HPM视角下“相似三角形的应用”教学设计

HPM 视角下 相似三角形的应用 教学设计 10111510203 关嘉欣 图形的相似 是初中数学的内容之一 相似三角形的判定 性质和应用是其中最重 要的内容 从历史上看 相似三角形很早就已经被人们所认识 在古巴比伦泥版文献中已经出 现相似三角形的应用问题 公元前 6 世纪 古希腊萨摩斯岛上的工程师欧帕里诺斯在设计 隧道挖掘工程时可能已经运用了相似三角形的性质 泰勒斯 公元 1 世纪的海伦在有关著 作中都曾利用相似三角形的性质来解决有关测量问题 我国汉代的远距离测量技术也正是建 立在相似三角形性质之上的 而在我们实际教学中 如果能把古人们关于相似三角形的运用融入到教学课堂中 就 既可以让学生领悟到数学在生活中的应用 也能在课堂内容更加丰富 从而增强学生对相 似三角形的应用的认识 以下是相似三角形的应用的教学设计 一 设置情景 提出问题 1 先带领着学生回忆一下相似三角形的判定定理 性质定理 然后向他们提出了一个 问题 同学们 我们都知道这些定理都不可能无端产生 那么古代的科学家们为什么要研究 相似三角形的判定定理和性质定理呢 难道是因为闲来无事凭空猜想吗 下面 我们一起 来重温一下相似三角形的历史发展历程 看看同学们能不能从中找到问题的答案 2 向同学们展示公元 1 世纪以前有关相似三角形的史料 时间作者或著作工作相似三角形的性质 前 2000 年巴比伦祭司分割直角三角形 面积之比等于对应边平 方比 前 6 世纪泰勒斯 测量金字塔高度及轮船与 海岸距离 对应边成比例 前 6 世纪毕达哥拉斯证明勾股定理 面积之比等于对应边平 方比 前 6 世纪欧帕里诺斯开掘直线穿山隧道对应角相等 前 3 世纪欧几里得 光学 测量塔高对应边成比例 前 2 世纪周髀算经测量太阳直径对应边成比例 公元 1 世纪九章算术远距离测量对应边成比例 公元 1 世纪海伦远距离测量对应边成比例 表格 1 公元 1 世纪以前有关相似三角形的史料 3 向同学们提问 同学们 从这张表格你们发现在古代相似三角形的性质都被用来干 什么呢 测量 那么 数学家们又是怎样利用相似三角形的性质用于测量的呢 现在 A B C E D 让我们走进古人的心灵之中 当一个小小测量工程师 灵活地运用相似三角形的性质来测 量出所需要的长度或高度吧 二 小试牛刀 解决问题 让同学们把自己想象成唐代的测量工程师 并被唐僧聘请 跟随师徒四人一起到西方 取西经 而任务就是要协助四人完成一路上的勘测问题 第一关 测量火焰山 有一天师徒四人经过火焰山 他们不知道山有多高 只知道它的影长为 11 3 米 然后孙 悟空拿出金刚棒立于地面 使其影子的末端与塔影的末端重合 已知金刚棒长为 0 8 米 其 影长为 0 2 米 而你的任务就是要根据上述条件算出火焰山的高度 这个例子是根据古希腊哲学家泰勒斯测量金字塔高度的传说以及欧几里得 光学 中 测量物体高度问题改编而成 并融入神话故事 调动同学们的兴趣 而这道题目的原型为杭 州西湖北岸宝石山上的保叔塔 讲完这个例子后 跟同学们介绍以下泰勒斯测量金字塔高度的故事 让同学们明白到 早在两千五百多年前相似三角形就已经被古人们所用了 三 层层递进 巩固知识 经过第一题的简单尝试 不少同学都有了兴趣想蠢蠢欲试 借势给出第二道题目 第二关 隔河测距 有一天晚上 师徒四人住在河的左岸的帐篷里 而孙悟空用火眼金睛发现了河的右岸 住了一只妖精 孙悟空想让你测量出帐篷到妖精的房子的距离 假定帐篷处为点 妖精家为 点 孙悟空在的延长线上取了一点 作的垂线和 点 位于上 然后他测 得米 米 米 剩下的任务就交给你了 5 3 3 3 这个问题是根据海伦中的间接测量问题改编而成的 引导学生解决两个量未知 这种情形的相似三角形应用问题 第三关 挑战盘丝洞 师徒四人在路经盘丝洞时 唐僧意外被蜘蛛精给抓走了 孙悟空带领着你走进了盘丝洞 引导学生利用 根据对应边成比例即可算出线段 的长度 E C B D A 引导学生设边为 并利 用 根据对应边成 比例列出方程解出 即可算出线 段的长度 引导学生设正方形边长一半 为 并利用 根 据对应边成比例列出方程解出 乘以 2 后平方即可算出盘丝洞 的面积 750 30 D B C E A C G E HI B A D 图 1 C E D F BA 图 2 这个问题要用到相似三角形的另一个性质 面积之比为相似比的平方 故有 2 2 2 2 由此可得 2 2 2 结合勾股定理 故得 2 2 2 要你为他算出盘丝洞的面积 已知盘丝洞地形为正方形 有两扇门 西门和北门各开在西 北 面围墙的正中间 在北门的正北方 30 米处有一棵大树 当你从西门出来 朝正西方走 750 米 恰好看到盘丝洞北面的大树 那么你是否能根据上述条件顺利完成任务呢 这个问题是根据 九章算术 勾股章中的 邑方 问题改编而成的 原题为 今有 邑方不知大小 各开中门 出北门三十步有木 出西门七百五十步见木 问 邑方几何 这个问题比前两个问题要难 而且在计算过程中 问一下同学是不是涉及到了开方求解了 从 而让同学们感悟到在汉代 数学家们已经可以处理开方问题了 而这与测量术的发达有着密 切的联系 四 分组讨论 合作探究 先问同学们一个问题 还记得直角三角形的勾股定理吗 然后给出图 1 问同学们两 直角边上的正方形面积之和与斜边上的正方形面积有什么关系 如果现在是在直角三角形 三边上任作两两相似的三个三角形 如图 2 所示 关于这三个三角 形的面积 你能得到什么结论 结成 4 人小组 讨论一下 并给出你们的证明 五 课后作业 请同学们在课外查阅相关资料 研究公元前 6 世纪古希腊的一个隧道工程问题 并于 下次课上交流各自的方案 附 隧道工程问题资料 古希腊历史学家希罗多德 前 5 世纪 描述了毕达哥拉斯的故 He r o d o t u s 乡 萨菲斯岛上的一条约建于公元前 530 年 用于从爱琴海引水的穿山隧道 设计者为工 程师欧帕里诺斯 这个隧道后来被人遗忘 直到 19 世纪末 它才被 E u p a l i n o s 考古工作者重新发现 20 世纪 70 年代 考古工作者对隧道进行了全面的发掘 隧道全长 1036 米 宽 1 8 米 高 1 8 米 两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘 最后在山底 某处会合 考古发现 会合处误差极