2020年高考数学《基本不等式及其应用（2）》专项训练及答案解析

基本不等式及其应用（2）一、基础检测1、(2017苏北四市一模）已知正数a，b满足5，则ab的最小值为_【答案】. 36【解析】因为正数a，b满足5，所以52，当且仅当9ab时等号成立，即ab560，解得6或1(舍去)，因此ab36，从而(ab)min36.2、(2015镇江期末） 已知正数x，y满足1，则的最小值为_【答案】25【解析】因为1，所以9x49(x1)9139(x1)139(x1)又因为10，所以x1，同理y1，所以139(x1)13225，当且仅当x时取等号，所以的最小值为25.3、（2016苏州期末） 已知ab，a，b(0,1)，则的最小值为_【答案】. 4【解析】思路分析 两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量由题意得b，所以00，0，所以，(*)令t1(t1)，则，所以(*)可化为2，当且仅当即t时取等号，于是，即的最小值为.5、(2017无锡期末）已知a0，b0，c2，且ab2，则的最小值为_【答案】. 【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解因为a0，b0，所以，当且仅当ba时等号成立又因为c2，由不等式的性质可得cc.又因为c(c2)，当且仅当c2时等号成立所以的最小值为.解后反思 多变量函数的最值问题，通常需要消元本题的关键是首先通过固定变量c(视a，b为主元)，然后利用代换(齐次化)，配凑等技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值6、(2019通州、海门、启东期末）已知实数ab0，且ab2，则的最小值为_【答案】 【解析】 注意到问题中含有两个变量a，b，且满足ab2，因此可以考虑进行消元，将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件ab2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理 注意到所求的代数式的分母可以因式分解为(a3b)(ab)，因此，将a3b，ab分别作为两个新的变量m，n，从而将问题转化为以新变量m，n的形式来加以处理解析1(消元法)：因为ab2，所以0b2aa，解得1ab0，所以2bb0，故0b0，此时；当u0)，故由(mn)()662，当且仅当nm时等号成立，此时().二、拓展延伸题型一 运用基本不等式解决含参问题知识点拨：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题，例1、(2019扬州期末）已知正实数x，y满足x4yxy0，若xym恒成立，则实数m的取值范围为_【答案】、(，9 【解析】、mxy恒成立，m(xy)min.解法1(消元法)由x4yxy0，得y，因为x，y是正实数，所以y0，x4，则xyxxx1(x4)5259，当且仅当x6时，等号成立，即xy的最小值是9，故m9.解法2(“1”的代换)因为x，y是正实数，由x4yxy0，得1，xy(xy)5259，当且仅当x6，y3时，等号成立，即xy的最小值是9，故m9.解法3(函数法)令txy，则ytx，代入x4yxy0，得x2(3t)x4t0.(t3)216tt210tq0，得t1或t9.又y0，且x0，则x4，故t4，从而t9.所以m9.对于含有多个变量式的最值如何求？解法1用了最基本的方法一消元转化为一元变量，对于一元变量的求量值的方法就很多了，这里用了基本不等式法，解法2直接运用了不等式中的“1”的代换法的技巧，显得很方便一般地，在条件与结论中分别含有mxny以及(m，n，a，b为正常数，x，y为正参数)形式的代数式时，要求相关的最值，利用两式相乘来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段；解法3则采用了方程的思想，通过将问题转化为方程有解，进而转化为方程有解来解决，这种解法用来求二元函数的最值问题是非常有效的这里的解法1是虽然是通法，但往往计算相对比较复杂，而解法2有一定的技巧，但求解比较方便解法3则比较通用，没有技巧，计算也不复杂【变式1】、(2017镇江期末） 已知不等式(mn)2(mlnn)22对任意mR，n(0，)恒成立，则实数的取值范围为_【答案】、1，)【解析】、思路分析 由于条件“(mn)2(mlnn)22”中平方和的特征，可联想到两点(m，m)，(n，lnn)的距离公式，而点(m，m)，(n，lnn)分别是直线yx和曲线f(x)lnx上动点，故可转化为直线yx和曲线f(x)lnx上点之间的距离大于等于.条件“不等式(mn)2(mlnn)22对任意mR，n(0，)恒成立”可看作“直线yx以及曲线f(x)lnx上点之间的距离恒大于等于”如图，当与直线yx平行的直线与曲线f(x)lnx相切时，两平行线间的距离最短，f(x)1，故切点A(1,0)，此切点到直线yx的距离为，解得1或3(舍去，此时直线与曲线相交)【变式2】、(2016徐州、连云港、宿迁三检）已知对满足xy42xy的任意正实数x，y，都有x22xyy2axay10，则实数a的取值范围是_【答案】、【解析】、 不等式x22xyy2axay10的构造比较特殊，可以化为关于xy的不等式，再根据不等式及xy42xy求出xy的范围即可对于正实数x，y，由xy42xy得xy42xy，解得xy4，不等式x22xyy2axay10可化为(xy)2a(xy)10，令txy(t4)，则该不等式可化为t2at10，即at对于任意的t4恒成立，令u(t)t(t4)，则u(t)10对于任意的t4恒成立，从而函数u(t)t(t4)为单调递增函数，所以u(t)minu(4)4，于是a. 在求函数u(t)t(t4)的最小值时，有的考生直接用基本不等式求出u(t)min2，没有注意到t4的限制，从而得到错误的答案a2.【关联1】、 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2(m2)m()()对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是_【答案】、 1【解析】、 本题首先将所给不等式中的向量用坐标代入，然后再将其转化为关于a，b，c，d四元的不等式问题，再利用基本不等式处理最值问题2(m2)m()()对任意实数a，b，c，d都成立等价于a2b2c2d2m(acbdbc)对任意a，b，c，d都成立，由于求m的最大值，所以可只考虑m0的情形，当acbdbc0时，a2b2c2d2m(acbdbc)恒成立，当acbdbc0时，则需m恒成立，下面用待定系数法求的最小值，令，其中x，y(0,1)，解得x，所以1，所以mmin1，故m的最大值为1.题型二 不等式的综合运用知识点拨：多变量式子的最值的求解的基本处理策略是“减元”或应用基本不等式，其中“减元策略”的常见方法有：通过消元以达到减少变量的个数，从而利用函数法或方程有解的条件来研究问题；通过“合并变元”以代换的方式来达到“减元”，一般地，关于多变元的“齐次式”多用此法而应用基本不等式求最值时，要紧紧抓住“和”与“积”的关系来进行处理，为了凸现“和”与“积”的关系，可以通过换元的方法来简化问题的表现形式，从而达到更易处理的目的，例2、(2018镇江期末） 已知a，bR，ab4，则的最大值为_【答案】、【解析】、 将通分，变形为关于(ab)和ab的式子，将ab作为一个变元，用导数作为工具求最大值，或用不等式放缩求最大值，但要先求出ab的取值范围 注意到所研究的问题的条件与所求均为对称形式，若直接进行消元去处理会打乱它的对称性，为此，应用均值换元来进行处理解法1(ab作为一个变元) ab4，.设t9ab5，则，当且仅当t280时等号成立，所以，的最大值为.解法2(均值换元) 因为ab4，所以，令a2t，b2t，则f(t)，令ut255，则g(u)，当且仅当u4时等号成立所以的最大值为. “减元”是解决不等式求最值问题的重要途径，常用的减元方法有代入消元、换元消元、二合一消元、放缩消元，本题通过变形先将条件代入，所求式子就变成了ab的函数，而这样的分式常将低次的看成一个整体进行换元，从而达到化简的目的当然，本题也可以直接进行消元，然后利用导数的方法来求它的最大值，只不过，此法比较繁琐而应用均值换元的方法保持了它的对称性，从而运算比较简单，比较容易操作【变式1】、(2018扬州期末） 已知正实数x，y满足5x24xyy21，则12x28xyy2的最小值为_【答案】【解析】、 注意到所给出的条件比较复杂，且左边能进行分解因式，因此，通过双变量换元，将它转化为以新的变量为元的问题来加以处理 注意到条件与所研究的结论是关于x，y的二次齐次式，因此，利用“常数1的代换”，将所研究的问题转化为“单变量”的问题来加以解决 注意到条件与所研究的结论是关于x，y的二次齐次式，因此，利用“基本不等式”进行放缩，将所研究的问题转化为条件等式的“倍式”来加以解决 令t12x28xyy2，这样，它就与已知条件构成了两个方程，它们所构成的方程组有解，通过消元后，得到关于一个元的方程，利用方程有解来进行处理解法1(双变量换元) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，令u5xy，vxy，则有u0，v0，uv1，并且x，y，代入12x28xyy212282，当且仅当u3v，uv1，即u，v，亦即x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法2(常数1的代换) 因为x0，y0，且满足5x24xyy21，由此可得(5xy)(xy)1，因为x0，y0，xy0，所以5xy0，即有05，令t，则0t5，所以12x28xyy2111.再令f(t)1(0t5)令f(t)0，因为0t5，所以t.当t时，f(t)0，f(t)单调递增，所以当t时，f(t)取极小值，也是最小值f.此时x2y，结合5x24xyy21，解得x，y，即当x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法3(基本不等式) 因为x0，y0，设u0，v0，则ux2vy22xy.12x28xyy212x28xyy2(2xyux2vy2)，即12x28xyy2(12u)x2(82)xy(v1)y2.令(12u)x2(82)xy(v1)y2t(5x24xyy2)t，则12u5t，824t，v1t，解得t，u，v，所以12x28xyy22x2xyy2(5x24xyy2)，当且仅当x2y，结合5x24xyy21，解得x，y，即当x，y时，12x28xyy2取得最小值.解法4(利用方程组有解) 令t12x28xyy27x24xy1，则y，代入5x24xyy21并化简得81x4(30t46)x2(t1)20，从而以ux2(u0)为元的二次方程 81u2(30t46)u(t1)20有正数解，故解得t，当t时，x，y ，故等号成立，从而12x28xyy2取得最小值.【变式2】、(2017南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调） 已知对任意的xR,3a(sinxcosx)2bsin2x3(a，bR)恒成立，则当ab取得最小值时，a的值是_【答案】【解析】、由ab取最小值，故令3(sinxcosx)2sin2x0，则ab，即ab的最小值是.设sinxcosxt，其中t，则sin2xt21.由3t2(t21)，解得t，则，此时(ab)3，所以ab2.当ab取最小值2时，3at2(a2)(t21)3对t，恒成立，即2(a2)t23at2a10对t，恒成立记f(t)2(a2)t23at2a1，t，因为f0是f(t)的最小值，所以只能把f(t)看成以t为自变量的一元二次函数，所以解得a.【变式3】、(2017南京三模）已知a，b，c为正实数，且a2b8c，则的取值范围为 【答案】27，30【解析】、本题所给条件为关于的三元不等式，所以首先利用整体思想将其转化为的二元问题，再根据条件和结论的特征，利用线性规划的思想解决取值范围.由题意可得：，设，则，所求可转化为：.又可化为，可行域如下图所示，当直线与曲线相切时有最小值，当直线经过点A时有最大值.令，解得，即.又，所以，解得，,即切点坐标为,所以，即的取值范围为27，30.【变式4】、(2017苏锡常镇调研（一） 若正数x，y满足15xy22，则x3y3x2y2的最小值为_【答案】、1【解析】、思路分析 本题最主要的解法是代入消元，然后用导数解决，但计算比较复杂，其余解法是猜特殊值解法1 由已知y15x22，所以x3y3(x2y2)x3(15x22)3x2(15x22)23 376x315 076x222 440x11 132.令f(x)3 376x315 076x222 440x11 132，x，则f(x)8(633x935)(2x3)，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以f(x)minf1.解法2 由f(x)x3x2，得f(x)3x22x.令g(x)f(x)f(x0)(xx0)f(x0)，故g(x)(xx0)2(x2x01)当x0时，g(x)0，令x0，则x3x2x；令x0，则x3x2x，即y3y2y，所以x3y3x2y2(15xy)1.解法3 因为y3y2yy(4y24y1)y(2y1)20.当y时，x.所以y3y2y.令ux3x2，则u3x22x.当x时，u，ux3x2过点.切线为y，即yx，即证x3x2x.令h(x)x3x2x，h(x)3x22x.令h(x)0得x.当x时，h(x)min0，所以x3x2x(x0)恒成立，得x3y3x2y21.解法4 由题意y15x220，则x，y0，又x3y3x2y2(x3x2)(y3y2)，其中y3y2y，当且仅当y时取等号那么，当x时，f(x)x3x2在x处的导数为k.x3x2x等价于2(x2)0，此式成立因此有(x3x2)(y3y2)x1，当且仅当x，y时取等号解法5 x3y3x2y2x3xy3yx2y2xy3x2y2x2y2xy2x222xy6xxyxy1，当且仅当x，y时等号成立解后反思 本题考查代数推理与等价转化的数学思想方法，能力要求高，运算较繁如何找到解决问题的突破口是关键我们可以这样思考，从条件正数x，y满足15xy22出发，可以发现x1，将x3y3x2y2写成x2(x1)y2(y1)，如果y1，那么x3y3x2y2不可能有最小值，因此估计0y1，从二分法的角度思考，猜想y，代入条件可得x，此时可以猜得其最小值为1，下面再用基本不等式的方法加以证明【变式5】、(2016泰州期末）若正实数x，y满足(2xy1)2(5y2)(y2)，则x的最大值为_【答案】1【解析】、思路分析 处理双元最值问题，常用消元法或整体法，也可以构建方程转化为方程有解去处理如本题，思考方向一，可以设xz，代入之后转化为关于y的方程(4z25)y28(z1)y80在(2，)上应有解，由0解出z的范围，并验证最大值成立；思考方向二，消去x再用均值不等式去处理；思考方向三，观察得到229，直接通过均值不等式整体去处理；思考方向四，通过等比中项，引用一个新的参数q，把x用q来表示再整理求最值解法1 令xz，则2xy2yz1，代入(2xy1)2(5y2)(y2)整理得(4z25)y28(z1)y80(*)，由题意得y20，该方程在2，)应有解，故0，即64(z1)232(4z25)0，化简得2z24z70, 故00，y1y24，故方程必有大于2的实根，所以x的最大值为1.解法2 (2xy1)2(5y2)(y2)，即2，则x，所以x 1 1 1，当且仅当 1，即y2时等号成立，所以x的最大值为1.解法3 由(2xy1)2(5y2)(y2)得2，即292，即229，所以9222x22，所以x1.解法4 (2xy1)2(5y2)(y2)即2，所以，x，成等比数列，设公比为q(q1)，将x，用q表示，则x1，当且仅当q1，即q1时等号成立解后反思 处理此类双元最值问题，要有方程、减元和整体意识，要多观察题中给出式子的结构特点及条件与所求的联系，要带着方向和目标去解题，并能熟练掌握和运用不等式链： (a，b0)和ab2(a，bR). 【变式6】、(2016南京三模） 若实数x，y满足2x2xyy21，则的最大值为_【答案】【解析】、 在2x2xyy21中，独立变量有两个，因为用x表示y或用y表示x均不方便，可引入第三个变量来表示x，y.由2x2xyy21，得(2xy)(xy)1，设2xyt，xy，