2011年高考数学总复习 提能拔高限时训练：单元检测—极限（练习+详细解析）大纲人教版

用心 爱心 专心 单元检测单元检测 十三十三 极限极限 满分 150 分 时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 1 54 2 lim 2 2 1 xx xx x 等于 A 2 1 B 1 C 5 2 D 4 1 解析 解析 2 1 5 2 lim 1 5 1 2 lim 54 2 lim 11 2 2 1 x x xx xx xx xx xxx 答案 答案 A 2 极限 lim 0 xf xx 存在是函数 f x 在点 x x0处连续的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 解析 f x 在 x x0处连续 lim 0 xf xx 存在 lim 0 xf xx 存在f x 在 x x0处连续 lim 0 xf xx 存在为 f x 在 x x0处连续的必要不充分条件 答案 答案 B 3 在数列 an 中 a1 1 当 n 2 时 1 1 1 n n n a a a 且已知此数列有极限 则 n liman等于 A 2 B 1 C 0 D 1 n lim 解析 解析 由 n n a lim存在 知 1 limlim n n n n aa 令ban n lim 1 1 1 n n n a a a 1 1 1 1 lim1 lim 1 limlim n n n n n n n n n a a a a a b b b 1 b 0 n liman 0 答案 答案 C 4 2 1 1 lim an na n 则 a 的值为 A 1 B 1 C 1 D 2 解析 解析 采取 上下同除以一个数 的方法 用心 爱心 专心 a n a n a n an n na nn 1 1 1 1 lim 1 1 lim原式 由题意 知 1 a 2 因此 a 1 选 A 答案 答案 A 5 函数极限 0 0 lnln lim 0 xx xx xx 的值为 A 2 0 x B 0 2 x C 0 2 1 x D 0 2 1 x 解析 解析 0 0 0 0 0 0 lnln lim 2 1lnln lim 2 1 lim lnln lim 0000 xx xx xx xx xx xx xxxxxxxx 令 y lnx 则 0 0 lnln lim 0 0 xx xx y xx xx x y 1 0 1 0 x y xx 000 0 2 11 2 1lnln lim 0 xxxx xx xx 答案 答案 C 6 x 1 是函数 1 1 0 1 3 xx x xx xf的 A 连续点 B 无定义点 C 不连续点 D 极限不存在的点 解析 解析 1 lim 1 xf x 1 lim 1 xf x 1 lim 1 xf x 但 f 1 0 1 lim 1 fxf x 答案 答案 C 7 lim 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 n n n CCCCn CCCC 等于 A 3 B 3 1 C 6 1 D 6 解析 解析 22 4 3 4 22 4 2 3 3 3 22 4 2 3 2 2nnn CCCCCCCCCCC 用心 爱心 专心 3 1 n C 2 1 2 11 4 1 3 1 2 nn nCCCCn n 3 1 2 2 1 6 1 1 lim 2 2 1 lim lim 3 1 11 4 1 3 1 2 22 4 2 3 2 2 nnn nnn nnn C CCCCn CCCC n n n n n n 答案 答案 B 8 若数列 an 满足 3 1 1 a 且对任意正整数 m n 都有 am n am an 则 lim 21n n aaa 等 于 A 2 1 B 3 2 C 2 3 D 2 解析 解析 由 am n am an 得 2 12 aa 3 1213 aaaa n n aa 1 an 是以 3 1 1 a为首项 公比 3 1 q的等比数列 2 1 1 lim 1 21 q a aaa n n 答案 答案 A 9 在等比数列 an 中 a1 1 且前 n 项和 Sn满足 1 1 lim a Sn n 那么 a1的取值范围是 A 1 B 1 4 C 1 2 D 1 2 解析 解析 由题意 知 q qa S n n 1 1 1 1 1 lim a Sn n 1 1 1 1 1 aq a q qa 1 1 21 1 a 答案 答案 D 10 设正数 a b 满足4 lim 2 2 baxx x 则 nn nn n ba aba 2 lim 1 11 等于 A 0 B 4 1 C 2 1 D 1 解析 解析 bababaxx x 24244 lim 2 2 2 1 b a 用心 爱心 专心 4 1 2 2 1 1 2 1 2 1 lim 2 1 lim 2 lim 1 11 n n n n n n nn nn n a a b a a b a b a a ba aba 选 B 答案 答案 B 11 若2 13 33 lim 3 2 1 x axx x 则 a 等于 A 4 B 3 C 2 D 1 解析 解析 2 4 6 13 33 lim 3 2 1 a x axx x a 2 答案 答案 C 12 函数 y f x 在 x x0处连续 且2 lim 2 0 axf xx 12 lim 0 axf xx 其中 a 0 则 f x0 等 于 A 1 B 7 C 1 或 7 D 3 解析 解析 函数 f x 在 x x0处连续 lim lim 0 00 xfxfxf xxxx 即 a2 2 2a 1 a 0 a 3 f x0 7 答案 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 在数列 an 中 a1 9 且对任意大于 1 的正整数 n 点 1 nn aa在直线 x y 3 0 上 则 2 1 lim n an n 解析 解析 由题意 得3 1 nn aa n a是等差数列 nnaan33 1 1 an 9n2 9 1 1 9 lim 1 9 lim 1 lim 2 2 2 2 n n n n a nn n n 答案 答案 9 14 x xx x cos lim 用心 爱心 专心 解析 解析 2cos cos lim cos lim xxx x xx xx 答案 答案 2 15 如图 连结 ABC 的各边中点得到一个新的 A1B1C1 又连结 A1B1C1的各边中点得到 A2B2C2 如此无限继续下去 得到一系列三角形 ABC A1B1C1 A2B2C2 这一系列三 角形趋向于一个点 M 已知 A 0 0 B 3 0 C 2 2 则点 M 的坐标是 解析 解析 由条件结合图象可知 三角形的顶点都在 ABC 的三条中线上 由极限知识知 M 点的 坐标是 ABC 的重心 3 2 3 5 即为所求 答案 答案 3 2 3 5 16 将杨辉三角中的每一个数 r n C都换成分数 r n Cn 1 1 就得到一个如图所示的分数三角形 称为莱布尼茨三角形 从莱布尼茨三角形可看出 r n x n r n nCCnCn 1 1 1 1 1 1 其中 x 令 22 1 1 11 60 1 30 1 12 1 3 1 nn n CnnC a 则 n n alim 1 1 2 1 2 1 3 1 6 1 3 1 4 1 12 1 12 1 4 1 5 1 20 1 30 1 20 1 5 1 用心 爱心 专心 6 1 30 1 60 1 60 1 30 1 6 1 7 1 42 1 105 1 140 1 105 1 42 1 7 1 解析 解析 令 n 3 rxr CCC 233 3 1 4 1 4 1 当 r 1 时 23 1 4 1 34 1 3 x C 12 1 12 1 6 1 4 1 3 r C 3 3 x C x 1 2 当 r 2 时 3 1 4 1 4 1 3 2 3 x CC 4 1 12 3 12 1 3 1 4 1 3 x C 1 3 x C x 3 归纳 x r 1 利用裂项求和求极限求出 n n a lim的值 答案 答案 r 1 2 1 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 17 本小题满分 10 分 已知 f x a bx a b 为常数 的图象经过点 8 1 1 P和 Q 4 8 1 求 f x 的解析式 2 记 an log2f n n N N Sn是数列 an 的前 n 项和 求 13 lim 2 n Sn n 解 解 1 f x 的图象经过点 8 1 1 P和 Q 4 8 8 8 1 4 ab ab 解得 4 32 1 b a 52 2 5 24 32 1 xx xf 2 an log2f n log222n 5 2n 5 an 1 an 2 n 1 5 2n 5 2 an 是以 3 为首项 公差为 2 的等差数列 nn nn Sn4 2 523 2 3 1 13 4 lim 13 lim 2 2 2 n nn n S n n n 用心 爱心 专心 18 本小题满分 12 分 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn 其中 12 nn S a n n 且 3 1 1 a 1 求 a2 a3 2 猜想数列 an 的通项公式 并用数学归纳法加以证明 3 求 n n S lim 解 解 1 由 32 3 1 2 2 a a 得 53 1 2 a 由 31 1 1 a 53 1 2 a 得 53 53 1 3 1 3 3 a a 得 75 1 3 a 2 猜想 12 12 1 nn an 证明 证明 当 n 1 时 显然成立 假设 n k 时 猜想成立 即 12 12 1 kk ak 则 n k 1 时 12 1 1 1 kk S a k k 得 Sk 1 k 1 2k 1 ak 1 同时 12 12 k k akkS kk 两式相减 得 12 12 1 111 k k akkSSa kkkk 即 12 32 1 k k akk k 32 12 1 1 kk ak 即 n k 1 时 猜想成立 3 12 12 1 53 1 31 1 limlim nn S n n n 2 1 12 1 1 2 1 lim 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 lim nnn nn 19 本小题满分 12 分 已知等比数列 an 的首项为 a1 公比为 q 且有 4 1 2 lim 1 n n q q a 求 首项 a1的取值范围 解 解 4 1 2 lim 1 n n q q a 0 q 1 或 q 1 当 0 q 1 时 即有 0 4a1 2 1 解之 得 4 3 4 1 1 a 2 1 1 a 当 q 1 时 4 1 1 3 lim 1 a n 即 4 1 1 3 1 a 得 4 15 1 a 用心 爱心 专心 故 a1的取值范围为 4 3 4 1 1 a且 2 1 1 a或 4 15 1 a 20 本小题满分 12 分 在边长为 l 的等边 ABC 中 O1为 ABC 的内切圆 O2与 O1外切 且与 AB BC 相切 On 1与 On外切 且与 AB BC 相切 如此无限继续下去 记 On的面积 为 an n N N 1 证明 an 是等比数列 2 求 lim 21n n aaa 的值 1 证明 证明 记 rn为 On的半径 则lr 6 3 30tan 2 1 1 2 1 30sin 1 1 nn nn rr rr 1 3 1 nn rr n 2 于是 12 2 2 11 l ra 9 1 2 11 n n n n r r a a 故 an 成等比数列 2 解 解 1 1 9 1 aa n n 32 3 9 1 1 lim 2 1 21 la aaa n n 21 本小题满分 12 分 已知公比为 q 0 q 1 的无穷等比数列 an 各项的和为 9 无穷等比数 列 2 n a各项的和为 5 81 1 求数列 an 的首项 a1和公比 q 2 对给定的 k k 1 2 n 设 T k 是首项为 ak 公差为 2ak 1 的等差数列 求数列 T 2 的前 10 项之和 3 设 bi为数列 T i 的第 i 项 Sn b1 b2 bn 求 Sn 并求正整数 m m 1 使得 m n n n S lim存在且 不等于零 注 无穷等比数列各项的和即当 n 时该无穷等比数列前 n 项和的极限 用心 爱心 专心 解 解 1 依题意 可知 3 2 3 5 81 1 9 1 1 2 2 1 1 q a q a q a 2 由 1 知 1 3 2 3 n n a 所以数列 T 2 的首项为 t1 a2 2 公差 d 2a2 1 3 1553910 2 1 210 10 S 即数列 T 2 的前 10 项之和为 155 3 1 3 2 12 3 1 12 12 1 1 iiiaiaiab i iiii 2 1 3 2 4518 45 nn nS n n m n mm n m n n n nn n n nn S 2 1 3 2 451845 limlim 当 m 2 时 2 1 lim m n n n S 当 m 2 时 0lim m n n n S 所以 m 2 22 本小题满分 12 分 已知数列 an 的首项 a1 5 前 n 项和为 Sn 且 Sn 1 2Sn n 5 n N N 1 证明数列 an 1 是等比数列 2 令 f x a1x a2x2 anxn 求函数 f x 在点 x 1 处的导数 f 1 并比较 2f 1 与 23n2 13n 的大小 1 证明 证明 由已知 Sn 1 2Sn n 5 n 2 时 Sn 2Sn 1 n 4 两式相减 得 Sn 1 Sn 2 Sn Sn 1 1 即 an 1 2an 1 从而 an 1 1 2 an 1 当 n 1 时 S2 2S1 1 5 a1 a2 2a1 6 又 a1 5 a2 11 从而 a2 1 2 a1 1 故总有 an 1 1 2 an 1 n N N 又 a1 5 an 1 0 从而2 1 1 1 n n a a 即 an 1 是以 a1 1 6 为首项 2 为公比的等比数列 2 解 解 由 1 知 an 3 2n 1 f x a1x a2x2 anxn f x a1 2a2x nanxn 1