当 因为 所以 2 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3p x 因为 所以 所以即 f afb 231 log 2 33p ab p 123 log 2 bppa 123 log 2abpp 当时 令 则 所以 21 xpp 12 fxfx 231 log 2 33x ppx 123 log 2 2 pp x 当时 所以 123 2 log 2 2 pp xp 12 fxfx 2 f xfx 23 log 2 3x p 时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 1 f xfx 1 3p x 在区间上的单调增区间的长度和 f x a b 123 12 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 2 当时 21 pp 32 log 1 1 1 1 1 3 3 xp px xp b fx xa p 23 23 log 2 2 2 log 2 2 3 3 xp px xp b fx xa p 当 因为 所以 2 xp b 213 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 2 f xfx 23 log 2 3x p 当 因为 所以 1 xa p 123 log 210 2 331 pp fx fx 12 0 0fxfx 12 fxfx 故 1 f xfx 1 3p x 因为 所以 所以 f afb 231 log 2 33b p pa 123 log 2abpp 当时 令 则 所以 12 xp p 12 fxfx 231 log 2 33p xxp 123 log 2 2 pp x 当时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 1 f xfx 1 3x p 时 所以 123 1 log 2 2 pp xp 12 fxfx 2 f xfx 23 log 2 3p x 在区间上的单调增区间的长度和 f x a b 123 21 log 2 2 pp bpp 123 log 2 222 ppabba bb 综上得在区间上的单调增区间的长度和为 f x a b 2 ba 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 9 20082008 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 年普通高等学校招生全国统一考试 江苏卷 数学附加题参考答案数学附加题参考答案 21 从从 A B C D 四个中选做四个中选做 2 个 每题个 每题 10 分 共分 共 20 分分 A 选修 选修 4 1 几何证明选讲几何证明选讲 如图 设 ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线交于点 E BAC 的平分线与 BC 交于点 D 求证 2 EDEB EC A 证明 如图 因为 是圆的切线 AE 所以 ABCCAE 又因为是的平分线 ADBAC 所以 BADCAD 从而 ABCBADCAECAD 因为 ADEABCBAD DAECADCAE 所以 故 ADEDAE EAED 因为 是圆的切线 所以由切割线定理知 EA 2 EAEC EB 而 所以EAED 2 EDEC EB A B 选修 选修 4 2 矩阵与变换矩阵与变换 在平面直角坐标系中 设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线 F 求 F 的方xOy 22 41xy 2 0 0 1 程 解 设是椭圆上任意一点 点在矩阵对应的变换下变为点 00 P xy 00 P xyA 则有 00 P xy 即 所以 00 0 0 2 0 0 1 xx y y 00 00 2xx yy 0 0 00 2 x x yy 又因为点在椭圆上 故 从而P 22 00 41xy 2 2 00 1xy 所以 曲线的方程是 F 22 1xy C 选修 选修 4 4 参数方程与极坐标参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中 点是椭圆上的一个动点 求的最大值 xOy P xy 2 2 1 3 x y Sxy 解 因椭圆的参数方程为 2 2 1 3 x y 3cos sin x y 为参数 故可设动点的坐标为 其中 P 3cos sin 02 因此 31 3cossin2 cossin 2sin 223 Sxy 所以 当是 取最大值 2 6 S D 选修 选修 4 5 不等式证明选讲不等式证明选讲 设 a b c 为正实数 求证 333 111 2 3 abc abc 证明 因为为正实数 由平均不等式可得 a b c 3 333333 111111 3 abcabc A 即 333 1113 abcabc 所以 333 1113 abcabc abcabc 而 33 22 3abcabc abcabc A 所以 333 111 2 3 abc abc BCED A 苏州分部 邮箱 zhishansz 至善教育祝您的孩子成人 成才 成功 网址 至善教育至善教育 版权所有 严禁未经授权的任何商业用途 10 22 必做题必做题 记动点 P 是棱长为 1 的正方体 1111 ABCD ABC D 的