高中数学 构造向量巧解有关不等式问题解题思路大全

用心 爱心 专心1 构造向量巧解有关不等式问题构造向量巧解有关不等式问题 新教材中新增了向量的内容 其中两个向量的数量积有一个性质 其中 为向量 a 与 b 的夹角 则 又a ba b cos cos a ba b 则易得到以下推论 11cos 1 a ba b 2 a ba b 3 当 a 与 b 同向时 当 a 与 b 反向时 a ba b a ba b 4 当 a 与 b 共线时 a ba b 下面例析以上推论在解不等式问题中的应用 一 证明不等式一 证明不等式 例例 1 1 已知 abRabab 求证 121212 2 证明 证明 设 m 1 1 则nab 2121 m nab 2121 mnab 221212 由性质 得m nm n 21212 2ab 例例 2 2 已知 xyzxyz 1 1 3 222 求证 证明 证明 设 m 1 1 1 n x y z 则 m nxyz mnxyz 1 3 222 由性质 m nmnxyz 222222 1 3 得 例例 3 3 已知 a b c 求证 R a bc b ca c ab abc 222 2 证明 证明 设 m a bc b ca c ab 222 nbcacab 则m nabc m a bc b ac c ab nabc 222 2 用心 爱心 专心2 由性质 得 m nmn 222 a bc b ca c ab abc 222 2 例例 4 4 已知 a b 为正数 求证 ababab 4422332 证明 证明 设mabnab 则 22 m nab mabnab 33 2244 由性质 得 m nmn 222 ababab 4422332 例例 5 5 设 求证 a b c dR adbcabcd 2222 证明 证明 设 m a b n c d 则 m nadbc mabncd 2222 由性质 得a ba b adbcabcd 2222 二 比较大小二 比较大小 例例 6 6 已知 m n a b c d 那 Rpabcdqmanc b m d n 且 么 p q 的大小关系为 A B C p qD p q 大小不能确定pq pq 解 解 设 则hmanc k b m d n h kabcd hmanck b m d n 由性质得 h kh k abcdmanc b m d n 即 故选 A pq 用心 爱心 专心3 三 求最值三 求最值 例例 7 7 已知 m n x y 且 那么 mx ny 的最大值为 Rmnaxyb 2222 A B ab ab 2 C D ab 22 2 ab 22 2 解 解 设 p m n q x y 则 由数量积的坐标运算 得p qmxny 而 pmnqxy 2222 从而有mxnymnxy 2222 当 p 与 q 同向时 mx ny 取最大值 故选 A mnxyab 2222 例例 8 8 求函数的最大值 yxxx 2152 1 2 5 2 解 解 设 则mxxn 215211 m nxx mn 2152 22 由性质 得m nm n yxx 21522 2 当 1 21 1 52 3 2 2 xx xy 时 即时 max 四 求参数的取值范围四 求参数的取值范围 例例 9 9 设 x y 为正数 不等式恒成立 求 a 的取值范围 xya xy 解