小学数学公式大全之基础知识和基本概念

小学数学基础知识和基本概念小学数学基础知识和基本概念 什么叫等式什么叫等式 等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式 定义 数学术语 含有等号的式子叫做等式 形式 把相等的两个数 或字母表示的数 用等号连接起来 等式的性质等式的性质 性质性质1 等式两边同时加上 或减去 同一个数 或式子 结果仍相等 若 a b 那么 a c b c 性质性质2 等式两边同时乘同一个数 或除以同一个不为0的数 结果仍相等 若 a b 那么有 a c b c 或 a c b c c 0 性质性质3 等式两边同时乘方 或开方 两边依然相等 若 a b 那么有 a c b c 或 c 次根号 a c 次根号 b 性质性质4 等式具有传递性 若 a1 a2 a2 a3 a3 a4 an an 那么 a1 a2 a3 a4 an 什么叫方程式什么叫方程式 答 含有未知数的等式叫方程式 方程 英文 equation 是表示两个数学式 如两个数 函数 量 运算 之间相等 关系的一种等式 通常在两者之间有一等号 方程不用按逆向思维思考 可直接列出等 式并含有未知数 它具有多种形式 如一元一次方程 二元一次方程等 广泛应用于数学 物理等理科应用题的运算 含有未知数的等式叫方程 这是中学中的逻辑定义 方程的定义还有函数定义法 关 系定义 而含未知数的等式不一定是方程 如0 x 0就不是方程 应该这样定义 如 f x1 x2 x3 xn g x1 x2 x3 xn 的等式 其中 f x1 x2 x3 xn 和 g x1 x2 x3 xn 是在定义域的交集内研究的两个解析式 且至少有一的不是常数 等式的基本性质等式的基本性质 等式两边同时加 或减 同一个数或同一个代数式 所得的结果仍是等式 用字母表示 为 若 a b c 为一个数或一个代数式 则 1 a c b c 2 a c b c 等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式 3 若 a b 则 b a 等式的对称性 4 若 a b b c 则 a c 等式的传递性 用字母表示为 若 a b c 为一个数或一个代数式 不为0 则 a c b c a c b c 一元一次方程一元一次方程 人教版5年级数学上册第四章会学到 冀教版5年级数学下册第三章会学到 北师大版 7年级上册第五章 苏教版5年级下第一章 定义定义 只含有一个未知数 且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程 linear equation with one unknown 通常形式是 kx b 0 k b 为常数 且 k 0 一般解法一般解法 去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数 去括号 一般先去小括号 再去中括号 最后去大括号 但顺序有时可依据情况而定 使计算简便 可根据乘法分配律 移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边 其余各项移到方程的另一边移项 时别忘记了要变号 一般都是这样 比方 从 5x 4x 8 得到 5x 4x 8 把未知数移 到一起 合并同类项 将原方程化为 ax b a 0 的形式 系数化一 方程两边同时除以未知数的系数 得出方程的解 什么叫分数什么叫分数 把整体 1 平均分成若干份 表示这样的一份或几份的数叫做分数 分母表示把一个物 体平均分成几份 分子是表示这样几份的数 把1平均分成分母份 表示这样的分子份 分子在上分母在下 也可以把它当做除法来看 用分子除以分母 相反乘法也可以改 为用分数表示 百分数与分数的区别百分数与分数的区别 1 意义不同 百分数只表示两个数的倍比关系 不能带单位名称 分数既可以表 示具体的数 又可以表示两个数的关系 表示具体数时可带单位名称 2 百分数的分子可以是整数 也可以是小数 而分数的分子不能是小数只是除0以 外的自然数 百分数不可以约分 而分数一般通过约分化成最简分数 3 任何一个百分数都可以写成分母是100的分数 而分母是100的分数并不都具有 百分数的意义 4 应用范围的不同 百分数在生产和生活中 常用于调查 统计 分析和比较 而分数常常在计算 测量中的不到整数结果时使用 性质性质 1 分子 分数线 2 分母 读作 二分之一 写作 1 2 分数中间的一条横线叫做分数线 分数线上面的数叫做分子 分数线下面的数叫做分 母 读作几分之几 分数可以表述成一个除法算式 如二分之一等于1除以2 其中 1 分子等于被除数 分数线等于除号 2 分母等于除数 而0 5 分数值则等于商 分数还可以表述为一个比 例如 二分之一等于1比2 其中1分子等于前项 一 分数 线等于比号 2分母等于后项 而0 5分数值则等于比值 分数的基本性质 分数的分子和 分母都乘以或都除以同一个不为零的数 所得到的分数与原分数的大小相等 a b a k b k a n b n b k n 不等于零 分数可以分成 真分数 假分数 带分数 百分数分数可以分成 真分数 假分数 带分数 百分数 或分成正分数和负分数 但在数学界中一般只认同真分数和假分数这两种说法 什么叫真分数什么叫真分数 分子比分母小的分数叫做真分数 正真分数的值小于1 分子比分母小 例 1 3 什么叫假分数什么叫假分数 分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数 假分数大于或等于1 假分数的值大于1 或者等于1 分子比分母大或相等 假分数包括带分数 例 5 3 7 7 带分数的值大于1 什么叫带分数什么叫带分数 带分数是假分数的另外一种形式 整数与真分数相加所成的分数 或真分数与假分数 相加化简后的分数 带分数就是将一个分数写成整数部分 一个真分数 带分数也是分数 的一种 注意 不能将带分数写作整数部分 一个假分数 书写形式如附图 读如三又四分之三 3是这个带分数的整数部分 3 4是这个带分数 的分数部分 带分数可以化为假分数 将整数部分与真分数部分的分母相乘的积与真分数的分子相 加的和作为假分数的分子 分母不变 即化为假分数 在代数学中 不用带分数 只用假分数 所以 带分数变得比较少见 带分数与假分数的互换带分数与假分数的互换 带分数化假分数 分母不变 分子为整数部分乘以分母的积再加上原分子的和 假分数化带分数 分母不变 整数部分为原分子除以分母的商 分子则为原分子除以分母 的余数 带分数不能化成真分数 因为带分数本身就是假分数 带分数后面有的可以带单位 例如表示具体数量的 有的不能带单位 例如表示分率 的 什么叫百分数什么叫百分数 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数 也叫百分率或百分比 百分数通常 不写成分数的形式 而采用符号 叫做百分号 来表示 百分数在工农业生产 科学 技术 各种实验中有着十分广泛的应用 特别是在进行调查统计 分析比较时 经常要用 到百分数 百分数与分数的区别百分数与分数的区别 1 意义不同 百分数是 表示一个数是另一个数的百分之几的数 它只能表示两数之 间的倍数关系 不能表示某一具体数量 如 可以说1米是5米的20 不可以说 一段绳 子长为20 米 因此 百分数后面不能带单位名称 分数是 把单位 1 平均分成若干份 表示这样一份或几份的数 分数还可以表示两数之间的倍数关系 2 应用范围不同 百分数在生产 工作和生活中 常用于调查 统计 分析与比较 而分数常常是在测量 计算中 得不到整数结果时使用 3 书写形式不同 百分数通常不写成分数形式 而采用百分号 来表示 如 百分 之四十五 写作 45 百分数的分母固定为100 因此 不论百分数的分子 分母之间 有多少个公约数 都不约分 百分数的分子可以是自然数 也可以是小数 而分数的分子 只能是自然数 它的表示形式有 真分数 假分数 带分数 计算结果不是最简分数的一 般要通过约分化成最简分数 是假分数的要化成带分数 任何一个百分数都可以写成分母 是100的分数 而分母是100的分数并不都具有百分数的意义 4 百分数不能带单位名称 当分数表示具体数时可带单位名称 百分数一般有三种情况 百分数一般有三种情况 100 以上 如 增长率 增产率等 100 以下 如 发芽率 成长率等 刚好100 如 正确率 合格率等 什么叫倒数什么叫倒数 倒数 multiplicative inverse 读 d o sh 是指数学上设一个数 x 与其相乘的积为 1的数 记为1 x 或 x 过程为 乘法逆 除了0以外的复数都存在倒数 倒数图将其以1除 便可得到倒数 两个数乘积是1的数互为倒数 0没有倒数 分数的倒数分数的倒数 找一个分数的倒数 例如3 4 把3 4这个分数的分子和分母交换位置 把原来的分子 做分母 原来的分母做分子 则是4 3 3 4是4 3的倒数 也可以说4 3是3 4的倒数 对于 2 3这样的 可以把分子看做 2 整数的倒数整数的倒数 找一个整数的倒数 例如12 把12化成分数 即12 1 再把12 1这个分数的分子和 分母交换位置 把原来的分子做分母 原来的分母做分子 则是1 12 12是1 12的倒数 也可以说1 12是12的倒数 还有一种说法 12和1 12互为倒数 0没有倒数 本身是倒数 的数是1 0除外 乘积是1的两个数互为倒数 什么叫比例什么叫比例 比例 在数学中 比例是一个总体中各个部分的数量占总体数量的比重 用于反映总 体的构成或者结构 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 表示两个比相 等的式子叫做比例 如3 6 9 18 表示两个比相等的式子叫做比例 如3 4 9 12 7 9 21 27 在3 4 9 12中 其中3与12叫做比例的外项 4与9叫做比例的内项 比例有四个项 分别是两个内项和两个外项 在7 9 21 27中 其中7与27叫做比 例的外项 9与21叫做比例的内项 比例有四个项 分别是两个内项和两个外项 比如 教师和学生的 已经达到要求 比如 在所销商品中 国货的 比较大 比例写成分数的形式后 那么 左边的分母和右边的分子是内项 左边的分子和右 边的分母是外项 在一个比例中 两个外项的积等于两个内项的积 这叫做比例的基本性质 正比例与反比例的相同点与不同点 什么叫正比例 什么叫正比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着化 如果这两种量中相对应的的比值 也就是商 k 一定 这两种量就叫做成正比例的量 它们的关系就叫做正比例关系 如 y x k k 一定 或 kx y 什么叫反比例 什么叫反比例 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 它们的关系就叫做反比例关系 如 x y k k 一定 或 k x y 什么叫公约数 什么叫公约数 公约数 亦称 公因数 它是几个整数同时均能整除的整数 如果一个整数同时是几 个整数的约数 称这个整数为它们的 公约数 公约数中最大的称为最大公约数 公约数与公倍数相反 就是既是 A 的约数同时也是 B 的约数的数 12和15的公约数 有1 3 最大公约数就是3 再举个例子 30和40 它们的公约数有1 2 5 10 最大 公约数是10 什么叫公倍数 什么叫公倍数 公倍数 common multiple 指在两个或两个以上的自然数中 如果它们有相同的倍数 这些倍数就是它们的公倍数 这些公倍数中最小的 称为这些整数的最小公倍数 A 和 B A B C 如果 A 能被 B 整除 则 A 为 B 和 C 的公倍数 两个数 A 和 B 它们 的公倍数就是既是 A 的倍数又是 B 的倍数的数 即能同时被 A B 整除的数 比如说 12 和15 它们的公倍数是60 120 180 等等 在这些公倍数中最小的那一个就叫最小公倍 数 就是60 如何求最小公倍数如何求最小公倍数 1 分解质因数法分解质因数法 首先把两个数的质因数写出来 最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积 如果有几 个质因数相同 则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多 乘较多的次数 比如求45和30的最小公倍数 45 3 3 5 30 2 3 5 不同的质因数是2 3 5 3是他们两者都有的质因数 由于45有两个3 30只有一个3 所以计算最小公倍数的时候乘两个3 最小公倍数等于2 3 3 5 90 又如计算36和270的最小公倍数 36 2 2 3 3 270 2 3 3 3 5 不同的质因数是5 2这个质因数在36中比较多 为两个 所以乘两次 3这个质因数 在270个比较多 为三个 所以乘三次 最小公倍数等于2 2 3 3 3 5 540 2 倍数关系倍数关系 如果较大数是较小数的倍数 较大数就是它们的最小公倍数 什么叫互质数 什么叫互质数 定义及定理 对于两个数来看 公因数只有1的两个数 叫做互质数 对于多个数来看 教材定义 若干个最大公因数只有1的正整数 叫做互质数 表达及运用注意表达及运用注意 1 这里所说的 两个数 是指除0外的所有自然数 2 公因数只有 1 不能误说成 没有公因数 3 三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况 一种是这些成互质数的自然数 是两两互质的 如2 3 5 另一种不是两两互质的 如6 8 9 两个正整数 N 除 了1以外 没有其他公约数时 称这两个数为互质数 互质数的概率是6 2 判定互质数的方法汇总判定互质数的方法汇总 直接分辨直接分辨 1 两个不相同质数一定是互质数 例如 2与7 13与19 2 相邻的两个自然数是互质数 例如 15与 16 3 相邻的两个奇数是互质数 例如 49与 51 4 大数是质数的两个数是互质数 例如97与88 5 小数是质数 大数不是小数的倍数的两个数是互质数 例如 7和 16 6 2和任何奇数是互质数 例如2和87 7 1和任何自然数 0除外 都是互质数 计算判定法计算判定法 1 两个数都是合数 两数相差较大 小数所有的质因数 都不是大数的约数 这 两个数是互质数 如357与715 357 3 7 17 而3 7和17都不是715的约数 这两个数 为互质数 2 两个数都是合数 两数相差较小 这两个数的差的所有质因数都不是小数的约 数 这两个数是互质数 如85和78 85 78 7 7不是78的约数 这两个数是互质 数 3 两个数都是合数 大数除以小数的余数 不为 0 且大于 1 的所有质因数 都不是小数的约数 这两个数是互质数 如 462与 221 462 221 2 20 20 2 2 5 2 5都不是221的约数 这两个数是互质数 4 减除法 如255与182 255 182 73 观察知 73 182 182 73 2 36 显然 36 72 99 7 9 8 11 甲 乙 2 5 8 20 乙 丙 4 7 20 35 甲 乙 丙 8 20 35 什么叫约分 什么叫约分 意义 把一个分数化成和它相等 但分子 分母都比较小的分数 叫做约分 reduction of a fraction 即把一个分数的分子 分母同时除以公因数 分数的值不 变 这个过程叫约分 最简分数 分子 分母是互质数 分母不是1 的分数 叫做最简分数 又叫既约分数 注意 约分时尽量用口算 一般用分子和把一个分数化成同它相等 但分子 分母都 比较小的分数 叫做约分 分母的公约数 1除外 去除分数的分子和分母 通常要除到得 出最简分数为止 除过的数均划掉 如本例中的6 12 30 15 约分是一定要注意要找它的公约数 也就是分子和分母的公约数 不能只把分母化简 或者分子化简 双数的公约数肯定有2 所以你可以先除以2 在慢慢除 然后将你所有除 的数加起来就是他们的最大公约数 把分数化成最简分数的过程就叫约分 什么叫偶数 什么叫偶数 定义 整数中 能够被2整除的数 叫做偶数 特别提示 偶数包括正偶数 负偶数和0 偶数 2n 奇数 2n 1 或 1 这里 n 是整数 所有整数不是奇数 又称单数 就是偶数 又称双数 若某数是2的倍数 它就是 偶数 可表示为2n n 为整数 若非 它就是奇数 可表示为2n 1 n 为整数 即奇数除 以二的余数是一 在十进制里 可以用看个位数的方式判定该数是奇数还是偶数 个位为1 3 5 7 9的数 是奇数 个位为0 2 4 6 8的数是偶数 0是一个特殊的偶数 小学规定0为最小的偶数 但是在初中学习了负数 出现了负偶数 时 0就不是最小的偶数了 50以内且大于等于以内且大于等于0的偶数的偶数 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 总共26 个 奇数偶数的性质奇数偶数的性质 1 奇数不会同时是偶数 两个连续整数中必是一个奇数一个偶数 2 奇数跟奇数和是偶数 偶数跟奇数的和是奇数 任意多个偶数的和都是偶数 3 两个奇 偶 数的差是偶数 一个偶数与一个奇数的差是奇数 4 除2外所有的正偶数均为合数 5 相邻偶数最大公约数为2 最小公倍数为它们乘积的一半 6 奇数的积是奇数 偶数的积是偶数 奇数与偶数的积是偶数 7 偶数的个位上一定是0 2 4 6 8 奇数的个位上是1 3 5 7 9 偶数也叫双数 用2n 表示 n 为整数 如2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 偶数其实就是2的倍数 及2乘几的倍数 另外 0也是偶数 2002年国际数学协会规定 零为偶数 我国2004年也规定零为偶数 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 为负偶数 两个偶数的和或差仍是偶数 两个奇数的和或差也是偶数 奇数和偶数的和或差是奇数 单数个奇数的和是奇数 双数个奇数的和是偶数 几个偶数的和仍是偶数 奇数与奇数的积是奇数 偶数与整数的积是偶数 任何一个奇数都不等于任何一个偶数 若干个奇数的连乘积永远是奇数 若干个整数的连乘积 如果其中有一个偶数 乘积必然是偶数 偶数的平方被4整除 奇数的平方被8除余1 即 奇数和偶数加 减或乘时的规律 偶 奇 奇 奇 奇 偶 偶 偶 偶 奇 奇 奇 偶 奇 偶 偶 偶 偶 上述性质可通过对奇数和偶数的代数式进行相应运算得出 如证明 两个奇数的和或差为偶数 可令两奇数 k1 k2 则 k1 2n1 1 k2 2n2 1 k1 k2 2n1 1 2n2 1 2 n1 n2 1 将括号内多项式整体看做一个式子则原 命题可得证 什么叫奇数 什么叫奇数 奇数 英文 odd 数学术语 整数中 能被2整除的数是偶数 不能被2整除的数是 奇数 偶数可用2k 表示 奇数可用2k 1表示 这里 k 是整数 奇数包括正奇数 负奇数 奇数和偶数的性质奇数和偶数的性质 1 两个连续整数中必有一个奇数和一个偶数 2 奇数跟奇数的和是偶数 偶数跟奇数的和是奇数 任意多个偶数的和是偶数 补 奇偶性相同的两数之和为偶数 奇偶性不同的两数之和为奇数 3 两个奇 偶 数的差是偶数 一个偶数与一个奇数的差是奇数 4 若 a b 为整数 则 a b 与 a b 有相同的奇偶性 即 a b 与 a b 同为奇数或同为 偶数 5 n 个奇数的乘积是奇数 n 个偶数的乘积是偶数 顺式中有一个是偶数 则乘积 是偶数 即 A B C 偶数 X Y 偶数 式中 A B C X Y 皆为整数 公式可简化 为 奇数 偶数 偶数 6 奇数的个位是1 3 5 7 9 偶数的个位是0 2 4 6 8 0是个特殊的偶数 2002年国际数学协会规定 零为偶数 我国2004年也规定零为偶数 小学规定0为最小的偶 数 但是在初中学习了负数 出现了负偶数时 0就不是最小的偶数了 7 奇数的平方除以8余1 奇数就是单数 人们在日常生活中把单数叫做奇数 如 正奇数 1 3 5 7 9 奇数 奇数 偶数 偶数 偶数 偶数 奇数 偶数 奇数 负奇数 1 3 5 7 9 什么叫质数 什么叫质数 质数又称素数 指在一个大于1的自然数中 除了1和此整数自身外 没法被其他自然 数整除的数 换句话说 只有两个正因数 1和自己 的自然数即为素数 比1大但不是素 数的数称为合数 1和0既非素数也非合数 合数是由若干个质数相乘而得到的 所以 质 数是合数的基础 没有质数就没有合数 这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要 地位 历史上曾将1也包含在质数之内 但后来为了算术基本定理 最终1被数学家排除在 质数之外 而从高等代数的角度来看 1是乘法单位元 也不能算在质数之内 并且 所 有的合数都可由若干个质数相乘而得到 质数的分布质数的分布 质数的分布是没有规律的 往往让人莫名其妙 例如 2 3 5 7 17 101 401 601 701都是质数 但与这些数类似的301 7 43 和 901 17 53 却是合数 如何简单的找出一些质数如何简单的找出一些质数 例如 我想要找出100以内的质数 不借助他人 我怎么办呢 利用筛法 我可以将100以内的整数写在纸上 划掉0 1留下2 划掉所有2的倍数 再 划掉3的倍数 留下3 一直往后 到7 11 11 100 就可以找出来了 当然 要的数越 多 需要划掉 x 的倍数就越多 质数的判断 质数的判断 1 只能被1和本身整除 2 不能被小于它的平方根的所有素数整除就是素数 什么叫合数 什么叫合数 两个数之间的最大公因数只是1的那两个数的乘积 两个数之间的公约数不只是1 用其中一个约数乘以最小的数 能整除 乘出来的 那个数就是合数 合数又名合成数 是满足以下任一 等价 条件的正整数 1 是两个大于1 的整数之乘积 2 拥有某大于1 而小于自身的因数 因子 3 拥有至少三个因数 因子 4 不是1 也不是素数 质数 5 有至少一个素因子的非合数 6 两个或两个以上素数的乘积 可以组成一个合数 并且只可以组成一个合数 反 之 一个合数可以拆分为一组素数的乘积 并且只可以拆分为一组素数的乘积 也就是说 由三个以上素数的乘积组成的合数 不可以视为两个素数的乘积 也可以说除了1和它本 身以外还有别的因数 合数 7 合数指的是 一个数除了1和它本身以外还有别的因数 第三个因数 这个数叫 做合数 8 0 1 既不是质数也不是合数 9 一个整数 其约数除了1和它本身外还能被其它的因数整除 这样的数叫做合数 100以内的合数 包括100 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18 20 21 22 24 25 26 27 28 30 32 33 34 35 36 38 39 40 42 44 45 46 48 49 50 51 52 54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 74 75 76 77 78 80 81 82 84 85 86 87 88 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100 共74个 什么叫利率 什么叫利率 利率又称利息率 表示一定时期内利息量与本金的比率 通常用百分比表示 按年计 算则称为年利率 其计算公式是 利息率 利息量 本金 时间 100 什么叫自然数 什么叫自然数 用以计量事物的件数或表示事物次序的数 即用数码0 1 2 3 4 所表示的 数 表示物体个数的数叫自然数 自然数由0开始 包括0 一个接一个 组成一个无穷的 集体 分类分类 按能否被按能否被2整除分整除分 可分为奇数和偶数 1 奇 数 不能被2整除的数叫奇数 2 偶 数 能被2整除的数叫偶数 3 特别注意 0是偶数 2002年国际数学协会规定 零为偶数 我国2004年也规定零 为偶数 偶数可以被2整除 0照样可以 只不过 得数依然是0而已 但是不可以说它没有 缩小 按因数数个数分按因数数个数分 可分为质数 合数和可分为质数 合数和1 1 质 数 只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数 质数也称作素数 2 合 数 除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数 3 1 只有1个因数 它既不是质数也不是合数 当然0不能计算因数也一样是非质数 非合数 注 是因数不是约数 两数相除 如果得不到整数商 会有两种情况 一种 得到有限小数 一种 得到无限小 数 从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数 叫做循 环小数 如2 1666 35 232323 等 被重复的一个或一节数字称为循环节 循环小数 的缩写法是将第一个循环节以后的数字全部略去 而在第一个循环节首末两位上方各添一 个小点 例如 2 166666 缩写为 2 1 6 读作 二点一六 六循环 0 34103103 103 缩写为 0 34103 读作 零点三四一零三 一零三循环 循环小数可以利用等比数列求和 附链接 等比数列 法化为分数 例如图中的化法 所以在数的分类中 循环小数属于有理数 十进制十进制 十进制计数法是世界各国常用的一种记数方法 特点是相邻两个单位之间的进率都是 十 10个较低的单位等于1个相邻的较高单位 常说 满十进一 这种以 十 为基数的进位 制 叫做十进制 直线 没有端点 可以向两端无限延长 直线 没有端点 可以向两端无限延长 直线 straight line 是几何学基本概念 是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹 从平面解析几何的角度来看 平面上的直线就是由直线平面直角坐标系中的一个二元一次 方程所表示的图形 求两条直线的交点 只需把这两个二元一次方程联立求解 当这个联 立方程组无解时 二直线平行 有无穷多解时 二直线重合 只有一解时 二直线相交于 一点 常用直线与 X 轴正向的夹角 叫直线的倾斜角 或该角的正切 称直线的斜率 来表示平面上直线 对于 X 轴 的倾斜程度 可以通过斜率来判断两条直线是否互相平行或 互相垂直 也可计算它们的交角 直线与某个坐标轴的交点在该坐标轴上的坐标 称为直 线在该坐标轴上的截距 直线在平面上的位置 由它的斜率和一个截距完全确定 在空间 两个平面相交时 交线为一条直线 因此 在空间直角坐标系中 用两个表示平面的三元 一次方程联立 作为它们相交所得直线的方程 空间直线的方向用一个与该直线平行的非 零向量来表示 该向量称为这条直线的一个方向向量 直线在空间中的位置 由它经过的 空间一点及它的一个方向向量完全确定 在欧几里得几何学中 直线只是一个直观的几何 对象 在建立欧几里得几何学的公理体系时 直线与点 平面等都是不加定义的 它们之 间的关系则由所给公理刻画 射线 只有一个端点 可以向一端无限延长 线段 有两个端点 射线和线段都是直线的一部分 线段用表示它两个端点的字母或一个小写字母表示 有时这些字母也表示线段长度 记作线段 AB 或线段 BA 线段 a 其中 AB 表示直线上的任意两点 容积 是指容器所能容纳物体的体积 单位 固体的容积单位与体积单位相同 而液体和气体的容积单位一般用升 毫升 容积和体积是两个不同的概念 它们是有区别的 1 含义不同 如一只铁桶的体积是指它所占空间部分的大小 而这只铁桶的容积却 是指它容纳物体的多少 一种物体有体积 可不一定有容积 2 测量方法不同 在计算物体的体积或容积前一般要先测量长 宽 高 求物体的 体积是从该物体的外部来测量 而求容积却是从物体的内部来测量 一种既有体积又有容 积的封闭物体 它的体积一定大于它的容积 3 单位名称不完全相同 体积单位一般用 立方米 立方分米 立方厘米 固体的 容积单位与体积单位相同 而液体和气体的体积与容积单位一般都用升 毫升 4 一个物体的体积应该比容积要大 5 公式 V 长方体 abc 长 宽 高 v 正方体 a 3 棱长 棱长 棱长 v 圆柱 sh v 圆锥 1 3sh 6 计量液体的体积 如水 油等 常用容积单位升和毫升 也可以写成 L 和 ml 7 计算不规则的立体图形体积可以把这个物体放入水中 用现在容积 未放入物体的容 积就是体积或用放入物体后高 未放入物体 长 宽 1升 1立方分米 1毫升 1立方厘米 8 硬盘的容量是以 MB 兆 和 GB 千兆 为单位的 垂线 perpendicular line 是两条直线的两个特殊位置关系 当两条直线相交所成的四个角 中 有一个角是直角时 即两条直线互相垂直 perpendicular 其中一条直线叫做另一直 线的垂线 交点叫垂足 foot of a perpendicular 垂线段最短 从直线外一点到这条直线 的垂线段的长度 叫做点到直线的距离 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 一个 角的两边分别垂直于另一个角的两边 这两个角相等或互补 同一平面内过一点有且只有 一条直线与已知直线垂直 垂足垂足 1 如果两直线的夹角为直角 那么就说这两条直线互相垂直 其中一条直线交租赁一条直 线的垂线 他们的交点叫做垂足 2 一条直线垂直交于另一直线 其交点称为该直线的垂足 perpendicular foot 3 两条不垂直的线段延长后 为相交线 角角 角的静态定义角的静态定义 具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角 angle 这个公共端点叫做角 的顶点 这两条射线叫做角的两条边 角的动态定义 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角 所旋转射 线的端点叫做角的顶点 开始位置的射线叫做角的始边 终止位置的射线叫做角的终边 角的符号 角的符号 角的种类 角的大小与边的长短没有关系 角的大小决定于角的两条边张开的程度 张开的越大 角就越大 相反 张开的越小 角则越小 在动态定义中 取决于旋转的方向与角度 角 可以分为锐角 直角 钝角 平角 周角 负角 正角 优角 劣角 0角这10种 以度 分 秒为单位的角的度量制称为角度制 此外 还有密位制 弧度制等 锐角 大于0 小于90 的角叫做锐角 直角 等于90 的角叫做直角 钝角 大于90 而小于180 的角叫做钝角 平角 等于180 的角叫做平角 优角 大于180 小于360 叫优角 劣角 大于0 小于180 叫做劣角 锐角 直角 钝角都是劣角 周角 等于360 的角叫做周角 负角 按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角 正角 逆时针旋转的角为正角 0角 等于零度的角 余角和补角 两角之和为90 则两角互为余角 两角之和为180 则两角互为补角 等 角的余角相等 等角的补角相等 对顶角 两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线 这样的两个角叫做互为对顶角 两条直线相交 构成两对对顶角 互为对顶角的两个角相 等 还有许多种角的关系 如内错角 同位角 同旁内角 三线八角中 主要用来判断平行 平行线 在同一平面内 永不相交的两条直线叫平行线 parallel lines 平行线具有传递性 平行线的判定方法平行线的判定方法 1 平行线的定义 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 平行公理推论 平行于同一直线的两条直线互相平行 3 在同一平面内 垂直于同一直线的两条直线互相平行 4 内错角相等 两直线平行 5 同旁内角互补 两直线平行 6 同位角相等 两直线平行 平行线的性质平行线的性质 1 两条平行线被第三条直线所截 同位角相等 2 两条平行线被第三条直线所截 内错角相等 3 两条平行线被第三条直线所截 同旁内角互补 4 两条平行线被第三条直线所截 外错角相等 以上性质可简单说成 以上性质可简单说成 1 两条直线平行 同位角相等 2 两条直线平行 内错角相等 3 两条直线平行 同旁内角互补 4 两条直线平行 外错角相等 平行公理平行公理 在同一平面内 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 平行公理的推论 平行传递性 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 即平行于同一条直线的两条直线平行 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 面积 面积 物体的表面或围成的图形表面的大小 叫做它们的面积 计算方法计算方法 长方形 S ab 长方形面积 长 宽 正方形 S a 2 正方形面积 边长 边长 平行四边形 S ab 平行四边形面积 底 高 三角形 S ab 2 三角形面积 底 高 2 梯形 S a b h 2 梯形面积 上底 下底 高 2 圆形 正圆 S r 2 圆形 正圆 面积 圆周率 半径 半径 圆环 S R 2 r 2 圆形 外环 面积 圆周率 外环半径 内环半径 扇形 S r 2 n 360 圆形 扇形 面积 圆周率 半径 半径 扇形角度 360 长方体表面积 S 2 ab ac bc 长方体表面积 长 宽 长 高 宽 高 2 正方体表面积 S 6a 2 正方体表面积 棱长 棱长 6 球体 正球 表面积 S 4 r 2 球体 正球 表面积 圆周率 半径 半径 4 椭圆 S 圆周率 a b 其中 a b 分别是椭圆的长半轴 短半轴的长 体积 用来表示物体所占空间的大小 叫做体积 体积换算 1立方分米 1000立方厘米 1升 1000毫升 0 061 立方英寸 1立方厘米 1毫升 0 000061 立方英寸 1 立方米 1000 立方分米 0 353 立方英尺 1 3079 立方码 1 立方英寸 16 387 立方厘米 1立方英尺 28 3立方分米 1 立方码 27 立方英尺 0 7646 立方米 1立方尺 31 143 蒲式耳 英 32 143 蒲式耳 美 小九九乘法表 1 1 1 1 2 2 2 2 4 1 3 3 2 3 6 3 3 9 1 4