2011届高考数学权威预测 10三角函数的图象与性质 新人教A版

用心 爱心 专心 1 第十讲第十讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 高考在考什么高考在考什么 考题回放考题回放 1 已知函数xbxaxfcossin a b为常数 0 a Rx 在 4 x处取得 最小值 则函数 4 3 xfy 是 D A 偶函数且它的图象关于点 0 对称 B 偶函数且它的图象关于点 0 2 3 对称 C 奇函数且它的图象关于点 0 2 3 对称 D 奇函数且它的图象关于点 0 对称 2 定义在 R 上的函数 xf既是偶函数又是周期函数 若 xf的最小正周期是 且 当 2 0 x时 xxfsin 则 3 5 f的值为 D A 2 1 B 2 1 C 2 3 D 2 3 3 函数y x cosx的部分图象是 D 4 存在 2 0 使 3 1 cossin aa 存在区间 a b 使xycos 为减函数而xsin 0 xytan 在其定义域内为增函数 2 sin 2cosxxy 既有最大 最小值 又是偶函数 6 2 sin xy最小正周期为 以上命题错误的为 5 把函数 y cos x 3 4 的图象向右平移 个单位 所得的图象正好关于 y 对称 则 的最小正值为 3 6 设函数f x asin x bcos x 0 的最小正周期为 并且当x 12 时 有 最大值f 12 4 1 求a b 的值 2 若角 的终边不共线 f f 0 求 tan 的值 用心 爱心 专心 2 专家解答专家解答 1 由 2 0 得 2 f x asin2x bcos2x 由x 12 时 f x 的最大值为 4 得 32 2 4 2 3 2 4 22 b a b a ba 2 由 1 得f x 4sin 2x 3 依题意 4sin 2 3 4sin 2 3 0 sin 2 3 sin 2 3 0 cos 3 sin 0 的终边不共线 即 k k Z Z 故 sin 0 k 6 k Z Z tan 3 3 高考要考什么高考要考什么 考点透视考点透视 本专题主要涉及正弦函数 余弦函数 正切函数的图像和性质 掌握两种作图方法 五点法 和变换作图 平移 对称 伸缩 三角函数的性质包括定义域 值域 最值 单调性 奇偶性和周期性 热点透析热点透析 三角函数的图象和性质是高考的热点 在复习时要充分运用数形结合的思想 把图象和 性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用常见题型 1 考查三角函数的图象和性质的基础题目 此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图 象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 2 三角函数与其他知识相结合的综合题目 此类题目要求考生具有较强的分析能力和 逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点 并可以逐渐加强 3 三角函数与实际问题的综合应用 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力 要注意数形结合思想在解题中 的应用 突破重难点突破重难点 范例范例 1 1 右图为y Asin x 的图象的一段 求其解析式 解析解析 法法 1 1 以 M 为第一个零点 则 A 3 2 所求解析式为 2sin 3 xy 点 M 0 3 在图象上 由此求得 3 2 所求解析式为 3 2 2sin 3 xy 法法 2 2 由题意 A 3 2 则3sin 2 yx 图像过点 7 3 12 7 33sin 6 7 33sin 6 即 7 2 62 k 2 2 3 k 取 2 3 用心 爱心 专心 3 所求解析式为 2 3sin 2 3 yx 点晴点晴 1 1 由图象求解析式时 第一零点 的确定很重要 尽量使 A 取正值 2 2 由图象求解析式kxAy sin 或由代数条件确定解析式时 应注意 1 振幅 A 2 1 minmax yy 2 相邻两个最值对应的横坐标之差 或一个单调区间的长度为T 2 1 由此推出 的值 3 确定 值 一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定 范例范例 2 2 已知函数 cos sinlog 2 1 xxxf 1 求它的定义域和值域 2 求它的单调区间 3 判断它的奇偶性 4 判断它的周期性 如果是周期函数 求出它的最小正周期 解析解析 1 由题意得 sinx cosx 0 即0 4 sin 2 x 从而得 kxk2 4 2 函数的定义域为 4 5 2 4 2 kkZk 1 4 sin 0 x 故 0 sinx cosx 2 所有函数 f x 的值域是 2 1 2 单调递增区间是 4 5 2 4 3 2 kkZk 单调递减区间是 4 3 2 4 2 kkZk 3 因为 f x 定义域在数轴上对应的点不关于原点对称 故 f x 是非奇非偶函数 4 2cos 2 sin log 2 2 1 xfxxxf 函数 f x 的最小正周期 T 2 点睛点睛 此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质 范例范例 3 3 设函数 f x a b 其中向量 cos2 mx a 1 sin2 1 x b x R 且 yf x 的图象经过点 2 4 求实数m的值 求函数 f x的最小值及此时x值的集合 解 1 sin2 cos2f xa bmxx A 用心 爱心 专心 4 由已知 1 sincos2 422 fm 得1m 由 得 1 sin2cos212sin 2 4 f xxxx 当 sin 21 4 x 时 f x的最小值为12 由 sin 21 4 x 得x值的集合为 3 8 x xkk Z 范例范例 4 4 设函数 232 cos4 sincos434 22 xx f xxtttt x R 其中1t 将 f x的最小值记为 g t I 求 g t的表达式 II 讨论 g t在区间 11 内的单调性并求极值 本小题主要考查同角三角函数的基本关系 倍角的正弦公式 正弦函数的值域 多项式函数 的导数 函数的单调性 考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间 极值与最值等问题 的综合能力 本小题满分 14 分 解 I 我们有 232 cos4 sincos434 22 xx f xxtttt 222 sin12 sin434xtttt 223 sin2 sin433xtxttt 23 sin 433xttt 由于 2 sin 0 xt 1t 故当sin xt 时 f x达到其最小值 g t 即 3 433g ttt II 我们有 2 1233 21 21 1g ttttt 列表如下 用心 爱心 专心 5 t1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 g t 0 0 g t A 极大值 1 2 g A 极小值 1 2 g A 由此可见 g t在区间 1 1 2 和 1 1 2 单调增加 在区间 1 1 2 2 单调减小 极小值为 1 2 2 g 极大值为4 2 g 范例范例 5 5 已知二次函数f x 对任意x R 都有f 1 x f 1 x 成立 设向量 a sinx 2 b 2sinx 2 1 c cos2x 1 d 1 2 当x 0 时 求不等式f a b f c d 的解集 解析解析 设f x 的二次项系数为m 其图象上两点为 1 x 1 y B 1 x 2 y 因为 1 2 1 1 xx 1 1 xfxf 所以 21 yy 由x的任意性得f x 的图象关 于直线x 1 对称 若m 0 则x 1 时 f x 是增函数 若m 0 则x 1 时 f x 是 减函数 sin x a b xsin2 2 11sin2 2 1 2 x cos2x c d 1 1 2 122cos x 当0 m时 2 2sin1 cos21 fffxfx a bc d 1sin2 2 x02cos222cos12cos122cos xxxx 02cos x 2 2 k 2 3 22 kx Z k 0 x 4 3 4 x 当0 m时 同理可得 4 0 x或 4 3 x 综上 ff a bc d的解集是当0 m时 为 4 3 4 xx 当0 m时 为 4 0 xx 或 4 3 x 点晴点晴 此题是三角函数与平面向量的综合问题 利用函数的单调性解不等式是该题的 重点和难点 变式变式 试判断方程 sinx 100 x 实数解的个数 解析解析 方程 sinx 100 x 实数解的个数等于函数 y sinx 与 y 100 x 的图象交