山东省济宁一中09年高考数学人教版选修2-3第一轮复习教学案：第二章　随机变量及其分布(2).doc

第二章随机变量及其分布第三讲独立重复试验、二项分布与正态分布知识梳理知识盘点1在相同的条件下重复做的称为次独立试验。在次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的，若（）是第次试验的结果，则2若设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为P，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率为其中的取值为此时随机就是X服从二项分布，记为，并称P为成功概率。3函数的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线。4对于任何实数，随机变量X满足则称X的分布为正态分布，正态分布完全由参数确定。因此正态分布常记作，如果X服从正态分布，则记为。5正态分布的特点：（1）曲线在；（2）曲线关于直线对称；（3）曲线在时；（4）当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线，表示总体的分布越；越小，曲线，表示总体的分布越。6若则对于任何实数，概率；。7在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量X只取之间的值，并简称。特别提醒1独立重复试验又叫做贝努里试验，这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么事件发生，要么不发生，并且任何一次试验中事件发生的概率是一样的；2如果1次试验中某事件发生的概率是p，那么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率为,这个公式恰好是的展开式中的第项，由此可见排列组合、二项式定理、概率之间存在着密切的联系。3在实际生产、生活中，我们遇到的总体多数属于连续型的，而在连续型的总体中，应用最为广泛的是呈正态分布的总体，简称为正态分布，它的分布情况可以表示成一条钟形曲线，而且随着总体的均值与标准差的不同，曲线的形状产生各种不同的变化。4正态分布的应用十分广泛，当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同作用的结果，而每一种因素都被认为服从正态分布，如测量误差、一个群体的身高、考试成绩、射击命中点与靶心距离的偏差等，都被认为服从正态分布的随机变量。基础闯关1一台X型自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为0.8000，有四台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一个小时之内至多2台机床需要工人照看的概率是（）A0.1536B0.1808C0.5632D0.97282在一次试验中随机事件A发生的概率为，设在次独立重复试验中随机事件A发生次的概率为，那么等于（）ABCD13若，则等于（）ABCD4若随机变量X服从两点分布X01P1pp则EX等于（）Ap B1p C1 Dp(1p)5某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%，现从一批产品中任意地连续取出2件，其中次品数以的概率分布列是6一批电阻的阻值X服从正态分布N（1000,52）（）。今从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为1011和982，可以认为（填写正确的序号）（1）甲、乙两箱电阻均可出厂；（2）甲、乙两箱电阻均不可出厂；（3）甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂；（4）甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂。典例精析例1实力相当的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先胜3局就算胜出并停止比赛）。（1）试分别计算甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）按比赛规则甲独获胜的概率。剖析由于甲、乙两人的实力相当，故可认为在每一局中两人获胜的概率均为由于每一局是否胜利对下一局不产生影响，故可以认为是进行了独立重复试验。解（1）甲乙两队的实力相当，所以在每局比赛中甲获性的概率为，乙获胜的概率为记事件为“甲打完3局胜出”，事件B为“甲打完4局胜出”，事件C为“甲打完5局胜出”。甲打完3局取胜，相当于进行了3次独立重复试验，且每局比赛甲均获胜，所以甲打完3局取胜的概率为甲打完4局才能取胜，相当于进行了4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负，所以甲打完4局取胜的概率为甲打完5局才能取胜，相当于进行5次独立重复试验，且甲每5局比赛获胜，前4局恰好2胜2负，所以甲打完5局获胜的概率为（2）记事件D为“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又A、B、C彼此互斥，故从而按比赛规则甲获胜的概率为警示对于本题的第（2）小题而言，还可以这样来解决：由于在每一局中甲乙获胜的概率均相同，“按比赛规则甲获胜”与“按比赛规则乙获胜”的概率也应该是相同的，为此所求的概率为变式训练1甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.()求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;()求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;()假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?例2从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加计算机理论测试，每位同学通过测试的概率为0.7，试求： （）选出的三位同学中至少有一名女同学的概率； （）选出的三位同学中同学甲被选中并且通过测试的概率； （）设选出的三位同学中男同学的人数为，求的概率分布和数学期望.剖析“至少有一名女同学”其反面是“一位女同学也没有”，即“全是男同学”；对于同学甲通过，首先应选中甲，然后再让甲同学通过；选出的三位同学中男同学的人数有可能是0、1、2、3。解（）至少有一名女同学的概率为 （）同学甲被选中的概率为则同学甲被中且通过测试的概率为0.30.7=0.21.（）根据题意，的可能取值为0、1、2、3， 0123P所以，的分布列为警示求随机变量的分布列时，要找到随机变量的所有可能的取值，然后分别计算随机变量各个值的概率，最后得出分布列。变式训练2(2005年全国卷)9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。（）求甲坑不需要补种的概率；（）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率；（）求有坑需要补种的概率。（精确到）例3（2005年浙江卷）袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p ()从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止(i)求恰好摸5次停止的概率；(ii)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E () 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值剖析此问题主要考查独立随机试验的概率的求法，计算一定要准确。解（I） (i) (ii) 随机变量的取值为0, 1, 2, 3. 由n次独立重复试验概率公式得随机变量的分布列是0123的数学期望是（II） 设袋子A有m个球，则袋子B中有2m个球。由得警示摸球问题是高考试题中经常出现的概率模型，对于此种问题的解决关键是抓住是放回式摸球还是不放回式摸球，以便于选择概率模型进行解决。变式训练3. (2005年重庆卷)加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为、，且各道工序互不影响。 (1) 求该种零件的合格率； (2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。例4某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换.（）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）.剖析不需要换灯泡说明每一盏灯的使用都在一年以上，而换2盏灯时则要说明换两盏灯，为此从而5盏灯中应抽出两盏来；而第（2）小题，说明第1次没换，第二次也没换这两个事件发生了。第（3）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况。解（I）在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为需要更换2只灯泡的概率为（II）对该盏灯来说，在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1p1）2；在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1(1p2)，故所求的概率为（III）至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况，换5只的概率为p5（其中p为（II）中所求，下同）换4只的概率为（1-p），故至少换4只灯泡的概率为 警示分情况进行讨论，一定要注意不重不漏地全部考滤到。变式训练4某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立）.（）求至少3人同时上网的概率；（）至少几人同时上网的概率小于0.3？ 例5在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一具巨大的汽油罐。已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率。剖析每次射击是相互独立的，所以可考虑用次独立重复试验的概率公式来计算。第（1）小题问的是油罐被引爆的概率，可能射击2次、3次、4次、5次，故宜采用逆向思维，先求其对立事件的概率；第（2）小题其实是求与的概率之和。解（1）油罐被引爆的对立事件是油罐没有被引爆，没有引爆的可能情况是：射击5次只击中一次或一次也没有击中，故该事件的概率为：，所以所求的事件的概率为（2）当时，记为事件A，则当时，意味着前4次射击只击中一次或一次也没朋击中，记为事件B，则所以所求的概率为警示应用次独立重复试验的概率公式，一定要审清是多少次试验发生次的事件，如该题中的第（2）小问，时，不能理解成4次独立重复试验中恰好发生2次的事件。变式训练5金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦。已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因为当地电力供应紧张，供电部门只能提供50千瓦的电力，这10台机床能够正常工作的概率是多大？在一个工作日内的8个小时中，不能正常工作的时间大约是多少？例6设，试求（1）；（2）；（3）剖析本题的随机变量服从正态分布，为此可按正态分布的有关知识进行求解。解，；（1）（2）（3）警示求随机变量在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图像性质以及课本中所给给出的数据进行转化求值。变式训练6（2006年湖北卷）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布.已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名.（）试问此次参赛的学生总数约为多少人？（）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可供查阅的（部分）标准正态分布表01234567891.21.31.41.92.02.10.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.88880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880.98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857 能力提升1若，且，则（）ABCD2设随机变量的分布列如下表，且EX1.6，则ab=（）X0123P0.1ab0.1A0.2B0.1C0.2D0.43若，那么等于（）A0.0729B0.00856C0.91854D0.991444设随机变量服从正态分布，则下列结论不正确的是：( ) A B CD5若随机变量，且则等于（）A0.5B1.5C2.5D3.56随机变量X的分布列为，则7设，已知，则8设A、B是两个事件，若事件A和事件B同时发生的概率为，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为，则事件A发生的概率为。9在未来的三天内，某气象台预报每天天气的准确率均为0.8，则在未来的3天中，至少有一个连续2天预报准确的概率是。10袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p () 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次(i)恰好有3次摸到红球的概率；(ii)第一次、第三次、第五次摸到红球的概率 () 若A、B两个袋子中的球数之比为12，将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是，求p的值11. 已知正四面体ABCD，有一只小虫自顶点A沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点B、C、D，然后又从B、C、D中的一个顶点沿每一条棱以等可能的概率爬到另外三个顶点，依次进行下去。记Pn为第n次到顶点A的概率。 求Pn的通项公式； 求2008次爬到顶点A的概率.12. 下面玩掷骰子放球游戏，若掷出1点，甲盒中放一球，若掷出2点或3 点，乙盒中放一球，若掷出4点、5点或6点，丙盒中放一球，设掷n次后，甲、乙、丙各盒内的球数分别为。（1）n=3时，求成等差数列的概率。（2）当n=6时，求成等比数列的概率。第四讲离散型随机变量的期望与方差知识梳理知识盘点1若离散型随机变量的分布列为x1x2xixnPp1p2pipn则称E为随机变量的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的。把叫做随机变量方差，的算术平方根叫做随机变量的，记作。随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的。其中标准差与随机变量本身有。2若a+b(a,b为常数)，则EE(a+b)=_；DD(a+b)=_；若服从两点分布，则E，D，若X服从二项分布，即，则E，D。特别提醒1.离散型随机变量的期望和方差都是随机变量的重要的特征数，期望反映了随机变量的平均值，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.事实上，期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均.E由的分布列唯一确定.,而D表示对E的平均偏离程度，D越大表示平均偏离程度越大，说明的取值越分散.2.求离散型随机变量的期望与方差，首先应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数，应先求出这些待定常数后，再求其期望与方差.3.离散型随机变量的期望和方差的计算公式与运算性质：E=xi pi，D=（xiE）2pi，E（a+b）=aE+b，D（a+b）=a2D.4.二项分布的期望与方差：若B（n，p），则E=np，D=np（1p）.5.对求离散型随机变量的期望和方差的应用问题，首先应仔细地分析题意，当概率分布不是一些熟知的类型时，应全面地剖析各个随机变量所包含的各种事件，并准确判断各事件的相互关系，从而求出各随机变量相应的概率.基础闯关1下列说法中正确的是（）A离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的概率的平均值B离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的概率的平均值C离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的概率的平均水平D离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的概率的平均水平2对于一道习题，甲解出的概率为，乙解出的概率为，设解出这道习题的人数为X，则DX等于（）ABCD3任意确定四个日期，设X表示取到四个日期中星期天的个数，则DX等于（）ABCD4设随机变量X的分布列为X123P0.5xy若EX，则DX（）ABCD5设随机变量X等可能地取，若，则等于。6（2006年四川卷）设离散性随机变量可能取的值为，又的数学期望，则_;典例精析例1设是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E、D.101P12qq2剖析应先按分布列的性质，求出q的值后，再计算出E、D.解因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以 解得q=1.于是，的分布列为101P1所以E=（1）+0（1）+1（）=1，D=1（1）2+（1）2（1）+1（1）2（）=1.警示解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：E=（1）+0（12q）+1q2=q2变式训练：1若是离散型随机变量，P（=x1）=，P（=x2）=，且x1x2，又知E=，D=.求的分布列。例2把4个球随机地投入4个盒子中去，设表示空盒子的个数，求E、D.剖析每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A=4!，P（=0）=；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为CCA，P（=1）=.同样可分析P（=2），P（=3）解的所有可能取值为0，1，2，3.P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=.的分布列为0123PE=，D=警示本题的关键是正确理解的意义，写出的分布列. 求投球的方法数时，要把每个球看成不一样的.=2时，此时有两种情况：有2个空盒子，每个盒子投2个球；1个盒子投3个球，另1个盒子投1个球。变式训练2下表为某班英语及数学成绩的分布.学生共有50人，成绩分为5个档次，如表中所示英语成绩为5分、数学成绩为4分的学生有3人。若在全班学生中任选一人，其英语 数 学54321英语51310141075132109321b60a100113语成绩记为，数学成绩记为.(1) 的概率是多少？且的概率是多少？(2) 若的期望为，试确定a,b的值.例3设为平面上过点（0,1）的直线，的斜率等可能地取，用X表示坐标原点到直线的距离，求随机变量X的数学期望EX。剖析由于题设条件中直线的斜率是等可能地取到的，因此可以将此题看作是等可能事件的概率问题，从而分别计算同当直线的斜率取时X的取值，根据等可能事件的计算公式可得分布列，从而计算数学期望。解当直线的斜率取时，直线方程为，此时坐标原点到直线的距离为；当时，为；当时，为；当时，为1.因此由等可能事件的概率可得分布列如下：所以所求的随机变量X的数学期望为警示本题主要考查了以解析几何为载体等可能事件的主随机变量的数学期望。求离散型随机的分布列的关键是过好四关：（1）过好题目理解关：要抓住关键字句，尽可能转化为自己熟悉的数学模型；（2）过好随机变量取值关：准确无误地找到随机变量的所有可能的取值，特别是注意能否取0；（3）过好事件类型关：概率分布通常由等可能事件、互斥事件、对立事件、相互独立事件、独立重复试验等引起的，在计算相应概率前要先确定事件的类型，尤其注意“互斥事件”与“相互独立事件”的区别；（4）过好概率运算关：运用公式，时要注意准确无误。变式训练3. （2006年陕西卷）甲、乙、丙3人投篮，投进的概率分别是（I）现3人各投篮1次，求3人都没有投进的概率；（II）用表示投篮3次的进球数，求随机变量的概率分布及数学期望例4设掷两枚骰子，它们的各面均分别刻有（1）设是掷得的点数之和，求；（2）设是掷得点数差的绝对值，求剖析找到随机变量所有可能的取值是解决本题的关键所在，在第（1）题中，由于“是掷得的点数之和”，从而X所有可能的取值应为2,3，4,5，6；而在第（2）题中，“是掷得点数差的绝对值”，因此不可能有负数的产生，从而Y的所有可能的取值是：0,1，2。解设表示投掷一枚骰子所得的点数，则的分布列为123（1）的分布列为23456从而（2）的分布列为012警示本题随机变量的分布列是比较难求的，一般先算出随机变量出现的可能次数，再算出总次数。要具体解决题，应将复杂的问题进行分解，先研究掷一个骰子所得的点数的分布列，然后在此基础上研究整个问题。 变式训练4 例5若随机变量A在一次试验中发生的概率为p（0p1），用随机变量表示A在1次试验中发生的次数.（1）求方差D的最大值；（2）求的最大值.剖析要求D、的最大值，需求D、E关于p的函数式，故需先求的分布列.解随机变量的所有可能取值为0，1，并且有P（=1）=p，P（=0）=1p，从而E=0（1p）+1p=p，D=（0p）2（1p）+（1p）2p=pp2.（1）D=pp2=（p）2+，0p1，当p=时，D取得最大值为.（2）=2（2p+），0p1，2p+2.当且仅当2p=，即p=时，取得最大值22.警示本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差的关系，即，并将概率统计问题与不等式问题巧妙地结合在一起进行考查，像这种在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视。变式训练5（2005年广东卷）箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为：现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n次以表示取球结束时已取到白球的次数（）求的分布列；（）求的数学期望例6（2006年辽宁卷）现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为、;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为,对乙项目每投资十万元, 取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量、分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润.(I) 求、的概率分布和数学期望、;(II) 当时,求的取值范围.剖析由题意可知服从二项分布，为此只需计算出与、其中的一个即可得另一的值。解(I)解法一: 的概率分布为1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.由题设得,则的概率分布为012P故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=+=.解法二: 的概率分布为1.21.181.17PE=1.2+1.18+1.17=1.18.设表示事件”第i次调整,价格下降”(i=1,2),则P(=0)= ;P(=1)=;P(=2)=故的概率分布为1.31.250.2P所以的数学期望为E=+=.(II) 由,得: 因0p1,所以时,p的取值范围是0p0.3.警示本题是一道综合性较强的题目，主要考查了随机事件的分布列与不等式的计算，像这种将多个知识点综合起来进行考查的题型是今后高考命题的主要方向，应该引起注意。变式训练6（2005年辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙； （）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求、的分布列及E、E； （）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示） 能力提升1设，则等于（）A45B40C35D152已知随机变量X的分布列是：X4a910P0.30.1b0.2且EX7.5，则a的值为（）A.B.C.D.3一批产品（数量很大）中，次品率为，现连续地抽取次，其次品数记为X，则DX为（）A.B.C.D.4设随机变量，且，则（）A.B.C.D.5（2006年江苏卷）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则xy的值为（）（A）1（B）2（C）3（D）46（2006年福建卷）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2。将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是。7利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是_. 8从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为012P9质点从数轴的原点出发，当投下均匀硬币出现正面时，质点沿数轴的正方向移动一个长度单位，当硬币出现反面时，质点沿数轴的负方向移动一个长度单位，移动4次停止，则停止运动时质点在数轴上的坐标X的均值是。10已知盒中有 5 个红球 t 个白球共 5 + t 个球，从盒中每次抽取一个球然后放回，连续抽取三次，设每次抽取时每个球被抽到的概率是相等的。若第一次，第三次均抽到白球的概率为 ，求抽到白球次数的分布列和数学期望。11. (2005年山东卷)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数.（I）求袋中所有的白球的个数；（II）求随机变量的概率分布；（III）求甲取到白球的概率.12. 某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.（总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.） 仿真训练一 选择题1掷两颗骰子，所得的点数之和为，那么所表示的随机试验的结果是（）A.一颗是点，另颗是点B.两颗都是点C.两颗都是点D.一颗是点，一颗是点或两颗都是点2，则等于（）A1B2C4D63设离散型随机变量满足E=l，D=3，则E3(2)等于（ ） A9 B6 C30 D364独立重复试验中应满足的条件是：（1）每次试验之间是相互独立的；（2）每次试验只有发生与不发生两种结果之一；（3）每次试验中发生物机会是均等的；（4）各次试验发生的事件是互斥的。其中正确的有（）A（1）（2）B（2）（3）C（1）（2）（3）D（1）（2）（4）5若，且，则的值为（）ABCD6抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数的期望是（ ） A B C D7在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率P的取值范围是（）ABCD8箱中有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第四次取球之后停止的概率为（ B ）A. B.()3() C. D.C()3()9生产过程中的质量控制图主要依据是（ ） A工艺要求 B生产条件要求 C企业标准 D小概率事件在一次试验中几乎不可能发生原理10随机变量服从，而且，那么等于（）A0B1C0.5D无法判断11已知盒子中有散落的围棋棋子15粒，其中6粒黑子，9粒白子，从中任意取出2粒恰好是同一色的概率 （ ） A B C D12已知在6个电子元件中，有2个次品，4个合格品，每次任取一个测试，测试完后不再放回，直到两个次品都找到为止，则经过4次测试恰好将2个次品全部找出的概率（ ）A. B. C. D.二填空题13一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次停止，设停止时,取球次数为随机变量,则 _.14某自然保护区内有n只大熊猫，从中捕捉t只体检并加上标志再放回保护区，