运动与直角三角形,梯形专题训练

运动与直角三角形 梯形专题训练运动与直角三角形 梯形专题训练 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 运动与直角三角形 梯形专题训练运动与直角三角形 梯形专题训练 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 已知 在梯形 ABCD 中 CD AB AD DC BC 2 AB 4 点 M 从 A 开始 以每秒 1 个单位的速度向点 B 运 动 点 N 从点 C 出发 沿 C D A 方向 以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动 若 M N 同时出发 其中一点到 达终点时 另一个点也停止运动 运动时间为 t 秒 过点 N 作 NQ CD 交 AC 于点 Q 1 设 AMQ 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 并写出 t 的取值范围 2 在梯形 ABCD 的对称轴上是否存在点 P 使 PAD 为直角三角形 若存在 求点 P 到 AB 的距离 若不存在 说明理由 3 在点 M N 运动过程中 是否存在 t 值 使 AMQ 为等腰三角形 若存在 求出 t 值 若不存在 说明理 由 2 如图 1 直角梯形 OABC 中 A 90 AB CO 且 AB 2 OA 2 BCO 60 1 求证 OBC 为等边三角形 2 如图 2 OH BC 于点 H 动点 P 从点 H 出发 沿线段 HO 向点 O 运动 动点 Q 从点 O 出发 沿线段 OA 向点 A 运动 两点同时出发 速度都为 1 秒 设点 P 运动的时间为 t 秒 OPQ 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数 关系式 并求出 t 的取值范围 3 设 PQ 与 OB 交于点 M 当 OM PM 时 求 t 的值 3 如图 P 为正方形 ABCD 的对称中心 A 0 3 B 1 0 直线 OP 交 AB 于 N DC 于 M 点 H 从原点 O 出发沿 x 轴的正半轴方向以 1 个单位每秒速度运动 同时 点 R 从 O 出发沿 OM 方向以个单位每秒速度运动 运动时间为 t 求 1 C 的坐标为 2 当 t 为何值时 ANO 与 DMR 相似 3 HCR 面积 S 与 t 的函数关系式 并求以 A B C R 为顶点的四边形是梯形时 S 的值 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 4 2005 日照 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 C 60 AD 3cm BC 9cm O1的圆心 O1从 点 A 开始沿折线 A D C 以 1cm s 的速度向点 C 运动 O2的圆心 O2从点 B 开始沿 BA 边以cm s 的速度向点 A 运动 O1半径为 2cm O2的半径为 4cm 若 O1 O2分别从点 A 点 B 同时出发 运动的时间为 t 1 请求出 O2与腰 CD 相切时 t 的值 2 在 0s t 3s 范围内 当 t 为何值时 O1与 O2外切 5 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AB 10cm AC BC 4 3 点 P 在 AB 上 AP 2 点 E F 同时从点 P 出发 分别沿 PA PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A B 匀速运动 点 E 到达点 A 后以原速度沿 AB 向点 B 运 动 点 F 运动到点 B 时停止 点 E 也随之停止运动 在点 E F 运动过程中 以 EF 为边作正方形 EFGH 使它与 ABC 在线段 AB 的同侧 设点 E F 运动的时间为 t 秒 t 0 正方形 EFGH 它与 ABC 重叠部分的面积为 S 1 写出 AC BC 的长 2 当 t 1 时 正方形 EFGH 的边长是 当 t 3 时 正方形 EFGH 的边长为 3 当 0 t 2 时 求 S 与 t 的函数关系式 4 直接写出 在整个运动过程中 当正方形 EFGH 它与 ABC 重叠部分是直角梯形时 t 的取值范围 6 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AD 2cm BC 6cm AB 4cm 动点 P 从点 A 出发 沿 A D C 的路线以 2cm s 的速度向点 C 运动 动点 Q 从点 C 出发 沿 C B 的路线以 1cm s 的速度向点 B 运 动 若点 P Q 同时出发 当其中有一点到达终点时整个运动随之结束 设运动时间为 t s 1 当 t 为何值时 PQ 与 DC 平行 2 在整个运动过程中 设 PBQ 的面积为 S cm2 求 S cm2 与 t s 之间的函数关系式 3 当点 P 运动到 DC 上时 以 P 为圆心 PD 长为半径作 P 以 B 为圆心 BQ 长为半径作 B 问 是否存 在这样的 t 使得 P 与 B 相切 若存在 请求出所有符合条件的 t 的值 若不存在 请说明理由 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 7 2005 漳州 如图 1 在直角梯形 ABCD 中 AD BC 顶点 D C 分别在 AM BN 上运动 点 D 不与 A 重合 点 C 不与 B 重合 E 是 AB 上的动点 点 E 不与 A B 重合 在运动过程中始终保持 DE CE 且 AD DE AB a 1 求证 ADE BEC 2 当点 E 为 AB 边的中点时 如图 2 求证 AD BC CD DE CE 分别平分 ADC BCD 3 设 AE m 请探究 BEC 的周长是否与 m 值有关 若有关请用含 m 的代数式表示 BEC 的周长 若无关请 说明理由 8 如图 1 在直角梯形 ABCD 中 AD BC 顶点 D C 分别在射线 AM BN 上运动 点 D 不与 A 重合 点 C 不 与 B 重合 E 是 AB 边上的动点 点 E 不与 A B 重合 在运动过程中始终保持 DE CE 1 求证 ADE BEC 2 当点 E 为 AB 边的中点时 如图 2 求证 DE CE 分别平分 ADC BCD 3 若 AD DE AB a 设 AE m 请探究 BEC 的周长是否与 m 的值有关 若有关请用含 m 的代数式表示 BEC 的周长 若无关请说明理由 9 如图 AB AC 10cm BC 12cm BF AC 点 P Q 均以 1cm s 的速度同时分别从 C A 出发沿 CA AB 的方 向运动 当 P 到达 A 点时 点 P Q 均停止运动 过点 P 作 PE BC 分别交 AB BF 于点 G E 设运动时间为 ts 1 直接判断并填写 经过 t 秒 线段 AP cm 用含 t 的代数式表示 线段 QE QP 用 符号表示 2 四边形 EBPA 的面积会变化吗 请说明理由 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 3 当 0 t 5 时 求出四边形 EBPA 的面积 S 与 t 的函数关系式 试探究 当 t 为何值时 四边形 EBPQ 是梯形 10 如图所示 四边形 ABCD 是直角梯形 AB DC AB 6 CD 3 AD 4 动点 M N 分别从 A B 两点同时 出发 点 M 以每秒 1 个单位长的速度沿 AB 向点 B 运动 点 N 以每秒 1 个单位长的速度沿 B C D 运动 当其中一 个点到达终点时 另一个点也随即停止 设两个点的运动时间为 t 秒 1 线段 BC 的长为 2 当 t 为何值时 MN AD 3 设 DMN 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 并指出自变量 t 的取值范围 S 是否有最小值 若有最 小值 最小值是多少 4 请直接写出 MN BD 时 t 的值 11 如图 1 在梯形 ABCD 中 AD BC DC BC 已知 AB 5 BC 6 cosB 点 O 为线段 BC 上的动点 连 接 OD 以 O 为圆心 OB 为半径的 O 分别交线段 AB OD 于点 P M 交射线 BC 于点 N 连接 AC MN AC 交线段 OD 于点 E 1 求梯形对角线 AC 的长 2 如图 2 当点 O 在线段 BC 上运动到使 O 与对角线 AC 相切时 求 O 的半径 OB 3 如图 3 当点 O 在线段 BC 上运动到使 O 与线段 BC 的延长线交于点 N 时 以 C 为圆心 CN 为半径作 C 则 C 与 O 相内切 求 C 的半径 CN 的最大值 4 在点 O 在线段 BC 上运动的过程中 是否存在 MN AC 的情况 若存在 求出 O 的半径 OB 若不存在 说明理由 12 在 ABC 中 A 90 AB 8 AC 6 M 是 AB 上的动点 不与 A B 重合 过 M 作 MN BC 交 AC 于点 N 以 MN 为直径作 O 设 AM x 1 用含 x 的代数式表示 AMN 的面积 S 2 M 在 AB 上运动 当 O 与 BC 相切时 如图 求 x 的值 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 3 M 在 AB 上运动 当 O 与 BC 相交时 如图 在 O 上取一点 P 使 PM AC 连接 PN PM 交 BC 于 E PN 交 BC 于点 F 设梯形 MNFE 的面积为 y 求 y 关于 x 的函数关系式 13 如图 1 在直角梯形 ABCD 中 AD BC D 90 AD 9cm CD 12cm BC 15cm 点 P 由点 C 出发沿 CA 方向匀速运动 速度为 1cm s 同时 线段 EF 由 AB 出发沿 AD 方向匀速运动 速度为 1cm s 且与 AC 交于 Q 点 连接 PE PF 当点 P 与点 Q 相遇时 所有运动停止 若设运动时间为 t s 1 求 AB 的长度 2 当 PE CD 时 求出 t 的值 3 设 PEF 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式 如图 2 当 PEF 的外接圆圆心 O 恰在 EF 的中点时 则 t 的值为 直接写出答案 14 2010 鞍山 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC C 90 BC 16 DC 12 AD 21 动点 P 从点 D 出 发 沿射线 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动 动点 Q 从点 C 出发 在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的 速度向点 B 运动 点 P Q 分别从点 D C 同时出发 当点 Q 运动到点 B 时 点 P 随之停止运动 设运动的时间 为 t 秒 1 设 BPQ 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数关系式 2 当 t 为何值时 以 B P Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形 3 当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O 且 2AO OB 时 求 BQP 的正切值 4 是否存在时刻 t 使得 PQ BD 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 15 如图 直角梯形 ABCD 中 AB DC DAB 90 AD 2DC 4 AB 6 动点 M 以每秒 1 个单位长的速度 从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动 同时点 P 以相同的速度 从点 C 沿折线 C D A 向点 A 运动 当点 M 到达点 B 时 两点同时停止运动 过点 M 作直线 l AD 与折线 A C B 的交点为 Q 点 M 运动的时间为 t 秒 1 当 AM 0 5 时 求线段 QM 的长 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 2 点 M 在线段 AB 上运动时 是否可以使得以 C P Q 为顶点的三角形为直角三角形 若可以 请直接写出 t 的值 不需解题步骤 若不可以 请说明理由 3 若 PCQ 的面积为 y 请求 y 关于出 t 的函数关系式及自变量的取值范围 16 2009 青岛 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 6cm CD 4cm BC BD 10cm 点 P 由 B 出发沿 BD 方向匀速运动 速度为 1cm s 同时 线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动 速度为 1cm s 交 BD 于 Q 连接 PE 若设运动时间为 t s 0 t 5 解答下列问题 1 当 t 为何值时 PE AB 2 设 PEQ 的面积为 y cm2 求 y 与 t 之间的函数关系式 3 是否存在某一时刻 t 使 S PEQ S BCD 若存在 求出此时 t 的值 若不存在 说明理由 4 连接 PF 在上述运动过程中 五边形 PFCDE 的面积是否发生变化 说明理由 17 2010 咸宁 如图 直角梯形 ABCD 中 AB DC DAB 90 AD 2DC 4 AB 6 动点 M 以每秒 1 个单 位长的速度 从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动 同时点 P 以相同的速度 从点 C 沿折线 C D A 向点 A 运动 当点 M 到达点 B 时 两点同时停止运动 过点 M 作直线 l AD 与线段 CD 的交点为 E 与折线 A C B 的交点为 Q 点 M 运动的时间为 t 秒 1 当 t 0 5 时 求线段 QM 的长 2 当 0 t 2 时 如果以 C P Q 为顶点的三角形为直角三角形 求 t 的值 3 当 t 2 时 连接 PQ 交线段 AC 于点 R 请探究是否为定值 若是 试求这个定值 若不是 请说明理 由 18 如图所示 梯形 AOCD 中 AOC 90 AD 9 OC 10 AO 4 在线段 OC 上任取一点 N 不与 O C 重合 连接 DN 作 NE DN 与直线 AO 交于点 E 1 当 CN 2 时 求 OE 2 若 CN t OE s 求 s 关于自变量 t 的函数关系式 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 3 探索与研究 如图 2 所示 分别以 AO OC 所在的直线为 y 轴与 x 轴 O 为原点 建立如图所示的直角坐标 系 动点 M 从点 O 沿线段 OC 向 C 点运动 动点 N 从点 C 沿线段 CO 向点 O 同时等速运动 设现有一点 F x y 满足 MF MN NF ND 试用含 x 的式子表示 y 19 已知 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AB 6 BC 8 AD 14 E 为 AB 上一点 BE 2 点 F 在 BC 边上运动 以 FE 为一边作菱形 FEHG 使点 H 落在 AD 边上 点 G 落在梯形 ABCD 内或其边上 若 BF x FCG 的面积为 y 1 当 x 时 四边形 FEHG 为正方形 2 求 y 与 x 的函数关系式 不要求写出自变量的取值范围 3 在备用图中分别画出 FCG 的面积取得最大值和最小值时相应的图形 不要求尺规作图 不要求写画法 并求 FCG 面积的最大值和最小值 计算过程可简要书写 4 FOG 的面积由最大值变到最小值时 点 G 运动的路线长为 20 如图 1 菱形 ABOC 的对角线 OA BC 交于点 D BOC 60 E 为 AC 边中点 BE 与 OA 交于 点 F 点 P 从点 O 包含顶点 O 开始沿 OA 方向以每秒个单位长度的速度运动 同时 点 Q 从点 C 包含 顶点 C 出发沿 CB 方向以每秒 1 个单位长度的速度运动 当 P 到达点 A 时 P Q 同时停止运动 设运动时间为 x 秒 1 若记以 P B E Q 为顶点的四边形面积为 S 分别求出点 P 在线段 OD 不含点 D 和在线段 AF 不含点 F 上时 S 关于 x 的函数关系式 并写出相应的自变量 x 的取值范围 2 若以 P B E Q 为顶点的四边形是梯形 求 x 的值 3 如图 2 若点 M N 分别在菱形的边 OC AC 上 且 MBN 60 MBN 在 OBA 内部绕着点 B 旋转的过 程中 请你探究 OM AN 的值是否发生变化 若不变 求出其值 若发生变化 请说明理由 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 21 已知 如图 直角梯形 ABCD AB CD A 90 DC 6 AB 12 BC 10 Rt EFG EGF 90 的边 EF 与 BC 完全重合 FG 与 BA 在同一直线上 现将 Rt EFG 以 3cm s 的速度水平向左作匀速平移 如图 EF EG 分别交 AC 于点 H Q 同时点 M 以 cm s 的速度从点 B 出发沿 BC 向点 C 作匀速运动 连接 FM 当点 E 运动到点 D 时 Rt EFG 和点 M 都停止运动 设点 M 运动的时间为 t s 1 当点 Q 是 AC 的中点时 求 t 的值 2 判断四边形 CHFM 的形状 并说明理由 3 如图 连接 HM 设四边形 ABMH 的面积为 s 求 s 与 t 的函数关系式及 s 的最小值 22 如图 1 在直角梯形 ABCD 中 AD BC ADC 90 AD CD 4 BC 3 点 M 从点 D 出发以每秒 2 个单位 长度的速度向点 A 运动 同时 点 N 从点 B 出发 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动 其中一个动点到达终 点时 另一个动点也随之停止运动 过点 N 作 NP AD 于点 P 连接 AC 交 NP 于点 Q 连接 MQ 设运动时间为 t 秒 1 填空 AM AP 用含 t 的代数式表示 2 t 取何值时 梯形 ABNM 面积等于梯形 ABCD 面积的一半 3 如图 2 将 AQM 沿 AD 翻折 得 AKM 是否存在某时刻 t 使四边形 AQMK 为正方形 并说明理由 23 已知梯形 ABCD 中 AD BC A 120 E 是 AB 的中点 过 E 点作射线 EF BC 交 CD 于点 G AB AD 的长恰好是方程 x2 4x a2 2a 5 0 的两个相等实数根 动点 P Q 分别从点 A E 出发 点 P 以每秒 1 个单位长度 的速度沿射线 AB 由点 A 向点 B 运动 点 Q 以每秒 2 个单位长度的速度沿 EF 由 E 向 F 运动 设点 P Q 运动的 时间为 t 1 求线段 AB AD 的长 2 如果 t 1 DP 与 EF 相交于点 N 求 DPQ 的面积 S 与时间 t 之间的函数关系式 3 当 t 0 时 是否存在 DPQ 是直角三角形的情况 如果存在请求出时间 t 如果不存在 说明理由 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 24 在 Rt ABC 中 C 90 A 60 BC 6 等边三角形 DEF 从初始位置 点 E 与点 B 重合 EF 落在 BC 上 如图 1 所示 在线段 BC 上沿 BC 方向以每秒 1 个单位的速度平移 DE DF 分别与 AB 相交于点 M N 当点 F 运动到点 C 时 DEF 停止运动 此时点 D 恰好落在 AB 上 在 DEF 开始运动的同时 如果点 P 以每秒 2 个单 位的速度从 D 点出发沿 DE EF 运动 最终运动到 F 点 若设 DEF 平移的时间为 x 秒 PMN 的面积为 y 1 DEF 的边长为 2 当 x 为何值时 P 点与 M 点重合 3 当点 P 在 DE 上时 x 为何值时 PMN 是直角三角形 4 求 y 与 x 的函数关系式 并说明当 P 点在何处时 PMN 的面积最大 25 2010 包头 如图 已知矩形 ABCD 中 AB 4cm BC a 厘米 a 4 动点 P Q 同时从 C 点出发 点 P 在线段 CB 上以 1 厘米 秒的速度由 C 点向 B 点运动 点 Q 在线段 CD 上以相同的速度由 C 点向 D 点运动 过点 P 作直线垂直于 BC 分别交 BQ AD 于点 E F 当点 Q 到达终点 D 时 点 P 随之停止运动 设运动时间为 t 秒 t 0 1 如图 若 a 5 厘米 在运动过程中 当点 E 在矩形 ABCD 的对角线 AC 上时 求 t 的值 2 如图 若 a 6 厘米 在运动过程中 是否存在某一时刻 t 使得 BFQ 90 若存在 请求出此时 t 的值 若不存在 请说明理由 3 若经过 t 秒后 恰好使矩形 ABPF 的面积与直角三角形 BCQ 的面积相等 求 a 的取值范围 26 已知 在 ABC 中 C 90 AC 4 BC 3 动点 P 从点 A 出发 以每秒 个单位的速度沿 AB 方向向终点 B 运动 同时 动点 Q 也从点 A 出发 以每秒 1 个单位的速度沿 AC 方向向终点 C 运动 设两点运动的时间为 t 秒 0 t 4 1 连接 PQ 在点 P Q 运动过程中 APQ 与 ABC 是否始终相似 请说明理由 2 连接 PC 设 PCQ 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式 3 连接 PC BQ 是否存在 t 的值 使 PC BQ 若存在 求出 t 的值 若不存在 请说明理由 4 探索 把 PQB 沿直线 PQ 折叠成 PQB 设 QB 与 AB 交于点 E 当 BEQ 是直角三角形时 请直接写出 t 的值 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 27 2006 青岛 如图 有两个形状完全相同的直角三角形 ABC 和 EFG 叠放在一起 点 A 与点 E 重合 已 知 AC 8cm BC 6cm C 90 EG 4cm EGF 90 O 是 EFG 斜边上的中点 如图 若整个 EFG 从图 的位置出发 以 1cm s 的速度沿射线 AB 方向平移 在 EFG 平移的同时 点 P 从 EFG 的顶点 G 出发 以 1cm s 的速度在直角边 GF 上向点 F 运动 当点 P 到达点 F 时 点 P 停止运动 EFG 也随之停止平移 设运动时间为 x s FG 的延长线交 AC 于 H 四边形 OAHP 的面积为 y cm2 不考虑点 P 与 G F 重合的情况 1 当 x 为何值时 OP AC 2 求 y 与 x 之间的函数关系式 并确定自变量 x 的取值范围 3 是否存在某一时刻 使四边形 OAHP 面积与 ABC 面积的比为 13 24 若存在 求出 x 的值 若不存在 说明理由 参考数据 1142 12996 1152 13225 1162 13456 或 4 42 19 36 4 52 20 25 4 62 21 16 28 2006 广东 已知四边形 ABCD 是矩形 BC AB 直线 MN 分别与 AB BC 交于 E F 两点 P 为对角线 AC 上一动点 P 不与 A C 重合 1 当点 E F 分别为 AB BC 的中点时 如图 1 问点 P 在 AC 上运动时 点 P E F 能否构成直角三角形 若能 共有几个 请在图中画出所有满足条件的三角形 2 若 AB 3 BC 4 P 为 AC 的中点 当直线 MN 的移动时 始终保持 MN AC 如图 2 求 PEF 的面积 S PEF与 FC 的长 x 之间的函数关系式 29 已知 四边形 ABCD 中 AD BC AB AD DC BAD ADC 点 E 在 CD 边上运动 点 E 与点 C D 两 点不重合 AEP 为 直角三角形 AEP 90 P 30 过点 E 作 EM BC 交 AF 于点 M 1 若 BAD 120 如图 1 求证 BF DE EM 2 若 BAD 90 如图 2 则线段 BF DE EM 的数量关系为 3 在 1 的条件下 若 AD BF 3 2 EM 7 求 CE 的长 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 30 如图 1 在平面直角坐标系中 直线 y x 4 分别交 x 轴 y 轴于 A B 两点 直线 BD 平分 OBA 交 x 轴于 D 点 1 连接 AB 的中点 M 交 BD 于 N 求证 ON OD 2 如图 2 过点 A 作 AE BD 垂足为 E 猜想 AE 与 BD 间的数量关系 并证明你的猜想 3 如图 3 在 x 轴上有一个动点 P 在 A 点的右侧 连接 PB 并作等腰直角三角形 BPF 其中 BPF 90 连 接 FA 并延长交 y 轴于 G 点 当 P 点在运动时 OG 的长是否发生改变 若改变 请求出它的变化范围 若不变 求出它的长度 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 运动与直角三角形 梯形专题训练运动与直角三角形 梯形专题训练 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 解答题 共一 解答题 共 30 小题 小题 1 已知 在梯形 ABCD 中 CD AB AD DC BC 2 AB 4 点 M 从 A 开始 以每秒 1 个单位的速度向点 B 运 动 点 N 从点 C 出发 沿 C D A 方向 以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动 若 M N 同时出发 其中一点到 达终点时 另一个点也停止运动 运动时间为 t 秒 过点 N 作 NQ CD 交 AC 于点 Q 1 设 AMQ 的面积为 S 求 S 与 t 的函数关系式 并写出 t 的取值范围 2 在梯形 ABCD 的对称轴上是否存在点 P 使 PAD 为直角三角形 若存在 求点 P 到 AB 的距离 若不存在 说明理由 3 在点 M N 运动过程中 是否存在 t 值 使 AMQ 为等腰三角形 若存在 求出 t 值 若不存在 说明理 由 考点 等腰梯形的 性质 等腰 三角形的判 定 直角三 角形的性 质 2165723 专题 动点型 分析 1 求出 t 的临界点 t 2 分别求 出当 0 t 2 时和 2 t 4 时 S 与 t 的 函数关系式 即可 2 作梯形 对称轴交 CD 于 K 交 AB 于 L 分 3 种情况进行 讨论 取 AD 的中点 G 以 D 为直角顶点 以 A 为直 角顶点 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 3 当 0 t 2 时 若 AMQ 为 等腰三角形 则 MA MQ 或者 AQ AM 分 别求出 t 的值 然后判断 t 是 否符合题 意 解答 解 1 当 0 t 2 时 如图 过点 Q 作 QF AB 于 F 过点 C 作 CE AB 于 E AB CD QF CD NQ CD N Q F 共 线 CQN A FQ CN t AF AE CN 3 t NF QF t S t t S t2 t 当 2 t 4 时 如图 FQC PQA 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 DN t 2 FD DN cos FDN DN c os60 t 2 FC CD FD 2 t 2 t 1 FQ FC tan FCQ FC ta n30 t 1 t 2 PQ PF FQ t 2 可得 QP t 2 S t t 2 S t2 t 2 作梯形 对称轴交 CD 于 K 交 AB 于 L 况一 取 AD 的中点 G GD 1 过 G 作 GH 对称轴于 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 H GH 1 5 1 5 1 以 P 为直角 顶点的 Rt PAD 不存在 况二 以 D 为直角顶点 KP1 P1L 况三 以 A 为直角顶点 LP2 综上 P 到 AB 的距离为 时 PAD 为 Rt 3 0 t 2 时 若 MA MQ 则 t t t 若 AQ AM 则 t 2 t 解得 t 12 6 若 OA QM 则 QMA 30 而 0 t 2 时 QMA 90 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 QA QM 不 存在 2 t 4 图中 若 QA QM A P AD 2 t 2 若 AQ AM 2 t 2 t t 2 2 2 2 2 此情况不存 在若 MA MQ 则 AQM 30 而 AQM 60 不存在 综上 t 12 6 2 时 AMQ 是等腰 三角形 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 点评 本题主要考 查等腰梯形 的性质的知 识点 此题 综合性很强 把图形的变 换放在梯形 的背景中 利用等腰梯 形的性质结 合已知条件 探究图形的 变换 根据 变换的图形 的性质求出 运动时间 2 如图 1 直角梯形 OABC 中 A 90 AB CO 且 AB 2 OA 2 BCO 60 1 求证 OBC 为等边三角形 2 如图 2 OH BC 于点 H 动点 P 从点 H 出发 沿线段 HO 向点 O 运动 动点 Q 从点 O 出发 沿线段 OA 向点 A 运动 两点同时出发 速度都为 1 秒 设点 P 运动的时间为 t 秒 OPQ 的面积为 S 求 S 与 t 之间的函数 关系式 并求出 t 的取值范围 3 设 PQ 与 OB 交于点 M 当 OM PM 时 求 t 的值 考点 直角梯形 等边三角形 的判定与性 质 勾股定 理 2165723 分析 1 利用勾 股定理求出 OB 然后根 据含 30 度的 直角三角形 三边的关系 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 得到 AOB 30 ABO 60 则 BOC AB O 60 在 OBC 中有两 60 的角 根 据等边三角 形的判定即 可得到结论 2 根据等 边三角形的 性质易得 COH 30 OH BC 2 则 QOP 60 OP 2 t 利用三角形 的面积公式 得到 S OQ OP sin QOP 代值即可得 到 S t2 t 0 t 2 3 由 OM PM 得 到 MOP MP O 30 则 PQO 90 利用含 30 度 的直角三角 形三边的关 系得到 OP 2OQ 即 2 t 2t 解 方程即可 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 解答 解 1 在 Rt OAB 中 AB 2 OA 2 OB 4 AOB 30 ABO 60 AB OC BOC A BO 60 而 BCO 60 OBC 为等 边三角形 2 OH BC COH 30 OH BC 4 2 QOP 60 OP 2 t 而 OQ t S OQ O P sin QOP t 2 t t2 t 0 t 2 3 OM PM MOP M PO 30 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 而 QOP 60 PQO 90 OP 2OQ 即 2 t 2t t 点评 本题考查了 直角梯形的 性质 上下 底平行 有 一底角为 90 也考查了等 边三角形的 判定与性质 勾股定理以 及含 30 度的 直角三角形 三边的关 系 3 如图 P 为正方形 ABCD 的对称中心 A 0 3 B 1 0 直线 OP 交 AB 于 N DC 于 M 点 H 从原点 O 出发沿 x 轴的正半轴方向以 1 个单位每秒速度运动 同时 点 R 从 O 出发沿 OM 方向以个单位每秒速度运动 运动时间为 t 求 1 C 的坐标为 4 1 2 当 t 为何值时 ANO 与 DMR 相似 3 HCR 面积 S 与 t 的函数关系式 并求以 A B C R 为顶点的四边形是梯形时 S 的值 考点 相似三角形 的判定与性 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 质 根据实 际问题列二 次函数关系 式 正方形 的性质 梯 形 2165723 专题 综合题 分 类讨论 分析 1 过 C 作 CE x 轴 于 E 易证 得 ABO BCE 可得 AO BE OB CE 由此 求出点 C 的 坐标 2 RH y 轴 即 R H 的横坐 标相同 由于 AB CD 得 DMR AN O 若 ANO 与 DMR 相 似 则 由于直线 OP 经过正方形 的对称中线 因此 OP 平分 AOB 即 AOP 45 由于 AB CD 故 ANO DM O 若 ANO 与 DMR 相 似 则有两 种情况 DRM 45 此时 DR y 轴 即 点 R D H 的横坐标都 相同 由此 求出点 H 的 坐标 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 RDM 45 此时 R P 重合 因此 R H 的横坐标相 同 由此求 出点 H 的坐 标 3 首先 用 t 表示出 PH 的长 由 于 PH 与 y 轴 平行 可以 PH 为底 H C 的横坐 标差的绝对 值为高求出 S 的表达式 即可得 S t 的函数关系 式 要注意 的是在表示 高的过程中 要分 H 在 C 点左侧和 H 点在 C 点右 侧两种情况 讨论 此题应分 三种情况讨 论 一 CR AB 此 时 R M 重 合 可求出 直线 CD 的 解析式 联 立直线 OP 的 解析式 即 可求得 M 点 即 R 的 坐标 进而 得到 H 点坐 标和 t 的值 然后再将 t 代 入 的函数 解析式中即 可得到 S 的 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 值 二 AR BC 三 BR AC 解 法同上 解答 解 1 过 C 作 CE x 轴于 E 由于四边形 ABCD 是正 方形 AB BC ABC 90 易证得 ABO BCE 则 AO BE 3 OB CE 1 C 4 1 2 分 同理可求 D 3 4 2 由于 P 是正方形的 对称中心 由 A 0 3 C 4 1 可得 P 2 2 则 MOE 45 又 OR t O H t 所以 RH y 轴 即 R H 的横坐 标相同 由于 AB CD 得 DMR AN O 若 ANO 与 DMR 相 似 则 当 MDR 45 时 R P 重 合 此时 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 R 2 2 故 t 2 点 H 2 0 当 DRM 45 时 DR y 轴 此时 R 3 3 故 t 3 点 H 3 0 所以当 t 2 或 t 3 时 ANO 与 DMR 相似 3 分两 种情况 一 0 t 4 H 在 E 点左侧 易知 RH t HE 4 t 故 S RH HE t 4 t t2 2t 二 t 4 H 在 E 点右侧 易知 RH t HE t 4 故 S RH HE t t 4 t2 2t 若以 A B C R 为顶点的 四边形是梯 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 形 分三种 情况 一 CR AB 此 时 R M 重 合 由 C 4 1 D 3 4 可求得直线 CD y 3x 1 3 当 x y 时 3x 13 x 解 得 x 即 M 即 R 点横坐标 为 H 0 故 t 代 入 S t2 2t 0 t 4 可得 S 同理可求得 二 AR BC 时 t S 三 BR AC 时 t S 综合 可 得 S t2 2t 0 t 4 1 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 分 S t2 2t t 4 当 CR AB 时 t 1 分 S 当 AR BC 时 t S 当 BR AC 时 t S 点评 此题主要考 查了正方形 的性质 全 等三角形 相似三角形 的判定和性 质 梯形的 判定 图形 面积的求法 等知识 同 时还考查了 分类讨论思 想在动点问 题中的应用 难度较大 4 2005 日照 如图 直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 C 60 AD 3cm BC 9cm O1的圆心 O1从 点 A 开始沿折线 A D C 以 1cm s 的速度向点 C 运动 O2的圆心 O2从点 B 开始沿 BA 边以cm s 的速度向点 A 运动 O1半径为 2cm O2的半径为 4cm 若 O1 O2分别从点 A 点 B 同时出发 运动的时间为 t 1 请求出 O2与腰 CD 相切时 t 的值 2 在 0s t 3s 范围内 当 t 为何值时 O1与 O2外切 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 考点 圆与圆的位 置关系 勾 股定理 直 角梯形 切 线的性质 2165723 专题 压轴题 分析 1 先设 O2运动到 E 与 CD 相切 且切点是 F 连接 EF 并 过 E 作 EG BC 交 CD 于 G 再 过 G 作 GH BC 于 H 那么就得 到直角三角 形 EFG 和矩 形 GEBH 要求 O2与 CD 相切的时 间 可以先 求出 O2从 B 到 E 所走 的路程 BE 即 GH 的长 再除以运动 速度即可 那么求 GH 的值就是关 键 由 C 60 可 以知道 CGH 30 那么 FGE 60 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 在 Rt EFG 中 可以利 用勾股定理 求出 EG 的 值 那么 CH BC BH BC EG 在 Rt CGH 中 利用 60 的角 的正切值可 求出 GH 的 值 此问就 可解了 2 因为 s t 3s 所 以 O1一定在 AD 上 连接 O1O2 利用勾股定 理可得到关 于 t 的一元二 次方程 求 解即可 根 据要求 可 选择 t 的值 解答 解 1 如 图所示 设 点 O2运动到 点 E 处时 O2与腰 CD 相切 过点 E 作 EF DC 垂 足为 F 则 EF 4cm 方法一 作 EG BC 交 DC 于 G 作 GH BC 垂 足为 H 由直角三角 形 GEF 中 EGF GEF 90 又 EGF CG 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 H 90 GEF CG H 30 设 FG xcm 则 EG 2xcm 又 EF 4cm 根据勾股定 理得 x2 42 2x 2 解得 x 则 HB GE cm 又 在直角三角 形 CHG 中 C 60 CH 9 cm 则 EB GH CHt an60 cm 所以 t 秒 方法二 延 长 EA FD 交于点 P 通 过相似三角 形 也可求 出 EB 长 方法三 连 接 ED EC 根 据面积关系 列出含有 t 的 方程 直接 求 t 2 由于 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 0s t 3s 所 以 点 O1在 边 AD 上 如图连接 O1O2 则 O1O2 6cm 由勾股定理 得 t2 6 t 2 62 即 t2 9t 18 0 解得 t1 3 t2 6 不合题意 舍去 所以 经过 3 秒 O1 与 O2外 切 点评 本题利用了 切线的性质 勾股定理 正切值的计 算 以及公 式 s vt 矩 形的判定和 性质 两圆 外切的性 质 注意用含 t 的 代数式来表 示线段的 长 5 如图 在 Rt ABC 中 C 90 AB 10cm AC BC 4 3 点 P 在 AB 上 AP 2 点 E F 同时从点 P 出发 分别沿 PA PB 以每秒 1 个单位长度的速度向点 A B 匀速运动 点 E 到达点 A 后以原速度沿 AB 向点 B 运 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 动 点 F 运动到点 B 时停止 点 E 也随之停止运动 在点 E F 运动过程中 以 EF 为边作正方形 EFGH 使它与 ABC 在线段 AB 的同侧 设点 E F 运动的时间为 t 秒 t 0 正方形 EFGH 它与 ABC 重叠部分的面积为 S 1 写出 AC BC 的长 2 当 t 1 时 正方形 EFGH 的边长是 2 当 t 3 时 正方形 EFGH 的边长为 4 3 当 0 t 2 时 求 S 与 t 的函数关系式 4 直接写出 在整个运动过程中 当正方形 EFGH 它与 ABC 重叠部分是直角梯形时 t 的取值范围 考点 相似形综合 题 2165723 分析 1 可设 AC 4x 则 BC 3x 根 据勾股定理 可得方程 从而求出 AC BC 的 长 2 当 t 1 时 可得 EP 1 PF 1 EF 2 即为 正方形 EFGH 的边 长 当 t 3 时 PE 1 PF 3 即 EF 4 3 正方形 EFGH 与 ABC 重叠部 分的形状 依次为正方 形 五边形 和梯形 可 分三段分别 解答 当 0 t 时 当 t 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 时 当 t 2 时 依次求 S 与 t 的函数关系 式 4 E 点与 A 点重合或 F 点与 B 点 重合时 正 方形 EFGH 与 ABC 重 叠部分是直 角梯形 依 此得到 t 的取 值 解答 解 1 设 AC 4x 则 BC 3x 依 题意有 4x 2 3x 2 102 解得 x1 2 x2 2 负值舍去 则 AC 4x 8 B C 3x 6 故 AC 的长 为 8 BC 的 长为 6 2 当 t 1 时 则 PE 1 PF 1 正方形 EFGH 的边 长是 2 当 t 3 时 PE 1 PF 3 正方形 EFGH 的边 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 长是 4 故答案为 2 4 3 当正方 形 EFGH 与 ABC 重叠 部分的形状 为正方形时 0 t S 与 t 的函数 关系式是 S 2t 2t 4t2 当 t 时 EFGM 是梯 形 故当 t 时 S 与 t 的函数 关系式是 S 4t2 2t 2 t 2t 2 t t2 t 当 t 2 时 S 与 t 的函数 关系式是 S t 2 t 2 2 t 2 t 3t 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 4 当 t 1 或 6 时 正 方形 EFGH 与 ABC 重 叠部分是直 角梯形 点评 此题主要考 查了动点函 数问题 其 中应用到了 相似形 正 方形及勾股 定理的性质 锻炼了学生 运用综合知 识解答题目 的能力 6 如图 在直角梯形 ABCD 中 AD BC A 90 AD 2cm BC 6cm AB 4cm 动点 P 从点 A 出发 沿 A D C 的路线以 2cm s 的速度向点 C 运动 动点 Q 从点 C 出发 沿 C B 的路线以 1cm s 的速度向点 B 运 动 若点 P Q 同时出发 当其中有一点到达终点时整个运动随之结束 设运动时间为 t s 1 当 t 为何值时 PQ 与 DC 平行 2 在整个运动过程中 设 PBQ 的面积为 S cm2 求 S cm2 与 t s 之间的函数关系式 3 当点 P 运动到 DC 上时 以 P 为圆心 PD 长为半径作 P 以 B 为圆心 BQ 长为半径作 B 问 是否存 在这样的 t 使得 P 与 B 相切 若存在 请求出所有符合条件的 t 的值 若不存在 请说明理由 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 考点 相切两圆的 性质 直角 梯形 相似 三角形的判 定与性质 2165723 分析 1 根据题 意得 PA 2t PD 2 2t CQ t 利用当 DP CQ 时 PD 与 CQ 平 行 求出即 可 2 根据当 0 t 1 时 以及当 1 t 5 时 分别求出三 角形的底边 与高线从而 求出即可 3 当两圆 外切时 以 及当两圆内 切时 分别 求出即可 解答 解 1 由 题意得 PA 2t PD 2 2t CQ t AD BC 当 DP CQ 时 PQ 与 CD 平行 即 2 2t t 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 t 时 PQ CD 2 作 P1E BC D H BC 当 0 t 1 时 S AB BQ 4 BC QC 4 6 t 2t 12 AD BC A 90 AD 2cm B C 6cm AB 4cm CH 6 2 4 CD 8 P1E BC DH BC P1E DE 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 P1E 5 t BQ 6 t 当 1 t 5 时 S BQ P1E t2 t 15 3 当两圆 内切时 连 接 BP BP 必经过切点 M DP 2t 2 CP 8 2t 2 10 2t BM BQ 6 t CH 5 t PH 5 t BH 6 5 t 1 t BP MP MB DP MB 2t 2 6 t 3t 8 BP2 PH2 B H2 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 3t 8 2 5 t 2 1 t 2 解得 t 或 t 不合题意 舍去 当两圆外切 时 过 P1作 P1M AB BR P1R B Q DP1 6 t 2 t 2 t 4 BM 5 t P1M t 1 则有 BP12 P1M2 BM2 即 4 t 2 5 t 2 t 1 2 整理得 t2 12t 20 0 解得 t 2 或 t 10 舍 去 当 t 2 时 P 与 B 外 切 当 t 时 P 与 B 内 切 菁优网菁优网 2010 2013 菁优网 点评 此题主要考 查了两圆相 切的性质以 及三角形面 积求法 根 据已知作出 正确图形利 用相切两圆 的性质得出 是解决问题