2015.04.11导数、推理证明复习

试卷第 1 页 总 4 页 复习卷复习卷 1 1 函数 的导函数是 y 3 x x 2 A y 3 B y 2 2 x x 2 3 x x 2 C y 3 D y 3 2 x x 2 x 22ln 2 x x 2 x 2 3 x2ln 2 有一个奇数列 1 3 5 7 9 现进行如下分组 第 1 组含有一个数 1 第 2 组 含两个数 3 5 第 3 组含三个数 7 9 11 试观察每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为 A 等于 n2 B 等于 n3 C 等于 n4 D 等于 n n 1 3 设函数 曲线在点处的切线方程为 2 f xg xx yg x 1 1 g21yx 则曲线在点处切线的斜率为 yf x 1 1 f A B C D 1 4 4 2 1 2 4 已知函数在区间 1 2 上是减函数 那么 b c A 有最大值 B 有最大值 C 有最小值 D 有最小值 5 已知函数在上满足 则曲线在 xfR88 2 2 2 xxxfxf xfy 点处的切线方程是 2 2 f A B C D 44 xy23 xy12 xy 32 xy 6 若存在实常数和 使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满kb F x G xx 足 和恒成立 则称此直线为和的 F xkxb G xkxb ykxb F x G x 隔离直线 已知函数 为自然对数的底数 2 h xx 2 ln m xex e 有下列命题 在递减 2xx 1d x f xh xm x 0 xe 和存在唯一的 隔离直线 和存在 隔离直线 且 h x d xykxb 的最大值为 函数和存在唯一的隔离直线 其中真b 1 4 h x m x2yexe 命题的个数 A 个 B 个 C 个 D 个123 7 用反证法证明某命题时 对结论 自然数 a b c 中恰有一个偶数 正确的反设 为 试卷第 2 页 总 4 页 A a b c 都是奇数 B a b c 都是偶数 C a b c 中至少有两个偶数 D a b c 中至少有两个偶数或都是奇数 8 若 则等于 sincosf xx f A B C D sin cos sincos 2sin 9 已知三角形的三边长分别为 内切圆的半径为 则三角形的面积为cba r 四面体的四个面的面积分别为 内切球的半径as 2 1 rcb 4321 ssss 为 类比三角形的面积可得四面体的体积为 R A B RssssV 2 1 4321 RssssV 3 1 4321 C D RssssV 4 1 4321 RssssV 4321 10 已知函数 则 2 cos f xxx xR A B 1 34 fff 1 34 fff C D 1 43 fff 1 34 fff 11 设是至少含有两个元素的集合 在上定义了一个二元运算 即对任意的SS 对于有序元素对 在中有唯一确定的元素与之对应 若abS ab S a b 对任意的 有 则对任意的 下列等式中不恒成立abS ab ab abS 的是 A B a baa ab aa ba C D bb bb a bba bb 12 已知函数在区间 0 1 内任取两个实数 p q 且 p q 不等 2 ln 1 f xaxx 式恒成立 则实数的取值范围为 1 1 1 f pf q pq a A B C D 15 15 12 30 12 15 13 是曲线的两条互相平行的切线 则与的距离的最大值为 12 l l 1 C y x 1 l 2 l 14 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 1 24 357 681012 911131517 141618202224 设是位于这个三角形数表中从上往下数第 行 从左往右数第个数 ij ai jN ij 试卷第 3 页 总 4 页 如 若 则 42 8a 2014 ij a ij 15 设面积为 S 的平面四边形的第 条边的边长为 P 是该四边形内一i 1 2 3 4 i a i 点 点 P 到第 条边的距离记为 若 则 i i hk aaaa 4321 4321 k S ih i i 2 4 1 类比上述结论 体积为 V 的三棱锥的第 个面的面积记为 Q 是该三棱i 1 2 3 4 i S i 锥内的一点 点 Q 到第个面的距离记为 若等 i d 4 3124 1 1234 i i SSSS kid 则 于 16 定义一个对应法则 现有点与 g o m nom n 0 m 1 3 A 9 5 B 点是线段上一动点 按定义的对应法则 当点在线段 M BA g MM M 上从点的开始运动到点结束时 则点的对应点所形成的轨迹与 x 轴BA A B M M 围成的面积为 17 已知 其中是自然常数 x x xgexxaxxf ln 0 ln e aR 当时 研究的单调性与极值 1 a f x 在 的条件下 求证 1 2 f xg x 18 设函数中 为奇数 均为整数 且均为奇数 求 2 f xaxbxc a b c 1 0 ff 证 无整数根 0 xf 19 已知为函数图象上一点 O 为坐标原点 记直线的斜率 P x y 1lnyx OP 1 若函数在区间上存在极值 求实数 m 的取 kf x f x 1 3 m m 0m 值范围 2 设 若对任意恒有 求实 1 1 1 xxf xa x xg 1 0 x 2 xg 试卷第 4 页 总 4 页 数的取值范围 a 20 已知函数 其中 是自然对数的底数 2 2 e n nx xxa fx na NRe 1 求函数的零点 12 g xf xfx 2 若对任意均有两个极值点 一个在区间 1 4 内 另一个在区间 n nfx N 1 4 外 求a的取值范围 3 已知 且函数在 R 上是单调函数 探究函数的单调性 k mkm N k fx m fx 21 函数 1 求的极值 1ln ax f xaR x f x 2 若在上恒成立 求的取值范围 ln0 xkx 0 k 3 已知 且 求证 12 x xR 12 xxe 1212 ln lnlnxxxx 22 函数 2 2lnf xxaxx aR I 函数在点处的切线与直线垂直 求 a 的值 yf x 1 1f210 xy II 讨论函数的单调性 f x III 不等式在区间上恒成立 求实数 a 的取值范围 2 2 ln3xxxax 0 e 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 1 页 总 12 页 参考答案参考答案 1 D 解析 试题分析 故选 D y 3 x2 x 33 2 2 xx xx 2 322ln2 xx xx 考点 导数的计算 2 B 解析 试题分析 由题意 1 13 3 5 23 7 9 11 33 故可得每组内各数之和与其组的编号数 n 的关系为 n3 故选 B 考点 归纳推理 点评 简单题 通过归纳所给条件的共同特点 得出一般规律 3 解析 试题分析 由曲线在点处的切线方程为得 从而 yg x 1 1 g21yx 2 1 g 可得 所以曲线在点 412 1 1 2 gfxxgxf yf x 处切线的斜率为 故选 1 1 f 考点 函数导数的几何意义 4 B 解析 由 f x 在 1 2 上是减函数 知 x 1 2 则15 2b 2c0b c 5 A 解析 解 f x 2f 2 x x2 8x 8 f 2 2f 2 1 f 2 4 f x 2f 2 x 2x 8 f 0 2f 2 8 f 2 2f 0 6 f 2 4 根据导数的几何意义可得 曲线 y f x 在点 2 f 2 处的切线斜率 k f 2 4 过 1 1 的切线方程为 y 4 4 x 2 即 y 4x 4 故选 A 6 C 解析 由已知得 当 2 22 2 ln 2 exexe f xh xm xxexfxx xx 0fx 且时 得到 所以该函数在上递减 所以正确 由已知得0 x 0 xe 0 xe 到 所以隔离直线由许多条 只要满足即可 所以错误 0 0h xd x 01y 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 2 页 总 12 页 由和可知 函数有许多隔离直线 函数与平行的切线方程为 h x x h x x 所以且的最大值为 最小值为 2 所以正确 证明出 1 4 yx b 1 4 即可 所以正确 所以选 C 2 202 ln20 xexeexexe 且 7 D 解析 试题分析 自然数 a b c 中恰有一个偶数 的反面是 a b c 中至少有两个偶数或 都是奇数 即可得出 解 用反证法证明某命题时 对结论 自然数 a b c 中恰有一个偶数 正确的反设是 a b c 中至少有两个偶数 或都是奇数 故选 D 点评 本题考查了反证法 属于基础题 8 A 解析 解 因为 因此 选 A sincos s f xxfxinx f sin 9 C 解析 解 设四面体的内切球的球心为 O 则球心 O 到四个面的距离都是 R 所以四面体的体积等于以 O 为顶点 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 类比三角形的面积可得四面体的体积为 RssssV 3 1 4321 故选 C 10 A 解析 试题分析 又 那么为增函 2sinfxxx 2cos0fxx 2sinfxxx 数 又 可知当时 为减函数 当时 为增函数 又 00f 0 x f x0 x f x 为偶函数 则 因为 22 coscosfxxxxxf x 44 ff 所以 那么 1 43 1 34 fff 1 34 fff 考点 导数与函数的单调性 11 A 解析 由题设 若 则 与 ab a b a baa aa baa aa b 是中唯一确定的元素相矛盾 故选 A a bS 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 3 页 总 12 页 12 A 解析 试题分析 由已知得 且 等价于函数 1 1 1 1 1 f pf q pq 1 1 1 2 pq 在区间上任意两点连线的割线斜率大于 1 等价于函数在区间 2 ln 1 f xaxx 1 2 的切线斜率大于 1 恒成立 1 2 即恒成立 变形为 因为 2 1 a fxx x 21 1 a x x 2 231axx 故 2 23115xx 15a 考点 1 导数的几何意义 2 二次函数的最大值 13 2 2 解析 试题分析 因为 故 即 从而得 故切 2 1 y x 2 0 1 0k x 0 1 x k 0 yk 线方程为 与 即 1 ykk x k 1 ykk x k 与 由平行线间距离公式可得 20kxyk 20kxyk 2 4 1 k d k 故 2 2 161616 8 1 11 2 k d k k k k k 2 2d 考点 导数几何意义 平行线间距离 14 79 解析 试题分析 从所给的部分数表可看出 所有奇数都在奇数行 所有偶数都在偶数行 是偶数 所以它位于偶数行 将奇数除外 前行偶数共有2014 ij a n 个 由得 所以 22 2462 1 2 n n nn n 22014n 1007n 是第 1007 个偶数 因为 所以2014 ij a 31 32992100732 331056 位于第 32 偶数行 即第行 前 31 行偶数共有2014 ij a 2 3264 64i 个偶数 所以第 31 偶数行的最后一个数为 第 32 偶数行的31 32992 2 9921984 第一个数为 2013 是第 所以 1986 2014 1986 115 2 15j 64 1579ij 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 4 页 总 12 页 考点 1 合情推理 归纳推理 2 数列的计算 15 3V k 解析 解 因为根据三棱锥的体积公式 11223344 11223344 1234 11111 vshs hs hs hs hv 33333 s hs hs hs h3v 3v hshhh k 16 4 解析 试题分析 由已知设 是线段上一动点 则 按 ba M M BA 91 4 aab 定义的对应法则 则 的轨迹方程为 g MM 4 aaMM 故点所形成的轨迹与 x 轴围成的面积为 31 4 2 xxyM 4 3 8 5 3 7 4 4 3 1 3 1 4 4 4 3 2 32 1 3 2 1 3 2 22 xxxxdxxdxx 考点 新定义问题及定积分 17 的极小值为 f x1 1 f 1 2 f xg x 解析 试题分析 1 因为 那么求解导数的正负 xxxfln x x x xf 11 1 得到单调性的求解 2 的极小值为 1 即在上的最小值为 1 f x f x 0 e 构造函数令 确定出最大值 比0 xf min 1f x 2 1ln 2 1 x x xgxh 较大小得到 解 2 分 xxxfln x x x xf 11 1 当时 此时单调递减10 x 0fx f x 当时 此时单调递增 4 分 ex 1 0fx f x 的极小值为 6 分 f x1 1 f 的极小值为 1 即在上的最小值为 1 f x f x 0 e 5 分0 xf min 1f x 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 5 页 总 12 页 令 8 分 2 1ln 2 1 x x xgxh 2 ln1 x x xh 当时 在上单调递增 9 分ex 00 x h h x 0 e 11 分 minmax 1 2 1 2 1 2 11 xf e ehxh 在 1 的条件下 12 分 1 2 f xg x 考点 本题主要考查了导数在研究函数中的运用 点评 解决该试题的关键是利用导数的正负判定函数单调性 和导数为零点的左右符号的 正负 进而得到函数极值 进而求解最值 18 详见解析 解析 试题分析 采用反证法 假设有整数根 则 进而0 xfn 2 0anbnc 均为奇数 即为奇数 为偶数 即可得到也为奇数 即可得到 1 0 ffcab b 为奇数 即与均为奇数 这与 为奇数 为奇数时 2 anbnn anb nanb abn 为偶数矛盾 故命题得证 anb 证明 假设有整数根 则 2 分 0 xfn 2 0anbnc 而均为奇数 即为奇数 为偶数 4 分 1 0 ffcab 为奇数 也为奇数 6 分 ab 为奇数 为奇数 与均为奇数 9 分 c 2 anbnn anb nanb 为奇数 为奇数 又为偶数 矛盾 11 分 abnanb 无整数根 12 分 0 xf 考点 函数与方程的综合运用 19 1 2 1 3 2 10 a 解析 试题分析 1 先求其导数 令 求出其导数为 0 的值 然后判 x x x y k ln1 0 y x 断两侧的单调性是否发生改变 求出极值点 让极值点落在 即可求出的x 3 1 mmm 范围 2 首先代入求出函数 是负数 所以讨论当 x xa x xgln 1 1 x x x ln 1 1 0 a 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 6 页 总 12 页 的情况 恒有 设 求 设0 a 02 xg 2 xgxh 2 2 1 142 xx xax xh 由来确定的范围 来确定的正负 即的正负 从 142 2 xaxxt a xt x h 而确定的单调性 如果恒成立 只需的最大值小于 0 从而求 xh 02 xg 2 xg 出 a 的范围 试题解析 1 由题意 1ln x kfx x 0 x 所以 2 分 2 1lnlnxx fx xx 当时 当时 所以在上单调递增 01x 0fx 1x 0fx fx 0 1 在上单调递减 故在处取得极大值 1 fx 1x 因为函数在区间 其中 上存在极值 fx 1 3 m m 0m 所以 得 即实数的取值范围是 4 分 01 1 1 3 m m 2 1 3 m m 2 1 3 2 由题可知 因为 所以 当时 不合题0 a 1 0 x 1 ln0 1 x x x 0a 意 当时 由 可得 6 分0a 2g x 2 1 ln0 1 ax x x 设 则 2 1 ln 1 ax h xx x 2 2 1 142 xx xax xh 设 8 分 2 24 1t xxa x 11644 2 2 aaa 1 若 则 所以在内单调递增 又10 a0 0 xt 0 x h h x 0 1 所以 所以符合条件 10 分 1 0h 1 0h xh 1 4 1 0ta 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 7 页 总 12 页 不合要求 综合 1 2 可得 12 分10 a 考点 1 利用函数的导数求其极值 2 导数的综合问题 20 1 2 3 函数在 R 上是减函数 123 0 11 11 xxaxa 1 2 m fx 解析 试题分析 1 2 22 12 22 2 1 22 x xxx xxae xxaxxa g xfxfx eee 把的零点问题转化为方程的根的问题 g x 2 2 10 x xxae 2 因为 由题设可知 2 212 n nx nxnxan fx e 有两个两点 其中一个在 一个在外 2 212h xnxnan 1 4 1 4 解这个不等式 可得实数的取值范围 140hh a 3 2 2 2122 kk kxkx kxkxakxxa fxfx ee 由函数在 R 上是单调函数 所以 得到与的关系 然后由此关系推出 k fx 0 k fx ak 0 m fx 试题解析 解 1 222 12 22 22 2 e1 eee x xxx xxaxxaxxa g xf xfx 令g x 0 有 ex 1 0 即x 0 或 x2 2x a 0 44a 当时 函数有 1 个零点 1 分1a 0 g x 1 0 x 当时 函数有 2 个零点 2 分1a 0 g x 12 0 1xx 当时 函数有两个零点 3 分0a 0 g x 12 0 2xx 当时 函数有三个零点 1 0aa 0 g x 4 分 123 0 11 11 xxaxa 2 5 分 22 2 22 e 2 e2 1 2 ee nxnx n nxnx xn xxanxnxa n fx 设 的图像是开口向下的抛物线 2 2 1 2 n gxnxnxa n n gx 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 8 页 总 12 页 由题意对任意有两个不等实数根 Nn 0 n gx 12 x x 且则对任意 12 1 4 1 4 xx Nn 1 4 0 nn gg 即 有 7 分 6 1 8 0nana n 6 1 8 0aa n 又任意关于递增 Nn 6 8 n n 6 8862 n 故 所以 min 6 1 8 a n 2a 所以的取值范围是 9 分a 1 2 3 由 2 知 存在 又函数在 R 上是单调 Rx 2 2 1 2 0 e k kx kxkxa k fx k fx 函数 故函数在 R 上是单调减函数 10 分 k fx 对来说 2 2 1 20kxkxak 即 11 分 222 4 1 4 2 4 1 0 k kk kak ak 2 1 1 a k 所以对于函数来说 m fx 22 2222 22 14 4 1 41 1 m km mm amm kk 由知 12 分 Nk mkm 0 m 即对任意 Rx 2 2 1 2 0 e m mx mxmxa m fx A 故函数在 R 上是减函数 13 分 m fx 考点 1 函数的零点 2 利用导数研究函数的单调性 3 一元二次方程根的分布 21 1 2 ln 0 x a a fxfxxe x 令得 x 0 a e a e a e fx 0 xf 极大值 有极大值 xf a e 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 9 页 总 12 页 2 当时由 1 知 1 aexex xf xx 1ln1ln 即有最大值 由恒成立即上恒成立 0 0ln 在kx x 0 ln 在k x x e k 1 3 由题意得 0 0 221121 xxxexxxe 又由 1 2 知上单增 0 ln e x xf x 在 121 121 lnln xxx xxx 221 221 lnln xxx xxx 则 得即 1 x 2 x 21 2121 lnln lnln 21 2 21 1xx xxxx xx x xx x 2121 lnlnln xxxx 解析 略 22 I II 当时 函数 f x 在区间上是单调递增 2 5 a2 a 0 当时 函数 f x 在区间上单调递增 在区间2 a 2 2 0 2 aa 上单调递减 在区间上单调递增 III 2 2 2 2 22 aaaa 2 2 2 aa 4 a 解析 试题分析 I 求导 利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进行求解 II 求导 讨论二次方程的根的个数 根的大小关系 进而判定其单调性 III 分离常数 转化为 求函数的求值问题 试题解析 I 函数定义域为 1 分 xf 0 x axxf 1 22 由题意 解得 4 分af23 1 1 2 1 23 2 1 1 af 2 5 a II x axx x axxf 1221 22 2 令 122 2 axxxg 84 2 a 本卷由系统自动生成 请仔细校对后使用 答案仅供参考 答案第 10 页 总 12 页 i 当时 函数 f x 在22 a 084 2 a 0 xg 0 xf 上单调递增 0 ii 当时 函数 f x 在22 或a 084 2 a 0 xg 0 xf 上单调递增 0 iii 当时 2 a0 2 2 0 2 2 0122 2 2 2 1 2 aa x aa xaxx 在区间上 函数 f x 单调递增 在区间上 0 1 x0 xg 0 xf 21 xx 函数 f x 单调递减 在区间上 0 xg 0 xf 2 x0 xg 0 xf 函数 f x 单调递增 iv 当时 2 a 0122 2 axx 0 2 2 0 2 2 2 2 2 1 aa x aa x 在区间上 函数 f x 单调递增 8 分 0 0 xg0 xf 综上所述 当时 函数 f x 在区间上是单调递增 2 a 0 当时 函数 f x 在区间上单调递增 在区间2 a 2 2 0 2 aa 上单调递减 在区间上单调递增 2 2 2