常见的勾股数及公式

1 常见的勾股数及公式常见的勾股数及公式 武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理 我们知道 如果 C 90 a b c 是直角三角形的三边 则由勾股定理 得 a2 b2 c2 反之 若三角形的三 边 a b c 满足 a2 b2 c2 则该三角形是直角三角形 c 为斜边 与此相类似 如果三个正整数 a b c 满足 a2 b2 c2 则称 a b c 为勾股数 记为 a b c 勾股数有无数多组 下面向同学们介绍几种 一 三数为连续整数的勾股数一 三数为连续整数的勾股数 3 4 5 是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数 除此之外是否还有第二组或更多组呢 设三数为连续整数的勾股数组为 x x x 则由勾股数的定义 得 x 1 2 x2 x 1 2 解得 x 或x 舍去 故三数为连续整数的勾股数只有一组 类似有 3n 4n 5n n 是正整数 都是 勾股数 二 后两数为连续整数的勾股数二 后两数为连续整数的勾股数 易知 都是勾股数 如此许 许多多的后两数为连续整数的勾股数 它的一般形式究竟是什么呢 a 2n 1 b 2n2 2n c 2n2 2n 1 其特点是斜边与其中一股的差为1 分别取n 就得勾股数组 三 前两数为连续整数的勾股数三 前两数为连续整数的勾股数 你知道 这些都 是前两数为连续整数的勾股数组 其公式为 x x x 为正整数 122 2 xx 设前两数为连续整数的勾股数组为 x x y y 则 122 2 xx 2 2 2 1yxx 整理 得 化为 即 122 2 xx 2 y 1212 2 2 yx yx212 yx212 又 2121 12 21 n 12 21 n 故取 yx212 12 21 n yx212 12 21 n 解之 得 x y 4 1 12 21 n 12 21 n 4 2 12 21 n 12 21 n 故前两数为连续整数的勾股数组是 4 1 12 21 n 12 21 n 4 1 12 21 n 12 21 n 4 2 12 21 n 12 21 n 4 后两数为连续奇数的勾股数后两数为连续奇数的勾股数 如 8 15 17 12 35 37 其公式为 4 n 1 4 n 1 2 1 4 n 1 2 1 n 是正整数 五 其它的勾股数组公式 五 其它的勾股数组公式 1 a 2m b m2 1 c m2 1 m 大于1的整数 2 a m2 n2 b mn c m2 n2 其中 m n 且是互质的奇 2 1 2 1 数 3 a 2m b m2 n2 c m2 n2 m n 互质且一奇一偶的任意正整数 下面我们把 100 以内的勾股数组列出来 供同学们参考 3 3 4 4 5 5 5 5 1212 1313 6 6 8 8 1010 7 7 2424 2525 8 8 1515 1717 9 9 1212 1515 9 9 4040 4141 1010 2424 2626 1111 6060 6161 1212 16162020 121235353737 131384848585 141448485050 151520202525 151536363939 1515 112112113113 1616 30303434 161663636565 1717 144144145145 1818 24243030 181880808282 1919180180 181181 2020 21212929 202048485252 20209999101101 2121 28283535 2 212172727575 2121220220 221221 2222 120120 122122 2323 264264 265265 2424 32324040 242445455151 242470707474 2424143143 145145 252560606565 2525312312 313313 2626 168168 170170 2727 36364545 2727 120120123123 2727 364364 365365 2828 45455353 28289696100100 2828195195 197197 2929 420420 421421 3030 40405050 303072727878 3030224224 226226 3131 480480 481481 3232 60606868 3232126126 130130 3232255255 257257 3333 44445555 333356566565 3333180180 183183 3333 544544 545545 3434 288288 290290 3535 84849191 3535120120 125125 3535612612 613613 3636 48486060 363677778585 3636105105 111111 3636 160160 164164 3636 323323 325325 3737 684684 685685 3838 360360 362362 393952526565 393980808989 3939252252 255255 3939 760760 761761 4040 42425858 404075758585 40409696104104 4040 198198 202202 4040399399 401401 4141 840840 841841 4242 56567070 4242144144 150150 4242 440440 442442 4343 924924 925925 4444 117117 125125 4444 240240 244244 4444483483 485485 4545 60607575 4545108108 117117 4545 200200 205205 4545 336336 339339 4646 528528 530530 4848 55557373 484864648080 48489090102102 4848 140140 148148 4848 189189 195195 4848 286286 290290 4848 575575 577577 4949 168168 175175 5050 120120 130130 5050 624624 626626 515168688585 5151140140 149149 5151 432432 435435 5252 165165 173173 5252 336336 340340 5252 675675 677677 5454 72729090 5454240240 246246 5454728728 730730 5555 132132 143143 5555 300300 305305 5656 9090106106 5656 105105 119119 5656 192192 200200 5656 390390 394394 5656 783783 785785 575776769595 5757 176176185185 5757 540540 543543 5858 840840 842842 6060 63638787 60608080100100 6060 9191109109 6060 144144 156156 6060175175 185185 6060 221221 229229 6060 297297 303303 6060 448448 452452 6060 899899 901901 6262 960960 962962 6363 8484105105 6363 216216 225225 6363280280 287287 6363 660660 663663 6464 120120 136136 6464 252252 260260 6464 510510 514514 6565 72729797 6565156156 169169 6565 420420 425425 66668888110110 6666 112112 130130 6666 360360 366366 6868 285285 293293 6868 576576 580580 6969 9292115115 6969 260260 269269 6969 792792 795795 7070168168 182182 7070 240240 250250 7272 9696120120 7272 135135 153153 7272 154154 170170 7272 210210 222222 7272 320320 328328 7272 429429 435435 7272646646 650650 7575 100100 125125 7575 180180 195195 7575 308308 317317 7575 560560 565565 7575 936936 939939 7676 357357 365365 7676 720720 724724 7777264264 275275 7777 420420 427427 7878 104104 130130 7878 160160 178178 7878 504504 510510 8080 8484116116 8080 150150 170170 8080 192192 208208 8080315315 325325 8080 396396 404404 8080 798798 802802 8181 108108 135135 8181 360360 369369 8484 112112 140140 8484 135135 159159 8484 187187 205205 8484245245 259259 8484 288288 300300 8484 437437 445445 8484 585585 591591 8484 880880 884884 8585 132132 157157 8585 204204 221221 8585 720720 725725 8787116116 145145 8787 416416 425425 8888 105105 137137 8888 165165 187187 8888 234234 250250 8888 480480 488488 8888 966966 970970 9090 120120 150150 9090216216 234234 9090 400400 410410 9090 672672 678678 9191 312312 325325 9191 588588 595595 9292 525525 533533 9393 124124 155155 9393 476476 485485 9595168168 193193 9595 228228 247247 9595 900900 905905 9696 110110 146146 9696 128128 160160 9696 180180 204204 9696 247247 265265 9696 280280 296296 9696378378 390390 9696 572572 580580 9696 765765 771771 9898 336336 350350 9999 132132 165165 9999 168168 195195 9999 440440 451451 9999 540540 549549 100100 105105 145145 100100 240240 260260 100100495495 505505 100100 621621 629 629 以下是大于以下是大于 100100 的勾股数 的勾股数 第第 223223 组 组 102102 136136 170170 第第 224224 组 组 102102 280280 298298 第第 225225 组 组 102102 864864 870870 第第 226226 组 组 104104 153153 185185 第第 227227 组 组 104104 195195 221221 第第 228228 组 组 104104 330330 346346 第第 229229 组 组 104104 672672 680680 第第 230230 组 组 105105 140140 175175 第第 231231 组 组 105105 208208 233233 第第 232232 组 组 105105 252252 273273 第第 233233 组 组 105105 360360 375375 第第 234234 组 组 105105 608608 617617 第第 235235 组 组 105105 784784 791791 第第 236236 组 组 108108 144144 180180 第第 237237 组 组 108108 231231 255255 第第 238238 组 组 108108 315315 333333 第第 239239 组 组 108108 480480 492492 第第 240240 组 组 108108 725725 733733 第第 241241 组 组 108108 969969 975975 第第 242242 组 组 110110 264264 286286 第第 243243 组 组 110110 600600 610610 3 第第 244244 组 组 111111 148148 185185 第第 245245 组 组 111111 680680 689689 第第 246246 组 组 112112 180180 212212 第第 247247 组 组 112112 210210 238238 第第 248248 组 组 112112 384384 400400 第第 249249 组 组 112112 441441 455455 第第 250250 组 组 112112 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