新人教八年级数学上《轴对称》导学案

1 A B C D 13 1 1 轴对称轴对称 一 学习目标一 学习目标 1 认识轴对称和轴对称图形 并能找出对称轴 2 知道轴对称和轴对称图形的区别和联系 3 掌握轴对称的性质 二 自主探究二 自主探究 合作展示合作展示 探究 一 探究 一 自学课本 58 页 完成以下问题 1 什么是轴对称图形 你能举几个轴对称图形的例子吗 2 试一试 下面的图形是轴对称图形吗 如果是 画出它的对称轴 1 2 3 4 5 探究 二 探究 二 自学课本 59 页 完成以下问题 1 什么叫做两个图形成轴对称 你能举几个生活中两个图形成轴对称的例子吗 W 探究 三 探究 三 成轴对称的两个图形全等吗 如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形 那么这两个图形全等 吗 这两个图形对称吗 归纳 归纳 区别 轴对称图形指的是 个图形沿一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相 轴对称指的是 个图形沿一条直线折叠 这个图形能够与另一个图形 联系 把成轴对称的两个图形看成一个整体 它就是一个 把一个轴对称图形沿对称 轴分成两个图形 这两个图形关于这条直线对称 简称轴对称 练习练习 1 我国的文字非常讲究对称美 下面四个图案中不是轴对称图形的是 2 下列图形中不是轴对称图形的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 3 以下汽车标志中 和其他三个不同的是 A B C D 4 下列图形中对称轴最多的是 A 圆 B 正方形 C 角 D 线段 5 写出英文 26 个大写字母中是轴对称图形的字母 6 写出三个是轴对称图形的汉字 探究 四 探究 四 轴对称的性质轴对称的性质 1 如图 1 ABC 和 A B C 关于直线 MN 对称 点 A B C 分别是点 A B C 的对称点 线段 AA BB CC 与直线 MN 有什么关系 1 设 AA 交对称轴 MN 于点 P 将 ABC 和 A B C 沿 MN 折叠后 点 A 与 A 重合吗 于是有 PA MPA 度 2 对于其他的对应点 如点 B B C C 也有类似的情况吗 3 那么 MN 与线段 AA BB CC 的连线有什么关系呢 2 垂直平分线的定义 经过线段 并且 这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线线段的垂直平分线 3 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称 那么 是任何一对对应点所连线段的 类似地 轴对称图形的对称轴 是任何一对对应点所连线段的 练习练习 1 教材 60 页 1 2 在教材上完成 2 如图是我国几家银行的标志 在这几个图案中是轴对称图形的有哪些 它们各有几条对称轴 你能画 出来吗 小组讨论完成 学习小结与反思 图 1 3 13 1 2 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 一 学习目标一 学习目标 1 掌握线段垂直平分线的性质 2 掌握线段垂直平分线的判定 3 运用线段垂直平分线的性质解决问题 二 复习二 复习 右面的图形是轴对称图形吗 如果是 画出它的对称轴 三 探究 一 三 探究 一 探究教材 61 页探究问题探究问题 1 量出 AP1 AP2 AP3 与 BP1 BP2 BP3 讨论发现什么样的规律 总结线段垂直平分线的性质总结线段垂直平分线的性质 2 你能利用判定两个三角形全等的方法证明这个性质吗 如图 1 直线lAB 垂足是C AC BC 点P在l上 求证 PAPB 探究 二 探究 二 反过来 图 2 中如果 PA PB 那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢 说明理由 1 已知 2 求证 3 需要作辅助线吗 怎么作 证明 AB P ABAB P 图 1 4 总结线段垂直平分线的性质判定 总结线段垂直平分线的性质判定 四 练习四 练习 1 如右图所示 ABC 中 BC 10 边 BC 的垂直平分线分别交 AB BC 于点 E D BE 6 求 BCE 的周长 2 如图 ABC 中 AB AC 18cm BC 10cm AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于 D 点 求 BCD 的周长 五 小结与反思五 小结与反思 5 13 1 3 轴对称 轴对称 2 一 学习目标一 学习目标 1 会依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴 2 掌握作出轴对称图形的对称轴的方法 即线段垂直平分线的尺规作图 3 运用线段垂直平分线的性质解决实际问题 二 二 复习复习 1 设A B两点关于直线MN对称 则 垂直平 分 2 轴对称图形的对称轴与对应点所连线段的垂直平 分线有什么关系 3 如图 不通过折叠的方法 你能验证出这两个四 边形是否关于直线 MN 对称吗 二 预习新知二 预习新知 P62 P63 1 1 成轴对称的两个图形其对称轴是 成轴对称的两个图形其对称轴是 所连接的所连接的 2 2 作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段的 作轴对称图形的对称轴就是做作出一对对应点所连线段的 三 探究新知三 探究新知 预习 63 页例 2 思考 1 为什么要分别以点 A B 为圆心 大于 1 2AB 的长为半径画弧 2 为什么直线 CD 就是 AB 垂直平分线 也是线段 AB 的对称轴 四 练习四 练习 1 画出下边两个轴对称图形的对称轴 6 2 课本 P64 练习题 1 2 3 3 下面是我们学过的一些几何图形 说出下面图形是不是轴对称图形 并完成下表 长方形 正方形 三角形 等腰三角形 等边三角形 平行四边形 任意梯形 等腰梯形 圆 4 课本习题 13 1 66 页 10 题 五 作业五 作业 课本习题 13 1 66 页 12 题 六 小结与反思 六 小结与反思 图 形 长方 形 正方 形 三角 形 等腰 三角 形 等边 三角 形 平行 四边 形 任意 梯形 等腰 梯形 圆 对称轴 的条数 7 13 2 画轴对称图形画轴对称图形 一 学习目标一 学习目标 1 认识轴对称图形 探索并了解它的基本性质 2 能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形 二 温故知新二 温故知新 1 什么是轴对称图形 2 请画出下列图形的对称轴 三 自主探究三 自主探究 合作展示合作展示 探究 一 探究 一 自学 认真阅读教材自学 认真阅读教材 6767 页图页图 13 2 113 2 1 1 1 操作 操作 自己动手在纸上画一个图案 将这张纸折叠 描图 再打开纸 看看你得到了什么 2 2 归纳 归纳 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形 这个图形与原图形 的 完全相同 2 新图形上的每一点 都是原图形上的某一点关于直线l的 点 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴 探究 二 探究 二 1 请同学们尝试解决以下问题 如图 1 实线所构成的图形为已知图形 虚线为对称轴 请画出已知图形的轴对称图形 问题 问题 1 你可以通过什么方法来验证你画的是否正确 2 和其他同学比较一下 你的方法是最简单的吗 图 1 8 图 2 图 3 2 如图 2 已知点 A 和直线l 试画出点 A 关于直线l的对称点 A A 3 如图 3 已知点 A 和直线l 试画出线段 AB 关于直线l的对称图形 B A 4 例题 如图 4 已知 ABC 直线l 画出 ABC 关于直线l的对称图形 解题反思解题反思 四 双基检测四 双基检测 1 把下列图形补成关于l对称的图形 2 小明在平面镜中看到身后墙上钟表显示的时间是 12 15 这时的实际时间应该是 五 学习反思五 学习反思 请你对照学习目标 谈一下这节课的收获及困惑 ll l l l l A B C 图 4 l 9 13 2 2 用坐标表示轴对称用坐标表示轴对称 一 学习目标一 学习目标 1 能够经过探索利用坐标来表示轴对称 2 掌握关于x轴 y轴对称的点的坐标特点 二 温故知新二 温故知新 如图 1 观察图 1 中两个圆脸有什么关系 2 若已知图 1 中圆脸右眼的坐标为 4 3 左眼 的坐标为 2 3 嘴角两个端点 右端点的坐标为 4 1 左端点的坐标为 2 1 你能根据轴对称的性质写出左边圆 脸上左眼 右眼及嘴角两端点的坐标吗 三 自主探究三 自主探究 合作展示合作展示 探究 一 探究 一 1 在如图 2 所示平面直角坐标系内画出下列已知点以及对称点 并把坐标填在表格中 你能发现坐 标间有什么规律 已知点A 2 3 B 1 2 C 6 5 D 0 5 1 E 4 0 关于x轴 对称的点 A B C D E 关于y轴 对称的点 A B C D E 2 归纳 点 x y 关于x轴对称的点的坐标是 点 x y 关于y轴对称的点的坐标是 探究 二 探究 二 例题 如图 3 四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A 5 1 B 2 1 C 2 5 图 2 图 3 图 1 10 D 5 4 分别作出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形 在教材中完成 例题反思 四 双基检测四 双基检测 1 分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标 2 6 1 2 1 3 4 2 1 0 关于x轴对称的点 关于y轴对称的点 2 已知点P 2a b 3a 与点 P 8 b 2 1 若点P与点 P关于x轴对称 则 a b 2 若点P与点 P关于y轴对称 则 a b 3 如图 4 AOB 关于x轴对称 点 A 的坐标为 1 2 标出点 B 的坐标 3 如图 5 利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点 分别作出与 ABC 关于x轴和y轴对称的图形 五 学习反思五 学习反思 请你对照学习目标 谈一下这节课的收获及困惑 图 5 图 4 11 13 3 1 等腰三角形 等腰三角形 1 一 学习目标一 学习目标 1 了解等腰三角形的概念 掌握等腰三角形的性质 2 会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题 二 温故知新二 温故知新 1 下列图形不一定是轴对称图形的是 A 圆 B 长方形 C 线段 D 三角形 2 怎样的三角形是轴对称图形 答 3 有两边相等的三角形叫 相等的两边叫 另一边叫 两腰的夹角叫 腰和底边的夹角叫 4 如图 在 ABC 中 AB AC 标出各部分名称 三 自主探究三 自主探究 合作展示合作展示 一 一 操作 实践 取一等腰三角形纸片 照图折叠 找出其中重合的线段和角 填入下表 A A A B C D B C B D C 1 2 3 问题问题 1 1 根据上表你能得出哪些结论 并将你的结论与同学交流 重合的线段重合的线段重合的角重合的角 12 问题问题 2 2 你能利用三角形全等的知识证明以上结论吗 要求 选择以教材不同的证明方法 二 二 新知应用新知应用 例例 1 1 填空 1 如图 1 所示 根据等腰三角形性质定理在 ABC中 AB AC时 AD BC AD是中线 AD是角平分线 2 等腰三角形一个底角为 70 它的顶角为 3 等腰三角形一个角为 70 它的另外两个角为 例例 2 2 如图 2 所示 在 ABC中 AB AC 点D在AC上 且BD BC AD 求 ABC各角的度数 分析 根据等边对等角的性质 我们可以得到 A ABC 再由 BDC A 就可得到 ABC 2 再由三角形内角和为 180 就可求 出 ABC 的三个内角 解 例题反思 四 双基检测四 双基检测 1 在 ABC中 AB AC 1 如果 A 70 则 C B 2 如果 A 90 则 B C 3 如果有一个角等于 120 则其余两个角分别是多少度 4 如果有一个角等于 55 则其余两个角分别是多少度 2 如图 3 所示 ABC是等腰直角三角形 AB AC BAC 90 AD是底边BC上的高 标出 B C BAD DAC的度数 图中有哪些相等线段 3 如图 4 在 ABC中 AB AD DC BAD 26 求 B和 C 的度数 D C B A 图 1 图 2 DC A B DC A B 图 3 图 4 13 五 学习反思五 学习反思 请你对照学习目标 谈一下这节课的收获及困惑 13 3 1 等腰三角形 等腰三角形 2 一 学习目标一 学习目标 1 理解等腰三角形的判定方法 2 会运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题 二 温故知新二 温故知新 1 等腰三角形的两边长分别为 6 8 则周长为 2 等腰三角形的一个角为 70 则另外两个角的度数是 3 等腰三角形的一个角为 120 则另外两个角的度数是 三三 自主探究 自主探究 合作展示合作展示 一 一 思考思考 1 如图 1 位于在海上 A B 两处的两艘救生船接到 O 处遇险船只的报警 当时测得 A B 如果这两艘救生船以同样的速度同时出发 能不能大约同时赶到出事地点 不考虑风浪因素 2 我们把这个问题一般化 在一般的三角形中 如果有两个角相等 那么它们所对的边有什么 关系 已知 在 ABO 中 A B 求证 AO AO 要求 选择以教材不同的证明方法 证明 归纳归纳 等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的 也相等 简写成也相等 简写成 二 二 新知应用新知应用 1 求证 如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边 那么这个三角形是等腰三角形 请同学们完成下列问题 1 已知 如图 2 是 ABC 的外角 1 AD 求证 分析 要证明 AB AC 可先证明 B 因为 1 所以可设法找出 B C 与 1 2 的关系 2 请同学们完整的写出解题过程 证明 2 1 E D C A B 图 2 AB 0 图 1 14 例题反思 四 双基检测四 双基检测 1 如图 5 A 36 DBC 36 C 72 分别计算 1 2 的度数 并说明图中有哪些等腰 三角形 2 如图 6 把一张矩形的纸沿对角线折叠 重合部分是一个等腰三角形吗 为什么 3 求证如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 4 如图 7 AC 和 BD 相交于点 O 且 AB DC OA OB 求证 OC OD 图 5 2 1 D C A B 图 6 2 1 D C A B 0 图 7 15 五 学习反思五 学习反思 请你对照学习目标 谈一下这节课的收获及困惑 13 3 2 等边三角形 等边三角形 1 一 学习目标一 学习目标 1 了解等边三角形是特殊的等腰三角形 2 理解等边三角形的性质与判定 二 温故知新二 温故知新 1 在 ABC 中 AB AC 1 如果 A 70 则 C B 2 如果 A 90 则 B C 3 如果 A 60 则 B C 2 在 ABC 中 如果 AB AC BC 则 A B C 3 的三角形是等边三角形 等边三角形是一种特殊的 三角 形 三 三 自主探究自主探究 合作展示合作展示 问题问题 1 把等腰三角形的性质用于等边三角形 能得到什么结论 2 一个三角形满足什么条件就是等边三角形 3 你认为有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形吗 如果是请说明理由 新知应用新知应用 例 4 如图 1 ABC 是等边三角形 DE BC 分别交 AB AC 于点 D E 求证 ADE 是等边三角形 要求 选择以教材不同的证明方法 ED C A B 图 1 16 例题反思 四 双基检测四 双基检测 1 试在图 3 中画出等边三角形的三条对称轴 你能发现什么 2 如图 4 等边三角形 ABC 中 AD 是 BC 上的高 BDE CDF 60 图中有哪些与 BD 相等的线段 3 已知 如图 5 ABC 是等边三角形 BD 是中线 延长 BC 到 E 使 CE CD 求证 DB DE 图 3 C A B 图 5 E D C A B 图 4 E D C A B F 17 五 学习反思五 学习反思 请你对照学习目标 谈一下这节课的收获及困惑 12 3 2 等边三角形 等边三角形 2 一 学习目标一 学习目标 1 理解含 30 锐角的直角三角形的性质 2 能利用含 30 锐角的直角三角形的性质解决简单的实际问题 二 温故知新二 温故知新 口答 1 等边三角形三边 三个角都等于 2 等边三角形是轴对称图形 它有 条对称轴 它的对称轴 三 自主探究三 自主探究 合作展示合作展示 探究 一 探究 一 1 如图 1 将两个含有 30 角的三角形放在一起 你能借助这个图形 找到 Rt ABC 的直角边 BC 与斜边 AB 之间的数量关系吗 2 你能用所学的知识验证以上结论吗 方法 1 如图 2 ABC 是等边三角形 AD BC 于 D BAD BD BC AB 方法 2 如图 3 ABC 中 延长 BC 到 D 使 BD AB 连接 AD 则 ABD 是 三角 形 BC 1 2 1 2 探究 二 探究 二 例题 如图 4 是屋架设计图的一部分 点 D 是斜梁 AB 的中点 立柱 BC DE 垂直于横梁 AC AB 7 4m A 30 立柱 BC DE 要多长 A CB D 图 2 图 1 B A D C 图 3 18 分析 观察图形可以发现在 Rt AED 与 Rt ACB 中 由于 A 30 所以 DE BC 又由 D 是 AB 的中点 所以 DE 例题反思 四 双基检测四 双基检测 1 等腰三角形中 一腰上的高与底边的夹角为 30 则此三角形中腰与底边的关系 A 腰大于底边 B 腰小于底边 C 腰等于底边 D 不能确定 2 在 Rt ABC 中 C 90 度 A 30 CD AB 于点 D AB 8cm 则 BC BD AD 3 如图 6 在 ABC 中 C 90 B 15 AB 的垂直平分线交 BC 于 D 交 AB 于 M 且 BD 8 求 AC 之 长 五 学习反思五 学习反思 请你对照学习目标 谈一下这节课的收获及困惑 D C AE B 图 4 图 6 M D BC A 19 第十三章第十三章 轴对称复习轴对称复习 一 认清目标 明确要求 一 认清目标 明确要求 本章的课程学习目标是 本章的课程学习目标是 1 通过具体实例认识轴对称 轴对称图形 探索轴对称的基本性质 理解对应点连线被对称轴垂直平分的通过具体实例认识轴对称 轴对称图形 探索轴对称的基本性质 理解对应点连线被对称轴垂直平分的 性质 性质 2 探索简单图形之间的轴对称关系 能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形 认识和探索简单图形之间的轴对称关系 能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形 认识和 欣赏轴对称在现实生活中的应用 能应用轴对称进行简单的图案设计 欣赏轴对称在现实生活中的应用 能应用轴对称进行简单的图案设计 3 了解线段的垂直平分线的概念 探索并掌握其性质 了解等腰三角形 等边三角形的有关概念 探索并了解线段的垂直平分线的概念 探索并掌握其性质 了解等腰三角形 等边三角形的有关概念 探索并 掌握它们的性质以及判定方法 掌握它们的性质以及判定方法 4 能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题 在观察 操作 想象 论证 交能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题 在观察 操作 想象 论证 交 流的过程中 发展空间观念 激发学习兴趣 流的过程中 发展空间观念 激发学习兴趣 二 自主复习 盘点知识 二 自主复习 盘点知识 基本概念基本概念 1 轴对称图形 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线如果一个图形沿着一条直线 两侧的图形能够 两侧的图形能够 这个图形就是轴对称图形 折痕所在 这个图形就是轴对称图形 折痕所在 的这条直线叫做的这条直线叫做 图形上能够重合的点叫 图形上能够重合的点叫 2 轴对称 轴对称 如果把一个图形沿着某一条直线折叠后 能够与另一个图形重合 那么这两个图形关于这条直线成如果把一个图形沿着某一条直线折叠后 能够与另一个图形重合 那么这两个图形关于这条直线成 这条直线叫做 这条直线叫做 两个图形中的对应点叫 两个图形中的对应点叫 3 轴对称的性质 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线成轴对称 那么对称轴是任何一对对应点连线段的如果两个图形关于某条直线成轴对称 那么对称轴是任何一对对应点连线段的 其 其 中对应线段中对应线段 对应角 对应角 4 角的平分线的性质角的平分线的性质 1 性质 角的平分线上的点到 性质 角的平分线上的点到 的距离相等 的距离相等 2 判定 到角两边距离相等的点在 判定 到角两边距离相等的点在 上 上 5 线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 1 经过经过 的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也叫的直线 叫做这条线段的垂直平分线 也叫 2 性质 线段垂直平分线上的点到性质 线段垂直平分线上的点到 的距离相等 的距离相等 20 3 判定 与一条线段两个端点距离相等的点 在 判定 与一条线段两个端点距离相等的点 在 上 上 4 线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是 的集合 的集合 6 用坐标表示对称用坐标表示对称 点点 x y 关于关于 x 轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为 点点 x y 关于关于 y 轴对称的点的坐标为轴对称的点的坐标为 7 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 1 等腰三角形是 等腰三角形是 图形 它的对称轴是图形 它的对称轴是 2 等腰三角形的两腰 等腰三角形的两腰 3 等腰三角形的两个底角 等腰三角形的两个底角 简称 简称 4 等腰三角形的 等腰三角形的 三线合一三线合一 是指是指 8 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 1 定义定义 边边 2 从角上从角上 简称简称 9 等边三角形的性质 等边三角形的性质 1 对称性 对称性 2 边 边 3 角 角 4 等边三角形的 等边三角形的 三线合一三线合一 是指是指 10 等边三角形的判定等边三角形的判定 1 定义定义 边边 2 从角上从角上 3 有一个角有一个角 的的 是等边三角形是等边三角形 11 三角形三个内角平分线的交点到三角形三个内角平分线的交点到 距离相等 距离相等 12 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三边垂直平分线的交点到 距离相等 距离相等 13 在直角三角形中 如果一个锐角等于在直角三角形中 如果一个锐角等于 那么它所对的直角边等于 那么它所对的直角边等于 的的 三三 方法归纳方法归纳 1 1 证明线段相等的方法 证明线段相等的方法 1 1 全等三角形 全等三角形 2 2 角平分线性质定理 角平分线性质定理 3 3 线段垂直平分线性质定理 线段垂直平分线性质定理 4 4 等角对等边 等角对等边 2 2 证明角相等的方法 证明角相等的方法 1 1 全等三角形 全等三角形 2 2 平行线的性质 平行线的性质 3 3 余角 补角 的性质 余角 补角 的性质 4 4 等边对等角 等边对等角 三三 误区警示 误区警示 1 注意分类讨论思想 注意分类讨论思想 在解决等腰三角形的边和角的问题时要注意分类讨论在解决等腰三角形的边和角的问题时要注意分类讨论 如等腰三角形的周长为如等腰三角形的周长为 20 有一边为 有一边为 8 这时 这时 就必须讨论所给的这条边是腰还是底就必须讨论所给的这条边是腰还是底 如已知等腰三角形一角度数求另外两个角的度数如已知等腰三角形一角度数求另外两个角的度数 这时就必须讨论这时就必须讨论 21 所给的这个角是顶角还是底角所给的这个角是顶角还是底角 再比如涉及三角形的高时 通常需要考虑高在三角形的外部还是内部 再比如涉及三角形的高时 通常需要考虑高在三角形的外部还是内部 2 应用 应用 三线合一三线合一 性质作辅助线时 所作的辅助线性质作辅助线时 所作的辅助线不能不能同时满足两线的性质 如过点同时满足两线的性质 如过点 A 作作 EF BC 并使并使 EF 平分平分 BC 3 不要认为 有一个角等于 不要认为 有一个角等于 300 那么它所对的边就一定等于另一条边的一半 前提条件是在直角 那么它所对的边就一定等于另一条边的一半 前提条件是在直角 三角形中 三角形中 二 知识再现二 知识再现 1 如图 1 下列图形是轴对称图形的有 填序号 2 如图 3 所示 已知 ABC 和直线 MN 求作 A B C 使 A B C 和 ABC 关于直线 MN 对称 不要求写作法 只保留作图痕迹 3 如图 4 所示 有一块三角形田地 AB AC 10m 作 AB 的垂直平分线 ED 交 AC 于 D 交 AB 于 E 量得 BDC 的周长为 17m 请你替测量人员计算 BC 的长 4 如图 5 所示 AB AC 12 BC 7 AB 的垂直平分线交 AB 于 D 交 AC 于 E 求 BCE 的周长 5 某地有两所大学和两条相交叉的公路 如图 6 所示 点 M N 表示大学 AO BO 表示公路 现计 划修建一座