八年级数学寒假专题——四边形折叠问题华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 初二数学初二数学寒假专题寒假专题 四边形折叠问题四边形折叠问题华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 寒假专题 四边形折叠问题 一 四边形折叠问题 折叠问题是近年出现的一种新题型 它以轴对称性质为依托 有利于考查同学们分析 问题和解决问题的能力 典型例题典型例题 例 1 如图所示 等腰梯形 ABCD 中 AD BC 平移腰 AB 到 ABC72 DE 再将 DCE 沿 DE 翻折 得到 DC E 则 EDC A D C B E C 分析 分析 由于 DCE 沿 DE 翻折后得 DC E 因此 DEC 与 DEC 关于 DE 成轴对称 由轴对称性质及等腰梯形性质可知 CC 72 DCDCDE C DE 180727236 答 EDC 36 例 2 矩形 ABCD 沿 AE 折叠 使点 D 落在 BC 边上的点 F 处 如果 BAF60 则等于 DAE A D E B F C 分析 分析 由对称性可知 12 1 2 FAD FADBAF DAE 9030 15 答 DAE15 例 3 把一张长方形 ABCD 的纸片 沿 EF 折叠后 ED 与 BC 的交点为 G 点 D C 分别落在 D C 的位置上 若 求的度数 EFG55 12 用心 爱心 专心 A E D 1 2 B G D C F C 分析 分析 此题特点是沿着一组较长对边上的两点 非矩形顶点 的直线折叠 且使重叠 部分为三角形 则折痕平分关于折痕对称的两边所构成的角 而且重叠部分为等腰三角形 解 解 由已知条件可知 四边形 EDCF 与四边形 ED C F 关于 EF 成轴对称 D EFDEF 矩形 ABCD ADBC DEFEFGGED 2 EFG DEF D EF GEDD EFFED GED 55 55 55 110 170 2110 例 4 将一长方形纸片按如图所示的方式折叠 BC BD 为折痕 则的度数为 CBD D A E C A B E 分析 分析 由对称性知 CBACBADBEDBE 又由于 CBACBAA BDDBE 180 所以 CBAA BD 1 2 18090 答 CBD90 例 5 把一张正方形纸片 ABCD 从中间对折后仍然摊平得折痕为 EF 如图 1 所示 接着 使点 C 不动 把 B 点处的纸向右上方折起来使 B 点落在 EF 上 得落点为 B 折痕 为 GC 如图 2 所示 连 AB 问图中的度数 GAB 用心 爱心 专心 A E D A E D B G B F C B F C 分析 分析 由对称性可得 ABB 是等腰三角形且 ABB 30 可得 GAB 75 解 解 连结 BB 由已知条件可知成轴对称 CBGCB GCG与关于 CBCB 又 四边形 ABFE 与四边形 DCFE 关于 EF 成轴对称 EF 垂直平分 BC BBB C CBCBBB B BC B BC 为等边三角形 60 又 正方形 ABCD ABC90 ABB ABCDABBC BBAB BABBB A BAB ABB 30 180 2 75 正方形 答 GAB 75 A E D B G B F C 二 代数几何综合题 例 6 梯形 ABCD 中 AD BC BC 21cm 点 P 从点 A 开始沿 AD BABcmADcm901418 边向点 D 以 1cm s 的速度移动 点 Q 从点 C 开始沿 CB 向点 B 以 2cm s 的速度移动 如果 P Q 分别从 A C 同时出发 设移动时间为 t 1 当 t 为何值时 四边形 PDCQ 是平行四边形 用心 爱心 专心 2 当 t 为何值时 四边形 PDCQ 是等腰梯形 A P D B Q C 分析 分析 本题是一道几何运动题 在解题时 只要抓住平行四边形及等腰梯形的性质 将几何问题转化为代数中的方程去解即可 解 解 1 AD BC 当 DP CQ 时 四边形 PDCQ 是平行四边形 DPtCQt tt t 182 182 6 答 当秒时 四边形 PDCQ 是平行四边形 t 6 2 设 P Q 运动到如图所示位置 梯形 PDCQ 为等腰梯形 分别过 PQ 作高 PN DM 此时 NQ MC BC AD 3 QN BN BQ AP BQ t 21 2t 3t 21 即3213t t 8 答 当秒时 四边形 PDCQ 是等腰梯形 t 8 A P D B Q N M C 例 7 如图所示 正方形 ABCD 的边长为 1 E 为 CD 中点 P 为正方形边上一动点 动点 P 从点 A 出发沿运动到 E 若 P 经过的路程为 x APE 的面积ABCE 为 y 则当时 x 的值为 y 1 3 A D P E B C 分析 分析 P 点的运动可分三种情况讨论 1 P 在 AB 上 2 P 在 BC 上 3 P 在 CE 上 1 当 P 在 AB 上时 yAP BCx 1 2 1 2 把代入 y 1 3 x 2 3 用心 爱心 专心 2 当 P 在 BC 上时 SS APEAP E PPAE BP x 2 3 1 2 3 5 3 3 当 P 在 CE 上时 最大为S APE 1 2 1 4 1 3 CE AD 故 P 在 CE 上时 面积达不到 1 3 因此也不存在符合条件的点 答 x 的值为或 2 3 5 3 模拟试题模拟试题 1 将一个正方形三次对折后沿虚线剪下 然后展开 其图形应是 A B C D 2 点 M N 为矩形 ABCD 一组对边的中点 将矩形的一角向内折叠 使点 B 落在直线 MN 上 得到点 B 和折痕 AE 延长 EB 交 AD 于 F 判断 AEF 是什么三角形 并说明理 由 B E C M B N A F D 3 四个动点 P Q E F 分别从正方形 ABCD 的四个顶点 A B C D 同时出发 按 逆时针方向以同样的速度在正方形 ABCD 的边上移动 1 运动中的四边形 PQEF 是何种特殊四边形 请说明理由 2 PE 和 QF 按怎样的规律运动呢 3 如果正方形 ABCD 边长为 10 求四边形 PQEF 面积的变化范围 用心 爱心 专心 4 已知如图所示 正 AMN 与菱形 ABCD 有一公共点 A 且边长相等 M N 在 BC CD 上 求的度数 BAD A D N B M C 5 竞赛题 一张矩形纸片 ABCD 的边长分别为 9cm 和 3cm 把顶点 A 和 C 叠合在一 起 得到折痕 EF 证明四边形 AECF 是菱形 H D E C A F B 6 有一矩形纸片 ABCD AB 10 AD 6 将纸片折叠 使 AD 边落在 AB 边上 折