2006年北京市高考真题——理数

1 绝密 启用前 20062006 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 数学 理工农医类 北京卷 北京卷 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 2 页 第 卷 3 至 9 页 共 150 分 考试 时间 120 分钟 考试结束 将本试卷和答题卡一并交回 第 卷 选择题卷 选择题 共共 4040 分 分 注意事项 1 答第 卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号 考试科目涂写在答题卡 2 每小题选出答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡皮擦干净后 再选涂其他 答案标号 不能答在试卷上 一 本大题共 8 小题 每小题 5 分 共 40 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 在复平面内 复数对应的点位于 1 i i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 若与都是非零向量 则 是 的a bc a ba c abc A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3 在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中 各位数字之和为奇数的共有1 2 3 4 5 A 36 个 B 24 个 C 18 个 D 6 个 4 平面的斜线交于点 过定点的动直线 与垂直 且交于点 则动点的轨迹是 AB BAlAB CC A 一条直线 B 一个圆 C 一个椭圆 D 双曲线的一支 5 已知是上的减函数 那么的取值范围是 31 4 1 log 1 a axa x f x x x a A B 0 1 1 0 3 C D 1 1 7 3 1 1 7 6 在下列四个函数中 满足性质 对于区间上的任意 恒成立 1 2 1212 x x xx 1221 f xf xxx 的只有 A B 1 f x x f xx C D 2xf x 2 f xx 2 7 设 则等于 4710310 22222 n f nnN f n A B 2 81 7 n 1 2 81 7 n C D 3 2 81 7 n 4 2 81 7 n 8 下图为某三岔路口交通环岛的简化模型 在某高峰时段 单位时间进出路口的机动车辆数如图所示 图 A B C 中分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数 假设 单位时间内 在上述路段中 123 x x x AAA AB BC CA 同一路段上驶入与驶出的车辆数相等 则 20 30 35 30 55 50 A 123 xxx B 132 xxx C 231 xxx D 321 xxx 3 绝密 启用前 20062006 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学 理工农医类 数学 理工农医类 北京卷 北京卷 第第 卷 共卷 共 110110 分 分 注意事项 1 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 2 答卷前将密封线内的项目填写清楚 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 把答案填在题中横线上 9 的值等于 2 2 1 32 lim 1 x xx x 10 在的展开式中 的系数中 用数字作答 7 2 x x 2 x 11 若三点共线 则的值等于 2 2 0 0 0 AB aCb ab 11 ab 12 在中 若 则的大小是 ABC sin sin sin5 7 8ABC B 13 已知点的坐标满足条件 点为坐标原点 那么的最小值等于 最大值等于 P x y 4 1 xy yx x O PO 14 已知三点在球心为 半径为的球面上 且 那么两点的球面距离为 A B CORACBC ABR A B 球心到平面的距离为 ABC 三 解答题 本大题共 6 小题 共 80 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本小题共 12 分 已知函数 12sin 2 4 cos x f x x 求的定义域 f x 设是第四象限的角 且 求的值 4 tan 3 f 16 本小题共 13 分 已知函数在点处取得极大值 其导函 32 f xaxbxcx 0 x5 数 的图象经过点 如图所示 求 yfx 1 0 2 0 的值 0 x 的值 a b c 17 本小题共 14 分 4 如图 在底面为平行四边表的四棱锥中 平面 且 PABCD ABAC PA ABCDPAAB 点是的中点 EPD 求证 ACPB 求证 平面 PBAEC 求二面角的大小 EACB 18 本小题共 13 分 某公司招聘员工 指定三门考试课程 有两种考试方案 方案一 考试三门课程 至少有两门及格为考试通过 方案二 在三门课程中 随机选取两门 这两门都及格为考试通过 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是 且三门课程考试是否及格相互之间没有影响 a b c 分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率 试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小 说明理由 19 本小题共 14 分 已知点 动点满足条件 记动点的轨迹为 2 0 2 0 MN P 2 2PMPN PW 求的方程 W 若是上的不同两点 是坐标原点 求的最小值 A BWOOA OB 20 本小题共 14 分 在数列中 若是正整数 且 则称为 绝对差数列 n a 12 a a 12 3 4 5 nnn aaan n a 举出一个前五项不为零的 绝对差数列 只要求写出前十项 若 绝对差数列 中 数列满足 分别判 n a 2021 3 0aa n b 12nnnn baaa 1 2 3 n 断当时 与的极限是否存在 如果存在 求出其极限值 n n a n b 证明 任何 绝对差数列 中总含有无穷多个为零的项 5 20062006 年高考理科数学参考答案 北京卷 年高考理科数学参考答案 北京卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 10 14 2 1 1 12 2 1 3 13 14 210R 3 1 R 2 3 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 12 分 解 由 cosx 0 得 2 Zkkx 故f x 的定义域为 Zkkx 2 因为 且 a 是第四象限的角 3 4 tan a 所以 5 4 sin a 5 3 cos a 故 a a af cos 4 2sin 21 6 5 14 sin cos2 cos cossin2cos2 cos 2cos2sin1 cos 2cos 2 2 2sin 2 2 21 2 aa a aaa a aa a aa 16 共 13 分 解法一 解法一 由图象可知 在 1 上 在 1 2 上 0 x f0 x f 在 2 上0 x f 故在 1 2 上递增 在 1 2 上递减 xf 因此在x 1 处取得极大值 所以 xf1 0 x cbxaxxf 23 2 由 5 1 0 2 0 1 fff 得 5 0412 023 cba cba cba 解得a 2 b 9 c 12 解法二 解法二 同解法一 设mmxmxxxmxf23 2 1 2 又cbxaxxf 23 2 7 所以 2 2 3 3 mcmb m a mxmxx m xf2 2 3 3 23 由5 1 f 即52 2 3 3 mm m 得 m 6 所以 a 2 b 9 c 12 17 共 14 分 解法一 解法一 PA 平面 ABCD AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影 又 AB AC AC平面 ABCD AC PB 连接 BD 与 AC 相交于 O 连接 EO ABCD 是平等四边形 O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点 EO PB 又 PB平面 AEC EO平面 AEC PB 平面 AEC 取 BC 中点 G 连接 OG 则点 G 的坐标为 0 2 0 0 2 2 b OG ba 又 0 0 2 2 0 0aAC bb E 00 00 ACGACE OE AC OG AC EOG 是二面角 E AC B 的平面角 8 2 2 00 00 0 0coscos GE GE GEEOG 135EOG 二面角的大小为BACE 135 18 共 13 分 解 记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为 A B C 则 cCPbBPaAP 应聘者用方案一考试通过的概率 abccabcab abcbacabccab CBAPCBAPCBAPCBAPp 2 111 1 应聘者用方案二考试通过的概率 cabcab CAPCBPBAPp 3 1 3 1 3 1 3 1 2 因为所以 1 0 cba 21 21 0111 3 2 2 3 2 pp bcaabccab abccabcabpp 故 即采用第一种方案 该应聘者考试通过的概率较大 19 共 14 分 解法一 解法一 由知动点 P 的轨迹是以 M N 为焦点的双曲线的右支 实半轴长22 PNPM2 a 9 又半焦距 c 2 故虚半轴长2 22 acb 所以 W 的方程为2 1 22 22 x yx 设 A B 的坐标分别为 11 y x 22 y x 当2 2 1 2 121212121 yxyyxxOBOAyyxxxAB从而轴时 当 AB 与 x 轴不垂直时 设直线 AB 的方程为y kx m 与 W 的方程联立 消去 y 得 0221 222 mkmxxk 故 1 2 1 2 2 2 21 2 21 k m xx k km xx 所以 2121 yyxxOBOA 1 4 2 1 22 1 2 1 21 1 22 2 2 2 22 2 22 2 2121 2 2121 kk k m k mk k mk mxxkmxxk mkxmkxxx 又因为200 01 0 2 21 BAkxx从而所以 综上 当取得最小值 2 OBOAxAB 轴时 解法二 解法二 同解法一 设 A B 的坐标分别为 则 2211 yxyx 2 12 22 iyxyxyx iiiiii 令 iiiiii yxtyxs 则 所以 2 10 0 2 itsts iiii 且 10 2 2 1 2 1 4 1 4 1 21212121 22112211 2121 ttssttss tstststs yyxxOBOA 当且仅当时 成立 21 21 2121 yy xx ttss即 所以的最小值是 2 OBOA 20 共 14 分 解 1 0 1 1 0 1 1 2 1 3 10987654321 aaaaaaaaaa 答案不惟一 解 因为绝对差数列 所以自第 20 项开始 该数列是0 3 2120 aaan中 0 3 3 0 3 3 0 3 2726252423222120 aaaaaaaa 即自第 20 项开始 每三个相邻的项周期地取值 3 0 3 所以当时 an的极限不存在 n 当6lim 6 20 21 n n nnnn baaabn所以时 证明 根据定义 数列必在有限项后出现零项 证明如下 n a 假设中没有零项 由于 所以对于任意的 n 都有 从而当 n a 21 nnn aaa1 n a 31 12121 naaaaaa nnnnnn 时 当 31 12121 naaaaaa nnnnnn 时 即的值要么比至少小 1 那么比至少