高二数学双曲线知识点及例题

高二数学双曲线知识点及例题高二数学双曲线知识点及例题 一一 知识点知识点 1 双曲线第一定义 平面内与两个定点 F1 F2的距离差的绝对值是常数 小于 F1F2 的点的轨 迹叫双曲线 这两个定点叫双曲线的焦点 两焦点间的距离 F1F2 叫焦距 2 双曲线的第二定义 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数 e e 1 的点 的轨迹叫双曲线 定点叫双曲线的焦点 定直线叫双曲线的准线 常数 e 叫双 曲线的离心率 3 双曲线的标准方程 1 焦点在 x 轴上的 x a y b ab 2 2 2 2 100 2 焦点在 y 轴上的 y a x b ab 2 2 2 2 100 3 当 a b 时 x2 y2 a2或 y2 x2 a2叫等轴双曲线 注 c2 a2 b2 4 双曲线的几何性质 焦点在 轴上的双曲线 的几何性质 1100 2 2 2 2 x x a y b ab y x F1F2A2A1 O 1范围 或xaxa 对称性 图形关于 x 轴 y 轴 原点都对称 顶点 A1 a 0 A2 a 0 线段 A1A2叫双曲线的实轴 且 A1A2 2a 线段 B1B2叫双曲线的虚轴 且 B1B2 2b 41离心率 e c a e e 越大 双曲线的开口就越开阔 5渐近线 y b a x 6 2 准线方程 x a c 5 若双曲线的渐近线方程为 x a b y 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成 0 2 2 2 2 b y a x 典型例题典型例题 例例1 选择题 1 21 1 22 若方程表示双曲线 则 的取值范围是 x m y m m AmB mm 2121或 C mmD mR 21且 20 22 abaxbyc 时 方程表示双曲线的是 A 必要但不充分条件B 充分但不必要条件 C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 3 22 sinsincos设 是第二象限角 方程表示的曲线是 xy A 焦点在 x 轴上的椭圆B 焦点在 y 轴上的椭圆 C 焦点在 y 轴上的双曲线D 焦点在 x 轴上的双曲线 4 169 1 3 22 1212 双曲线上有一点 是双曲线的焦点 且 xy PFFF PF 则 F1PF2的面积为 ABCD 96 33 39 3 例例2 已知 双曲线经过两点 求双曲线的标准方程PP 12 34 2 9 4 5 例例3 已知 B 5 0 C 5 0 是 ABC 的两个顶点 且 求顶点 A 的轨迹方程 sinsinsinBCA 3 5 例例4 1 求与椭圆的双曲线的 xy 22 94 1 5 2 有公共焦点 并且离心率为 标准方程 2 求与双曲线的双曲 xy M 22 94 1 9 2 1 有共同渐近线 且经过点 线的标准方程 例例5 已知双曲线方程 xy 22 42 1 1 过点 M 1 1 的直线交双曲线于 A B 两点 若 M 为 AB 的中点 求直线 AB 的方程 2 是否存在直线 l 使点为直线 l 被双曲线截得的弦的中点 N 1 1 2 若存在求出直线 l 的方程 若不存在说明理由 例六 例六 1 若表示焦点在 y 轴上的双曲线 那么它的半焦距 c x k y k 22 21 1 的取值范围是 A B 0 2 C D 1 2 1 2 2 双曲线的两条渐近线的夹角为 60 则双曲线的离心率为 A 2 或B 2C D 2 3 3 2 3 3 3 3 圆 C1 和圆 C2 动圆 M 同时与圆 C1及 xy 31 2 2 xy 39 2 2 圆 C2相外切 求动圆圆心 M 的轨迹方程 例题答案例题答案 例一 例一 解 解 1 把所给方程与双曲线的标准方程对照 易知 2 m 与 m 1 应同号即可 20 10 20 10 m m m m 或 m m m m 2 1 2 1 或 mm12或 20 22 若表示双曲线 则一定有 axbycab 若 当时 表示双曲线 当时 表示直线 ab c c 0 0 0 选 A 300 sincos 是第二象限角 sin cos 0 原方程化为 xy 22 1 sin cos sin cos 易知 x2的系数为负 y2的系数为正 方程表示焦点在 y 轴上的双曲线 4 由双曲线方程知 a 4 b 3 c 5 设 则 PFmPFnmnF Fc 1212 8210 由余弦定理 22 3 222 cmnmn cos 1002 2 mnmnmn mn36 Smn F PF 12 1 2 60 1 2 36 3 2 9 3sin 例二 例二 解 解 设所求双曲线方程为 Ax2 By2 1 AB 0 依题意 9321 81 16 251 1 9 1 16 AB AB A B 所求双曲线方程为 yx 22 169 1 例三 例三 分析 分析 在 ABC 中由正弦定理可把转化为 结sinsinsinBCA 3 5 bca 3 5 合图形可知顶点 A 的轨迹是以 B C 为两焦点 实轴长为 6 的双曲线的左支 y x C A B 3 解 解 在 ABC 中 BC 10 由正弦定理 sinsinsinBCA 3 5 可化为 ACABBC 3 5 6 顶点 A 的轨迹是以 B C 为两个焦点 实轴长为 6 的双曲线的左支 又 c 5 a 3 b 4 顶点 的轨迹方程为A xy x 22 916 13 注 1 利用正弦定理可以实现边与角的转换 这是求轨迹方程的关键 2 对于满足曲线定义的 可以直接写出轨迹方程 3 求轨迹要做到不重不漏 应删除不满足条件的点 例四 例四 解 解 1 由椭圆方程知 abc 325 焦点 FF 12 5050 设双曲线的标准方程为 x a y b 2 1 2 2 1 2 1 由已知条件得 c c a cab a b 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 5 5 2 2 1 所求双曲线的标准方程为 x y 2 2 4 1 2 解法一 解法一 M 9 2 1 在第四象限 又双曲线的渐近线为 xy yx 22 94 1 2 3 将点的横坐标代入Mxyx 9 2 2 3 3 双曲线的焦点必在 x 轴上 设双曲线方程为 x a y b 2 2 2 2 1 b a ab a b 2 3 9 2 1 1 18 8 2 2 2 2 2 2 所求双曲线标准方程为 xy 22 188 1 解法二 解法二 所求双曲线与已知双曲线有共同的渐近线yx 2 3 设所求双曲线方程为 xy 22 94 0 又所求双曲线过点 M 9 2 1 9 2 9 1 4 2 2 2 所求双曲线方程为 xy 22 188 1 例五 例五 解 解 1 设 AB 的方程为 y 1 k x 1 ykxk xy y 1 42 1 22 消去 12442460 2222 kxkk xkk 设 则 A xyB xyM xxyy 1122 1212 22 xx kk k xxkk k 12 2 2 12 2 2 44 122 22 12 1 即 k 1 2 又 444 12246 2 2 22 kkkkk 将代入k 1 2 0 所求直线的方程为 ABxy210 1 另解法 另解法 设 则 A xyB xyM xxyy 1122 1212 22 AB xy 在双曲线上 22 42 1 xy xy 1 2 1 2 2 2 2 2 42 11 42 12 1220 12121212 xxxxyyyy 又 xxyy 1212 22 24 1212 xxyy 当 x1 x2时 直线 AB 与双曲线没有交点 xx yy xx kAB 12 12 12 1 2 1 2 那么 直线的方程为 ABxy210 双曲线的一条渐近线为yx 2 2 又 直线与双曲线有两个交点 1 2 2 2 xyAB210即为的方程 2 假设过的直线 l 交双曲线于 C x3 y3 D x4 y4 两点N 1 1 2 则 xy xy 3 2 3 2 4 2 4 2 42 13 42 14 3420 34343434 xxxxyyyy 依题意 又 xxxxyy 343434 21 yy xx kCD 34 34 1 双曲线的一条渐近线为yx 2 2 1 2 2 直线 与双曲线没有公共点l 使点 为弦的中点的直线不存在N 1 1 2 例六 例六 1 答案 答案 A 2 答案 答案 A 3 分析 分析 解决本题的关键是寻找动点 M 满足的条件 对于两圆相切 自然 找圆心距与半径的关系 x C1 O C2 3 y A B M 解 解 设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于点