九年级数学圆的认识华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 九年级九年级数学数学圆的认识圆的认识华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 第二十三章 第一节 圆的认识 知识与技能 1 了解圆的基本元素 认识圆心角和圆周角 2 掌握同一个圆中 圆心角 弧 弦三者之间的关系 3 了解一个圆中垂直于弦的直径的性质 4 掌握半圆 或直径 与所对的圆周角之间的关系 5 理解并掌握圆周角的性质 并会运用这些性质进行推理或计算 二 教学过程 知识点回顾 1 圆的基本元素 1 圆的位置由圆心确定 圆的大小由半径长度确定 半径相等的两个圆为等圆 2 连结圆上任意两点的线段叫弦 经过圆心的弦是直径 直径是弦 但弦不一定是 直径 3 圆上任意两点间的部分叫弧 直径两个端点间的弧叫做半圆 大于半圆周的圆弧 叫做优弧 小于半圆周的弧叫劣弧 2 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 任一条直径所在的直线都是它的对称轴 圆是中心对称图形 对称中心是圆心 特别地 圆具有旋转不变性 即圆无论绕圆心旋转多少度 它都能与自 身重合 2 在同圆或等圆的弧 弦与圆心角中 只要有一组量相等 那么另外两组量也分别 相等 3 垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧 垂径定理 3 圆周角 1 顶点在圆上并且两边与圆相交的角叫圆周角 2 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等于 90 3 同弧或等弧所对的圆周角相等 4 在同圆中 一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半 5 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧相等 6 90 的圆周角所对的弦是直径 典型例题典型例题 例 1 如图 1 CD 是 O 的直径 EOD 87 AE 交 O 于 B 且 AB OC 求 A 的度数 用心 爱心 专心 图 1 解 解 连结 OB AB OC OB AB OB AB 设 A 度数为 x 则 BOA x OBE BOA A 2x OE OB OEA OBE 2x EOD E A 3x 87 x 29 A 29 例 2 已知 O 的直径是 50cm O 的两条平行弦 AB 40cm CD 48cm 求 弦 AB 与 CD 间的距离 分析 分析 本题有两种情况 1 AB CD 在圆心 O 的同侧 2 AB CD 在圆心 O 的 两侧 解 解 1 AB CD 在圆心 O 的同侧 作 OF AB 于 F 交 CD 于 E 如图 2 图 2 AB CD OE CD 由垂径定理 知AFAB 1 2 20 CECD 1 2 24 连结 OA OC OA OC 25 OEOF 25247252015 2222 AB 与 CD 之间的距离 EF 15 7 8cm 2 AB CD 在圆心 O 的两侧 如图 3 用心 爱心 专心 图 3 AB 与 CD 之间的距离EFcm 15722 例 3 点 A B C 在半径为 2cm 的 O 上 若 求 A 的度数 BCcm 2 3 分析 分析 此题要分类讨论 考虑 A 点在 BC 所对的优弧上或 BC 所对的劣弧上两种情况 解 解 当点 A 在弦 BC 所对的优弧上时 如图 4 1 图 4 1 连结 OB OC 过 O 作 OD BC 于 D 则 BD 3cm 在 Rt ODB 中 OBBD ODOBBDOBD 23 130 22 BOD 60 BOC 120 A 60 当点 A 在弦 BC 所对的劣弧上时 如图 4 2 图 4 2 连结 OB OC 过 O 作 OD BC 于 D 则BDcm 3 在 中 RtDOBOBBD ODOBBDOBD 23 130 22 OB OC OBC OCB 30 BOC 120 ABOC 1 2 360120 故 A 的度数是 60 或 120 例 4 如图 5 已知 O 中 直径 AB 为 10cm 弦 AC 长为 6cm ACB 的平分线交 O 于 D 求 BC AD 和 BD 的长 用心 爱心 专心 图 5 分析 分析 直径所对的圆周角是直角 是圆中的基本图形 解题时应充分利用 解 解 AB 是直径 ACB ADB 90 在 Rt ABC 中 BCABAC 2222 1068 CD 平分 ACB AD BD ADBD 在 Rt ADB 中 ADBDAB 2 2 5 2 例 5 如图 6 所示 AB 为 O 的一固定直径 它把 O 分成上下两个半圆 自上半圆上 一点 C 作弦 CD AB OCD 的平分线交 O 于 P 当点 C 在上半圆 不包括 A B 两点 上移动时 点 P 图 6 A 到 CD 的距离保持不变 B 位置不变 C 等分BD D 随 C 点的移动而移动 解 解 连结 OP 因为 OC OP 所以 1 P 又因为 CP 平分 OCD 所以 1 2 所以 2 P 所以 CD OP 因为 CD AB 所以 OP AB 而过 O 点垂直于 AB 的直线只有一条 所以 P 点位置不变 例 6 已知 如图 7 O 中的弦 AB 10cm P 是弦 AB 上一点 且 用心 爱心 专心 PA 4cm OP 5cm 求 O 的半径 图 7 解 解 连结 OA 过点 O 作 OM AB 于点 M 则AMBMABcm 1 2 1 2 105 P 在 AB 上 PA 4cm cm MPMAPA 541 在 Rt OMP 中 OMOPMP 222 在 Rt OMA 中 OMOAMA 222 又 OPMPOAMAOPcm OAOPMPMA 2222 2222222 5 51549 OA 7cm 即 O 半径是 7cm 小结 小结 由垂径定理而产生的直角三角形在计算问题中有广泛的应用 例 7 如图 8 ABC 是 O 的内接三角形 O 的直径 BD 交 AC 于点 E AF BD 于 点 F 延长 AF 交 BC 于点 G 证明 ABBGBC 2 图 8 1 证法证法 1 连结 AD 直径 BD BAD 90 AF BD BAF FAD FAD D 90 BAF D D C C BAF ABC ABC ABG CBA AB BC BG AB ABBCBG 2 证法 2 延长 AG 交 O 于 M 如图 8 2 用心 爱心 专心 图 8 2 BD 是直径 且 BD AM ABBM BAM C ABC ABC ABG CBA AB BC BG AB ABBCBG 2 例 8 如图 9 所示 已知 C 为半圆上的一点 过点 C 作直径 AB 的垂线ACCE CP P 为垂足 弦 AE 分别交 PC CB 于点 D F 图 9 1 说明 AD CD 2 若求 PB 的长 DFECB 5 4 3 4 tan 分析 分析 已知条件中有三角函数值时 应将三角函数值转移到直角三角形中 以便用于 计算 解 解 1 连结 AC CEA CAEACCE CEA CBA CBA CAE AB 是直径 ACB 90 CP AB CBA ACP CAE ACP AD CD 2 ACB 90 CAE ACP DCF CFD ADCDDF 5 4 用心 爱心 专心 ECBDAP tan ECB 3 4 tan DAP DP PA 3 4 设 DP 3k PA 4k DPPADA DAkk DPPACP 222 5 5 4 1 4 3 4 12 ACB 90 CP AB PCPAPB PB PC PA 2 2 4 例 9 如图 10 已知 ABC 内接于 O 过圆心 O 作 BC 的垂线交 O 于点 P Q 交 AB 于点 D QP CA 的延长线交于点 E 图 10 求证 OAODOE 2 分析 分析 OAODOE 2 OA OD OE OA OADOEA 而在 OAD 和 OEA 中 有 2 2 要证相似 只要有 1 E 解此题的关键是证明 1 E 要证 1 E 有如下方法 解法解法 1 连结 AQ 因为直径 PQ BC BQCQ BAQ CAQ BAQ 1 3 CAQ E OQA 用心 爱心 专心 OA OQ 3 OQA 1 E 解法解法 2 延长 AO 交 O 于 K 连 BK AK 为直径 ABK 90 EQ BC EMC 90 K C 所对圆弧为AB K C 1 E 解法解法 3 作 OL AB 交 O 于 L 则有 OGA EMC 90 ACBC C 的度数是度数的一半 即 C 的度数是度数 AB AC 而 AOC 度数也等于度数AC C AOC 1 E 小结 小结 利用垂径定理或直径所对的圆周角是直角是解此题的关键 例 10 如图 11 某条河上有一座圆弧形拱桥 ACB 桥下水面宽度 AB 为 7 2 米 桥的最 高处点 C 高出水面 2 4 米 现有一艘宽 3 米 船舱顶部为方形并高出水面 2 米的货船要经 过这里 问 这艘货船能否顺利通过这座拱桥 请说明理由 图 11 解 解 连结 OA ON 设 CD 交 MN 于 H 因为 AB 7 2 CD 2 4 EF 3 且 D 为 AB EF 中点 所以 OC AB OC MN 设 OA R 则 OD OC DC R 2 4 ADAB 1 2 36 在 Rt OAD 中 有OAADOD 222 即RR 222 3624 R 3 9 在 Rt ONH 中 OHONNH 2222 391536 所以FNDHOHODmm 363924212 所以能通过这座拱桥 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 半径是 10 的圆中 垂直平分半径的弦长等于 用心 爱心 专心 2 一条弦把圆周分为 1 5 两部分 则此弦所对的圆心角的度数是 3 如图 1 O 是 ABC 的外接圆 BAC 30 BC 2cm 则 OBC 的面积是 图 1 4 如图 2 A B C D 为 O 上四点 BCD 130 则 BOD 的度数是 图 2 5 已知等腰三角形 ABC 顶角 BAC 70 以 AB 为直径的半圆交 AC 于点 D 交 BC 于点 E 则 BAE 的度数为 6 如图 3 点 A 是半圆上一个三等分点 点 B 是的中点 点 P 是直径 MN 上AN 一动点 O 的半径是 1 则 AP BP 的最小值是 图 3 二 解答题 1 如图 4 O 的直径 AB 和弦 CD 相交