2012版高考数学 3-2-1精品系列专题07 直线与圆的方程（教师版）

用心 爱心 专心 20122012 版高考数学版高考数学 3 2 13 2 1 精品系列专题精品系列专题 0707 直线与圆的方程 教师版 直线与圆的方程 教师版 考点定位考点定位 2012 2012 考纲解读和近几年考点分布考纲解读和近几年考点分布 20122012 考纲解读考纲解读 3 空间直角坐标系 了解空间直角坐标系 会用空间直角坐标表示点的位置 会推导 空间两点间的距离公式 考纲解读 直线问题难度不大 单独命题可能性不大 常与圆 圆锥曲线相结合 要注意数形结合 分类讨论思想的应用 直线的平行与垂直常与充要条件的判断相结合 直线方程要注意适 用的条件 特别是点斜式与斜截式应用较多 要注意分类讨论 直线与圆的位置关系一直是 命题的热点 多在选择 填空题中出现 会用待定系数法求圆的方程 注意利用圆的性质 解题 相切 弦长 位置关系等 近几年考点分布 直线与圆的方程考察重点是直线间的平行和垂直的条件 与距离有关 的问题 直线与圆的位置关系 特别是弦长问题 此类问题难度属于中等 一般以选择题 的形式出现 有时在解析几何中也会出现大题 多考察其几何图形的性质或方程知识 直 线与圆的方程所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容 它们渗透到平面解析几何 的各个部分 正是它们构成了解析几何问题的基础 又是解决这些问题的重要工具之一 这 就要求我们必须重视对 三基 的学习和掌握 重视基础知识之间的内在联系 注意基本 方法的相互配合 注意平面几何知识在解析几何中的应用 注重挖掘基础知识的能力因素 提高通性通法的熟练程度 着眼于低 中档题的顺利解决 考点考点 pk pk 名师考点透析名师考点透析 考点一 考点一 直线的方程 例 1 已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 3 分别求满足下列条件的直线 l 的方 程 1 过定点 A 3 4 2 斜率为 6 1 用心 爱心 专心 2 若 若 x1 y1 x y 则 则 12 12 xx yy KAB 2 直线的方程直线的方程 a 点斜式 11 xxkyy b 斜截式 bkxy c 两点式 12 1 12 1 xx xx yy yy d 截距式 1 b y a x e 一般式 0 CByAx 其中 A B 不同时为 0 考点考点二 两直线的位置关系 例 2 求过两直线 l1 x y 1 0 l2 5x y 1 0 的交点 且与直线 3x 2y 1 0 的夹角为 4 的直 线方程 4 故直线 l2也是符合条件的一解 综上所述 所求直线方程为 x 5y 5 0 或 5x y 1 0 名师点睛名师点睛 1 直线 l1与直线 l2的的平行与垂直 1 若 l1 l2均存在斜率且不重合 l1 l2 k1 k2 l1 l2 k1k2 1 2 若0 0 22221111 CyBxAlCyBxAl 若 A1 A2 B1 B2都不为零 l1 l2 2 1 2 1 2 1 C C B B A A l1 l2 用心 爱心 专心 A1A2 B1B2 0 l1与 l2相交 2 1 2 1 B B A A l1与 l2重合 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 注意 若 A2或 B2中含有字母 应注意讨论字母 0 与 0 的情况 两条直线的交点 两条直 线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数 2 夹角与到角 l1到 l2的角 直线 l1绕交点依逆时针旋转到 l2所转的角 0有 tan 21 12 1kk kk k1 k2 1 l1与 l2的夹角 2 0 有 tan 21 12 1kk kk k1 k2 1 2 3 距离 考点三 考点三 曲线与方程 例 3 已知 O 的半径为 3 直线 l 与 O 相切 一动圆与 l 相切 并与 O 相交的公共弦 恰为 O 的直径 求动圆圆心的轨迹方程 解 取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴 过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴 建立直角坐标 系 设动圆圆心为 M x y O 与 M 的公共弦为 AB M 与 l 切于点 C 则 MA MC AB 为 O 的直径 MO 垂直平分 AB 于 O 由勾股定理得 MA 2 MO 2 AO 2 x2 y2 9 而 MC y 3 9 22 yx y 3 化简得 x2 6y 这就是动圆圆心的轨迹方程 名师点睛名师点睛 轨迹问题是高中数学的一个难点 常见的求轨迹方程的方法 1 单动点 的轨迹问题 直接法 待定系数法 2 双动点的轨迹问题 代入法 3 多动 点的轨迹问题 参数法 交轨法 求轨迹的步骤是 建系 设点 列式 化简 建 系的原则是特殊化 把图形放在最特殊的位置上 这类问题一般需要通过对图形的观察 分析 转化 找出一个关于动点的等量关系 考点四 考点四 圆的方程 例 4 已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 l x y 10 0 上 1 若动圆 C 过点 5 0 求圆 C 的方程 2 是否存在正实数 r 使得动圆 C 中满足与圆 O x2 y2 r2相外切的圆有且仅有 用心 爱心 专心 一个 若存在 请求出来 若不存在 请说明理由 解解 1 依题意 可设动圆 C 的方程为 x a 2 y b 2 25 其中圆心 a b 满足 a b 10 0 又 动圆过点 5 0 故 5 a 2 0 b 2 25 解方程组 25 0 5 010 22 ba ba 可得 0 10 b a 或 5 5 b a 故所求圆 C 的方程为 x 10 2 y2 25 或 x 5 2 y 5 2 25 2 圆 O 的圆心 0 0 到直线 l 的距离 d 25 11 10 当 r 满足 r 5 d 时 动圆 C 中不存在与圆 O x2 y2 r2相外切的圆 当 r 满足 r 5 d 时 r 每取一个数值 动圆 C 中存在两个圆与圆 O x2 y2 r2相外切 当 r 满足 r 5 d 即 r 52 5 时 动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 O x2 y2 r2相外切 名师点睛名师点睛 1 圆方程的三种形式 参数式 以原点为圆心 r 为半径的圆的参数方程是 sin cos ry rx 其中 为参数 以 a b 为圆心 r 为半径的圆的参数方程为 sin cos rby rax 为参数 的 几何意义是 以垂直于 y 轴的直线与圆的右交点 A 与圆心 C 的连线为始边 以 C 与动点 P 的连线为终边的旋转角 如图所示 三种形式的方程可以相互转化 其流程图为 2 二元二次方程是圆方程的充要条件 A C 0 且 B 0 是一个一般的二元二次方程 0 22 FEyDxCyBxyAx 表 示圆的必要条件 二元二次方程 0 22 FEyDxCyBxyAx 表示圆的充要条件为 A C 0 B 0 且 04 22 AFED 它可根据圆的一般方程推导而得 3 参数方程与普通方程 我们现在所学的曲线方程有两大类 其一是普通方程 它直接给出了曲线上点的横 纵坐标之间的关系 其二是参数方程 它是通过参数建立了曲线上的点的横 纵坐标之间 的 间接 关系 参数方程中的参数 可以明显的物理 几何意义 也可以无明显意义 要搞清楚参数方程与含有参数的方程的区别 前者是利用参数将横 纵坐标间接地连 结起来 考点五 考点五 直线 圆的位置关系 例 5 从点 A 3 3 发出的光线 l 射到 x 轴上 被 x 轴反射 其反射光线所在直线与圆 x2 y2 4x 4y 7 0 相切 求光线 l 所在直线的方程 用心 爱心 专心 解解 方法一方法一 如图所示 设 l 与 x 轴交于点 B b 0 则 kAB 3 3 b 根据光的反射定律 反射光线的斜率 k反 3 3 b 方法三方法三 设入射光线方程为 y 3 k x 3 反射光线所在的直线方程为 y kx b 由于二者横 截距相等 且后者与已知圆相切 1 1 22 33 2 k bk k b k k 消去 b 得 2 1 55 k k 1 即 12k2 25k 12 0 k1 3 4 k2 4 3 则 l 的方程为 4x 3y 3 0 或 3x 4y 3 0 名师点睛名师点睛 1 直线0 CByAx与圆 222 rbyax 的位置关系有三种 1 若 22 BA CBbAa d 0 交交rd 2 0 交交rd 3 0 交交rd 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 0 0 22 FEyDxyx CByAx 求解 通过解的个数来判断 1 当方程组有 2 个公共解时 直线与圆有 2 个交点 直线与圆相交 2 当方程组有且只有 1 个公共解时 直线与圆只有 1 个交点 直线与圆相切 3 当方程组没有公共解时 直线与圆没有交点 直线与圆相离 即 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程 设它的判别式为 圆心 C 到直线 l 的 距离为 d 则直线与圆的位置关系满足以下关系 相切 d r 0 相交 d0 相离 d r 0 上 n2 2pm l2 2pk 22 2222 2 2 22 0 EF n kmlpmkpmk xx nlnl EF xx 为定值 2 河北省唐山一中河北省唐山一中 20112011 届高三理 届高三理 已知过点A 1 1 且斜率为m 0 m 的直线 l与yx 轴分别交于QP 两点 分别过QP 作直线02 yx的垂线 垂足分别为 SR求四边形PRSQ的面积的最小值 3 福建省三明市福建省三明市 20112011 年年高三三校联考文科高三三校联考文科 本小题满分 12 分 已知可行域 02 02 0 yx yx y 的外接圆 1 C与x轴交于点 1 A 2 A 椭圆 2 C以线段 1 A 2 A为长轴 离心 率 2 2 e 1 求圆 1 C及椭圆 2 C的方程 2 设椭圆 2 C的右焦点为F 点P为圆 1 C上 用心 爱心 专心 异于 1 A 2 A的动点 过原点O作直线PF的垂线交直线2 x于点Q 判断直线PQ与 圆 1 C的位置关系 并给出证明 解 1 由题意可知 可行域是以 及点2 0 0 2 0 2 21 MAA 为顶点的三角 形 1 分因为MAMAkk MAMA21 1 21 所以 MAA 21 为直角三角形 外接 圆 1 C是以原点 O 为圆心 线段 21A A 22为直径的圆故其方程为2 22 yx 3 分设 椭圆的方程为1 2 2 2 2 b y a x 222 a 2 a又 2 2 e 1 c 可得 1 b故椭圆 2 C的方程为1 2 2 2 y x 5 分 所以直线OQ的方程为x y x y 0 0 1 因此点Q的坐标为 2 22 0 0 y x 9 分 0 0 00 00 00 2 00 0 0 0 0 2 2 2 22 2 22 y x xy xx xy yx x y y x kPQ 10 分 当00 0 PQ kx时 PQOP 当 0 0 0 0 x y kx OP 时 1 PQOP kk 用心 爱心 专心 PQOP 综上 当2 0 x时 PQOP 故直线PQ始终与圆 1 C相切 12 分 一年原创一年原创 原创试题及其解析原创试题及其解析 1 直线y x 与圆x2 y2 4x 1 0 的位置关系是 3 A 直线与圆相切 B 直线与圆相交但不过圆心 C 直线与圆相离 D 直线过圆 心 解析 圆的标准方程为 x 2 2 y2 3 又圆心 2 0 到直线y x的距离 3 d r 直线与圆相切 答案 A 2 3 23 2 直线x y 1 与圆x2 y2 2ay 0 a 0 没有公共点 则a的取值范围是 A 0 1 B 1 1 C 1 1 D 0 1 222222 解析 圆心 0 a 半径r a a 0 a 1 答案 A a 1 22 3 若P 2 1 为圆 x 1 2 y2 25 的弦AB中点 则直线AB的方程是 A x y 3 0 B 2x y 3 0 C x y 1 0 D 2x y 5 0 答案 A 4 圆x2 y2 2x 4y 3 0 上到直线x y 1 0 的距离为的点共有 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解析 圆的圆心 1 2 半径R 2 而圆心到直线x y 1 0 的距离为 22 答案 C 5 若直线 2x y C 0 按向量a 1 1 平移后与圆x2 y2 5 相切 则C的值为 A 8 或 2 B 6 或 4 C 4 或 6 D 2 或 8 答案 A 6 若直线yxb 与曲线 2cos sin x y 0 2 有两个不同的公共点 则实数 b的取值范围为 解析 选 D 如图所示 直线与圆相切之间的情形 符合题意 计算圆心 2 0 到直线yxb 的距离等于圆半径 1 即 2 1 2 b 解得22b 所以2222b 7 过点 A 4 1 的圆 C 与直线10 xy 相切于点 B 2 1 则圆 C 的方 程为 用心 爱心 专心 答案 22 3 2xy 8 过点 2 3 作圆x2 y2 4 的切线 则切线方程为 9 若直线 10 0 0 l axbyab 始终平分圆M 22 8210 xyxy 的周 长 则 14 ab 的最小值为 16 10 一直线经过点P 3 被圆x2 y2 25 截得的弦长为 8 求此弦所在直线方程 3 2 解 1 直线l的方程可化为y x 直线l的斜率k m m2 1 4m m2 1 m m2 1 因为 m m2 1 所以 k 当且仅当 m 1 时等号成立 所以斜率k的取 1 2 m m2 1 1 2 值范围是 1 2 1 2 2 不能 由 1 知l的方程为y k x 4 其中 k 圆C的圆心为C 4 2 半径 1 2 r 2 圆心C到直线l的距离d 由 k 得d 1 即d 从而 若l与圆C相 2 1 k2 1 2 4 5 r 2 交 则圆C截直线l所得的弦所对的圆心角小于 所以l不能将圆C分割成弧长的比值 2 3 为 的两段弧 1 2 12 已知圆C经过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为 4 半径小于 3 5 1 求直线PQ与圆C的方程 2 若直线l PQ 且l与圆C交于点A B AOB 90 求直线l的方程 用心 爱心 专心 考点预测考点预测 20132013 高考预测高考预测 1 一个选择题或一个填空题 解答题多与其它知识联合考察 2 热点问题是直线的 位置关系 借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系 注重此种思想方法的考察也会 是一个命题的方向 复习建议复习建议 抓好 三基 把握重点 重视低 中档题的复习 确保选择题的成功率 在解答有关直线 的问题时 应特别注意的几个方面 1 在确定直线的斜率 倾斜角时 首先要注意斜率存在的条件 其次要注意倾角的范围 2 在利用直线的截距式解题时 要注意防止由于 零截距 造成丢解的情况 如题目条 件中出现直线在两坐标轴上的 截距相等 截距互为相反数 在一坐标轴上的截距是另 一坐标轴上的截距的 m 倍 m 0 等时 采用截距式就会出现 零截距 从而丢解 此 时最好采用点斜式或斜截式求解 3 在利用直线的点斜式 斜截式解题时 要注意防止由于 无斜率 从而造成丢解 如 在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时 或讨论两直线的 平行 垂直的位置关系时 一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论 4 首先将几何问题代数化 用代数的语言描述几何要素及其关系 进而将几何问题转化 为代数问题 处理代数问题 分析代数结果的几何含义 最终解决几何问题 这种思想应 贯穿平面解析几何教学的始终 母题特供母题特供 母题一 母题一 金题引路 金题引路 已知圆 x2 y2 8x 4y 0 与以原点为圆心的某圆关于直线 y kx b 对称 1 求 k b 的值 2 若这时两圆的交点为 A B 求 AOB 的度数 用心 爱心 专心 母题二 母题二 金题引路 金题引路 已知圆C经过P 4 2 Q 1 3 两点 且在y轴上截得的线段长为 4 3 半径小于 5 1 求直线PQ与圆C的方程 2 若直线l PQ 且l与圆C交于点 A B 90AOB 求直线l的方程 解 1 PQ为 32 3 1 20 14 yxxy 即 C在PQ的中垂线 3241 1 22 yx 所求圆的方程为 22 2120 xyx 2 设l为0 xym 由 22 0 1 13 xym xy 得 22 2 22 120 xmxm 设A x1 y1 B x2 y2 则 2 1212 12 1 2 m xxmx x 90AOB 1212 0 x xy y 1212 0 x xxm xm 2 120mm m 3 或 4 均满足0 l为3040 xyxy 或 母题三 母题三 用