高一数学立体几何练习题及部分答案汇编

立体几何试题立体几何试题 一 选择题 每题 4 分 共 40 分 1 已知 AB PQ BC QR 则 PQP 等于 A B C D 以上结论都不对 0 30 0 30 0 150 2 在空间 下列命题正确的个数为 1 有两组对边相等的四边形是平行四边形 2 四边相等的四边形是菱形 3 平行于同一条直线的两条直线平行 4 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全 等 A 1 B 2 C 3 D 4 3 如果一条直线与两个平行平面中的一个平行 那么这条直线与另一个平面的位置关系是 A 平行 B 相交 C 在平面内 D 平行或在平面内 4 已知直线 m 平面 直线 n 在内 则 m 与 n 的关系为 A 平行 B 相交 C 平行或异面 D 相交或异面 5 经过平面外一点 作与平行的平面 则这样的平面可作 A 1 个 或 2 个 B 0 个或 1 个 C 1 个 D 0 个 6 如图 如果菱形所在平面 那么 MA 与 BD 的位置关系是 MC ABCD A 平行 B 垂直相交 C 异面 D 相交但不垂直 7 经过平面外一点和平面内一点与平面垂直的平面有 A 0 个 B 1 个 C 无数个 D 1 个或无数个 8 下列条件中 能判断两个平面平行的是 A 一个平面内的一条直线平行于另一个平面 B 一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C 一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D 一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 9 对于直线 和平面 使成立的一个条件是 mn A B mn nm mn nm C D mnm n mn mn 10 已知四棱锥 则中 直角三角形最多可以有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 每题 4 分 共 16 分 11 已知ABC 的两边 AC BC 分别交平面于点 M N 设直线 AB 与平面交于点 O 则 点 O 与直线 MN 的位置关系为 12 过直线外一点与该直线平行的平面有 个 过平面外一点与该平面平行的直 线有 条 13 一块西瓜切 3 刀最多能切 块 14 将边长是 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起 使得折起后 BD 得长为 a 则三棱锥 D ABC 的体积为 三 解答题 15 10 分 如图 已知 E F 分别是正方形的棱和棱上的点 且 1111 ABCDABC D 1 AA 1 CC 求证 四边形是平行四边形 1 AEC F 1 EBFD 16 10 分 如图 P 为所在平面外一点 AP AC BP BC D 为 PC 的中点 ABC 证明 直线 PC 与平面 ABD 垂直 P D C B A 17 12 分 如图 正三棱锥 A BCD 底面边长为 a 则侧棱长为 2a E F 分别为 AC AD 上的动点 求截面周长的最小值和这时 E F 的位置 BEF A F E D C B 18 12 分 如图 长方形的三个面的对角线长分别是 a b c 求长方体对角线的长 AC c a D1 C1 B1 A1 b DC B A 答案 1 D 2 B 3 D 4 C 5 C 6 C 7 D 8 D 9 A 10 D 1 三点共线 2 无数 无数 3 7 4 2 12 3 a 1 证明 1 AEC F 11 ABC D 11 EABFC D 11 EABFC D 1 EBFD 过作 1 A 11 AGD F 又由 且 1 AEBG 1 AEBG 可知 1 EBAG 1 EBD F 四边形是平行四边形 1 EBFD 2 APAC 为的中点DPC ADPC BPBC 为的中点DPC BDPC 平面PC ABD ABPC 3提示 沿线剪开 则为周长最小值 易求得的值为 则周长最小值为 AB BB EF 3 4 a 11 4 a 4 解 222 ACACCC 22 2 ABBC CC 222 abc 15 10 分 如图 已知 E F 分别是正方形的棱和棱上的点 且 1111 ABCDABC D 1 AA 1 CC 求证 四边形是平行四边形 1 AEC F 1 EBFD 6 10 分 如图 P 为所在平面外一点 AP AC BP BC D 为 PC 的中点 ABC 证明 直线 PC 与平面 ABD 垂直 P D C B A 17 12 分 如图 正三棱锥 A BCD 底面边长为 a 则侧棱长为 2a E F 分别为 AC AD 上的动点 求截面周长的最小值和这时 E F 的位置 BEF A F E D C B 18 12 分 如图 长方形的三个面的对角线长分别是 a b c 求长方体对角线的长 AC c a D1 C1 B1 A1 b DC B A 答案 1 证明 1 AEC F 11 ABC D 11 EABFC D 11 EABFC D 1 EBFD 过作 1 A 11 AGD F 又由 且 1 AEBG 1 AEBG 可知 1 EBAG 1 EBD F 四边形是平行四边形 1 EBFD 4 APAC 为的中点DPC ADPC BPBC 为的中点DPC BDPC 平面PC ABD ABPC 5提示 沿线剪开 则为周长最小值 易求得的值为 则周长最小值为 AB BB EF 3 4 a 11 4 a 4 解 222 ACACCC 22 2 ABBC CC 222 abc 高一数学必修 2 立体几何测试题 试卷满分 100 分 考试时间 120 分钟 班级 姓名 学号 分数 第 卷 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 线段在平面内 则直线与平面的位置关系是AB AB A B C 由线段的长短而定 D 以上都不对AB AB AB 2 下列说法正确的是 A 三点确定一个平面 B 四边形一定是平面图形 C 梯形一定是平面图形 D 平面和平面有不同在一条直线上的三个交点 3 垂直于同一条直线的两条直线一定 A 平行 B 相交 C 异面 D 以上都有可能 4 在正方体中 下列几种说法正确的是 1111 ABCDABC D A B C 与成角 D 与成角 11 ACAD 11 DCAB 1 ACDC45 11 AC 1 BC60 5 若直线 l 平面 直线 则 与的位置关系是 a la A l a B 与异面 C 与相交 D 与没有公共点lalala 6 下列命题中 1 平行于同一直线的两个平面平行 2 平行于同一平面的两个平面平行 3 垂直于同一直线的两直线平行 4 垂直于同一平面的两直线平行 其中正确的个数有 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在空间四边形各边上分别取四点 如果与能ABCDABBCCDDA EFGH EFGH 相交于点 那么P A 点不在直线上B 点必在直线 BD 上PACP C 点必在平面内 D 点必在平面外PABCPABC 8 a b c 表示直线 M 表示平面 给出下列四个命题 若 a M b M 则a b 若 bM a b 则 a M 若 a c b c 则a b 若 a M b M 则a b 其中正确命题的个 数有 A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 9 已知二面角的平面角是锐角 内一点到的距离为 3 点 C 到棱的距离为AB C AB 4 那么的值等于 tan B1 C1 A1 D1 B A C D A B C D 3 4 3 5 7 7 3 7 7 10 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为 V 点 P Q 分别在侧棱AA1 和 CC1上 AP C1Q 则四棱锥 B APQC 的体积为 A B C D 2 V 3 V 4 V 5 V 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 11 等体积的球和正方体 它们的表面积的大小关系是 S球S正方体 填 大于 小于或等于 12 正方体中 平面和平面的位置关系为 1111 ABCDABC D 11 AB D 1 BC D 13 已知垂直平行四边形所在平面 若 平PAABCDPCBD 行则四边形 一定是 ABCD 14 如图 在直四棱柱 A1B1C1 D1 ABCD 中 当底面四边形 ABCD 满足条件 时 有 A1 B B1 D1 注 填上你认为正确的一种条件即可 不必考 虑所有可能的情形 第第 卷卷 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 题号12345678910 答案 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 11 12 13 14 三 解答题 共 54 分 要求写出主要的证明 解答过程 15 已知圆台的上下底面半径分别是 2 5 且侧面面积等于两底面面积之和 求该圆台的母线长 7 分 16 已知 E F G H 为空间四边形 ABCD 的边 AB BC CD DA 上的点 且 求证 EH BD 8 分 Q P C B A C B A H G F E D B A C 17 已知中 面 求证 面 8 分 ABC 90ACB SA ABCADSC AD SBC 18 一块边长为 10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下 然后用余下的四个全等的等腰三角形cm 加工成一个正四棱锥形容器 试建立容器的容积与的函数关系式 并求出函数的定义域 9 分 Vx 19 已知正方体 是底对角线的 1111 ABCDABC D OABCD 交点 求证 C1O 面 2 面 10 分 11 AB D 1 AC 11 AB D S D C B A x 10 5 O F E D B A C D1 O D BA C1 B1 A1 C 20 已知 BCD 中 BCD 90 BC CD 1 AB 平面 BCD ADB 60 E F 分别是 AC AD 上的动点 且 01 AEAF ACAD 求证 不论 为何值 总有平面 BEF 平面 ABC 当 为何值时 平面 BEF 平面 ACD 12 分 高一立体几何试题 一 选择题 每题 5 分 1 下列说法中正确的个数为 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台 用一个平面去截圆锥 得到一个圆锥和一个 圆台 各个面都是三角形的几何体是三棱锥 以三角形的一条边所在直线为旋转轴 其余两边旋 转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等 则该棱锥可能是 六棱锥 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线 A 0 B 1 C 2 D 3 2 如图 一几何体的三视图如下 则这个几何体是 A 圆柱 B 空心圆柱 C 圆 D 圆锥 F E D B A C 俯视图 主视图 正 视 图侧视图 主视图 O y x 450 3 一梯形的直观图是一个如上图所示的等腰梯形 且梯形 OA B C 的面积为2 则原梯形的面积为 A B 2 C D 22 24 4 圆锥的轴截面是等腰直角三角形 侧面积是16 2 则圆锥的体积是 A 64 3 B 128 3 C 64 D 128 2 5 一个圆台的上 下底面面积分别是 1 2 cm和 49 2 cm 一个平行底面的截面面积为 25 2 cm 则这个 截面与上 下底面的距离之比是 A 2 1 B 3 1 C 2 1 D 3 1 6 长方体的一个顶点上三条棱的边长分别为 3 4 5 且它的八个顶点都在同一个球面上 这个球 的表面积是 A 220 B 225 C 50 D 200 7 下列命题中正确的个数是 若直线l上有无数个点不在平面 内 则l 若直线l与平面 平行 则l与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行 那么另一条也与这个平面平行 若直线l与平面 平行 则l与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 B 1 C 2 D 3 8 已知直线l 平面 有以下几个判断 若ml 则m 若m 则ml 若 m 则ml 若ml 则m 上述判断中正确的是 A B C D 9 如图是正方体的展开图 则在这个正方体中 以下四个命题中正确的序号是 BM与ED平行 CN与BE是异面直线 CN 与BM成60 角 DM与BN垂直 A B C D 10 在四面体中 分别是的中点 ABCD E F AC BD 若 则与所成的角的度数为 2 4 ABCDEFAB ABCD A 0 30 B 45o C 60o D 90o 11 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB 3 B1B BC 1 则面 BD1C 与面 AD1D 所成二面角的大小为 A F N DC B M E A 0 30 B 45o C 60o D 90o 12 蚂蚁搬家都选择最短路线行走 有一只蚂蚁沿棱长分别为 1cm 2cm 3cm 的长方体木块的顶点 A 处沿表面达到顶点 B 处 如图所示 这只蚂蚁走的路程是 A B C D 1 cm14cm23cm26cm13 二 填空题 每题 5 分 13 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥 则它的体积为 14 已知ab 是一对异面直线 且ab 成70 角 P为空间一定点 则在过P点的直线中与 ab 所成的角为70 的直线有 条 15 三个平面可将空间分成 部分 填出所有可能结果 16 如果直线ab 和平面 满足 那么直线ab 的位置关系是ab 三 解答题 17 题 10 分 其余每题 12 分 17 已知 四边形ABCD是空间四边形 E H 分别是边AB AD的中点 F G分别是边CB CD上的点 且 求证 FE和GH的交点在直线AC上 2 3 BFDG BCDC 18 已知圆台的上 下底面半径分别是 2 6 且侧面面积等于两底面 面积之和 求该圆台的母线长 求该圆台的体积 19 如图 已知 ABC是正三角形 EA CD都垂直于平面ABC 且EA AB 2a DC a F是BE的中点 求证 1 FD 平面ABC 2 AF 平面EDB A B C C D D A A G G H H B B E E F F E F D C B A 20 如图 在四边形ABCD中 0 90DAB 0 135ADC 5AB 2 2CD 2AD 求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积 21 三棱柱中ABC A1B1C1中 侧棱A1A垂直于底面ABC B1C1 A1C1 AC1 A1B M N分别为A1B1 AB中点 求证 1 平面AMC1 平面NB1C 2 A1B AM M N A1 B1 C1 C B A 22 如图 在三棱锥PABC 中 PA 底面 60 90ABC PAABABCBCA 点D E分别在棱 PB PC上 且 DEBC 求证 BC 平面PAC 当D为PB的中点时 求AD与平面PAC所成的角的大小 是否存在点E使得二面角ADEP 为直二面角 并说明 理由 高一数学必修 2 立体几何测试题参考答案 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 ACDDD BCBDB 二 填空题 每小题 4 分 共 16 分 11 小于 12 平行 13 菱形 14 对角线 A1C1与 B1D1互相垂直 三 解答题 共 74 分 要求写出主要的证明 解答过程 15 解 设圆台的母线长为 则 1 分l 圆台的上底面面积为 2 分 2 24S 上 圆台的上底面面积为 3 分 2 525S 下 所以圆台的底面面积为 4 分29SSS 下上 又圆台的侧面积 5 分 25 7Sll 侧 于是 6 分725l 即为所求 7 分 29 7 l 16 证明 面 面 EHFG EH ABCDFG BCD EH 面 4 分BCD 又面 面面 EH BCDBCD ABDBD EH BD 8 分 17 证明 1 分90ACB BCAC 又面 3 分SA ABCSABC 面 4 分BC SAC 6 分BCAD 又 SCAD SCBCC 面 8 分AD SBC 18 解 如图 设所截等腰三角形的底边边长为 xcm 在 Rt EOF 中 2 分 1 5 2 EFcm OFxcm 所以 5 分 2 1 25 4 EOx 于是 7 分 22 11 25 34 Vxx 依题意函数的定义域为 9 分 010 xx 19 证明 1 连结 设 11 AC 11111 ACB DO 连结 是正方体 是平行四边形 1 AO 1111 ABCDABC D 11 A ACC A1C1 AC 且 1 分 11 ACAC 又分别是的中点 O1C1 AO 且 1 O O 11 AC AC 11 OCAO 是平行四边形 3 分 11 AOC O 面 面 111 C OAO AO A 11 AB D 1 C O 11 AB D C1O 面 5 分 11 AB D 2 面 6 分 1 CC 1111 ABC D 11 CCB D 又 7 分 1111 ACB D 1111 B DACC 面 8 分 111 ACB D 即 同理可证 9 分 11 ACAB 又 1111 D BABB 面 10 分 1 AC 11 AB D 20 证明 AB 平面 BCD AB CD CD BC 且 AB BC B CD 平面 ABC 2 分 又 10 AD AF AC AE 不论 为何值 恒有 EF CD EF 平面 ABC EF平面 BEF 不论 为何值恒有平面 BEF 平面 ABC 5 分 由 知 BE EF 又平面 BEF 平面 ACD BE 平面 ACD BE AC 7 分 BC CD 1 BCD 90 ADB 60 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 33 4 9 分 660tan2 2 ABBD 由 AB2 AE AC 得 11 分 7 22 BCABAC 7 6 7 6 AC AE AE 故当时 平面 BEF 平面 ACD 12 分 7 6 高一立几复习题 一 高一立几复习题 一 1 用符号表示 点 A 在直线l上 l在平面外 为 2 右图所示的直观图 其原来平面图形的面积是 3 若一个底面为正三角形 侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示 则这个棱柱的侧面积为 4 a b c分别表示三条直线 M表示平面 给出下列四个命题 若a M b M 则a b 若b M a b 则a M 若a c b c 则a b 若a M b M 则a b 其中不正确命题的有 填序号 5 已知正方体外接球的体积是 那么正方体的棱长等于 32 3 6 经过一点和一直线垂直的直线有 条 经过一点和一平面垂直的直线有 条 经过平面外一点和平面平行的直线有 条 7 在棱长为 1 的正方体上 分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体 则截去 8 个三棱锥后 剩 下的凸多面体的体积是 8 PA 垂直于 ABC 所在的平面 若 AB AC 13 BC 10 PA 12 则 P 到 BC 的距离为 9 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AD a AB b 则 AA1到对角面 DD1B1B 的距离是 10 下列四个正方体图形中 A B为正方体的两个顶点 M N P分别为其所在棱的中点 能得出 的图形的序号是 ABMNP平面 45 BO A 2 2 11 已知是两个不同的平面 m n是两条不同的直线 给出下列命题 1 mnmnn 如果 是异面直线 那么与相交 2 m m n 则 n 3 如果点 M 是两条异面直线外的一点 则过点 M 且与 a b 都平行的平面有且只有一个 4 若 m nmnnnn 且 则且 其中正确的命题是 12 正方体的全面积是 6a2 它的顶点都在球面上 这个球的表面积是 体积是 13 正四面体的四个顶点都在表面积为 36 的一个球面上 则这个四面体的高等于 14 棱长为的正四面体内任意一点到各面距离之和为定值 则这个定值等于 a 15 某师傅需用合板制作零件 其大致形状的三视图如右图所示 单位长度 cm 图中的水平线与竖线 垂直 1 作出此零件的直观图 2 若按图中尺寸 求做成的零件用去的合板的面积 制作过程 合板的损耗和合板厚度忽略不计 16 已知 Rt ABC 中 C 90 C AB 平面 AB 8 AC BC 与平面 所成角分别 30 60 求 AB 到平面 的距离 17 正三棱锥的高为 1 底面边长为 此三棱锥内有一个球和四个面都相切 2 6 求棱锥的全面积 求球的体积 1 2 主视图主视图 2 1 左视图左视图 1 1 俯视图俯视图 C A B D A B C 18 在四棱锥 P ABCD 中 侧棱 PA 底面 ABCD 底面 ABCD 是矩形 问底面的边 BC 上是否存在点 E 1 使得 PED 900 2 使 PED 为锐角 证明你的结论 19 三棱锥各侧面与底面成 45 角 底面三角形各角成等差数列 而最大边和最小边的长是方程 两根 求此三棱锥的侧面积和体积 032273 2 xx 20 如图 四棱锥 P ABCD 的底面是矩形 PA 底面 ABCD 于 A E F 分别是 AB PD 之中 点 1 求证 AF 平面 PCE 2 若二面角 P CD B 为 45 求证 平面 PCE 平面 PCD 3 在 2 的条件下 若 AD 2 CD 求 F 点到平面 PCE 距离 22 BQC D P A E BC F P D A 立体几何测试题立体几何测试题 1 原创 以下关于几何体的三视图的论述中 正确的是 A 球的三视图总为全等的圆 B 正方体的三个视图总是正三个全等的正方形 C 水平放置的正四面体的三个视图都是正三角形 D 水平放置的圆台的俯视图是一个圆 2 原创 圆柱的一个底面积为 S 侧面展开图是一个正方形 那么这个圆柱的侧面积是 A B C D S S 2S 4S 3 32 3 正方体中 分别是 的中点 那么 正方体的 1111 ABCDABC D PQRABAD 11 BC 过 的截面图形是 PQR A 三角形 B 四边形 C 五边形 D 六边形 4 改编 将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球 则该球的体积为 A B C D 2 3 3 2 6 3 4 5 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1 则侧棱与底面所成的角为 A 75 B 60 C 45 D 30 6 正六棱柱的底面边长为 2 最长的一条对角线长为 则它的侧面积为 52 A 24 B 12 C D 224212 7 设是三个不重合的平面 l 是直线 给出下列命题 若 则 若 l 上两点到的距离相等 则 l 若 若 则 ll lll则且 其中正确的命题是 A B C D 8 在正四面体 P ABC 中 D E F 分别是 AB BC CA 的中点 下面四个结论中不成立的是 A BC 平面 PDF B DF 平面 PA E C 平面 PDF 平面 ABC D 平面 PAE 平面 ABC 9 原创 一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 腰和上底边均为 1 的等腰梯 45 形 则这个平面图形的面积是 A B C D 2 2 2 1 22 21 2 2 1 10 文科 如图 1 长方体 ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2 AD 1 点 E F G 分别是 DD1 AB CC1的中点 则异面直线 A1E 与 GF 所成的角的余弦值是 A B C D 5 15 2 2 5 10 1 理科 甲烷分子结构是 中心一个碳原子 外围四个氢原子构 成四面体 中心碳原子与四个氢原子等距离 且连成四线段 两两所成 角为 则 cos 值为 A B C D 3 1 3 1 2 1 2 1 11 在正三棱柱中 若 AB 2 111 CBAABC 则 1 1AA 点 A 到平面的距离为 BCA1 A B C D 4 3 2 3 4 33 3 12 改编 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1 在正方体的表面上与点 A 距离是的点 3 32 的集合形成一条曲线 这条曲线的长度是 A B C D 3 3 3 32 6 35 3 13 正三棱锥 P ABC 中 三条侧棱两两垂直 且侧棱长为 则 P 点到面 ABC 的距离是 a 14 改编 文科 三个平面两两垂直 它们的三条交线交于一点 O P 到三个面的距离分别是 6 8 10 则 OP 的长为 理科 已长方体的全面积是 8 则其对角线长的最小值是 15 如图 2 在四棱锥 P ABCD 中 PA底面 ABCD 底面各边都相等 M 是 PC 上的一个动点 当点 M 满足 时 平面 MBD平面 PCD 16 在空间中 若四点不共面 则这四点中任何三点都不 共线 若两条直线没有共点 则这两条直线是异面直线 以上两个命题中 逆命题为真命题的是 把符合要 求的命题序号都填上 17 原创 如图 3 所示 一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形冰淇淋 如果冰淇淋融化了 会 溢出杯子吗 A B C D A1 B1 C1D1 E F G 图 1 P A B D C M 图 2 cm4 cm12 图 3 18 矩形中 平面 边上存在点 使得ABCD1 0 ABBCa a PA ACBCQ 求的取值范围 PQQD a 19 如图 4 在三棱锥 P ABC 中 点 分别是ABBC 1 2 ABBCPA 的中点 底面 AC PCOP ABC 1 求证 平面 ODPAB 2 求直线与平面所成角的正弦值的ODPBC大小 20 文科 如图 5 已知直四棱柱中 底面 ABCD 是直角梯形 1111 DCBAABCD 2 1 AA A 是直角 AB CD AB 4 AD 2 DC 1 求异面直线 与 1 BC DC 所成角的余弦值 理科 如图 6 在棱长 的长方2 ADAB3 1 AA 体 中 点 E 是平面 BCC1B1上的点 点 F 是 CD 的中点 1 AC 1 试求平面 AB1F 的法向量 2 试确定 E 的位置 使 平面 ED1 FAB1 21 改编 如图 7 所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 P M N 分别为棱 DD1 AB BC 的中点 A B C D O P 图 4 A B C D D1 C1 B1 A1 图 5 A B C D F A1 B1C 1 D1 图 6 1 求二面角 MN B 的正切值 1 B 2 画出一个正方体的表面展开图 使其满足 有 4 个正方形相连成一个长方形 这一条件 并 求展开图中 P B 两点间的距离 设正方体的棱长为 1 22 一只小船以 10 m s 的速度由南向北匀速驶过湖面 在离湖面高 20 米的桥上 一辆汽车由西向 东以 20 m s 的速度前进 如图 8 现在小船在水平 P 点以南的 40 米处 汽车在桥上 Q 点以西 30 米处 其中 PQ 水面 求小船与汽车间的最短距离为 不考虑汽车与小船本身的大小 参考答案 1 选 A 画几何体的三视图要考虑视角 对于球无论选择怎样的视角 其三个视图均为全等的圆 2 选 C 圆柱的底面积为 S 则底面半径 底面圆的周长是 故侧面积 S r Sr 22 SrS 4 2 2 侧 A B C M D N P 1 A 1 C 1 B 1 D 图 7 图 8 P Q P A B C O 第 8 题图 H 3 选 D 通过画图 可以得到这个截面与正方体的六个面都相交 所以截面为六边形 4 选 C 正方体削成最大的球 即正方体棱长为球的直径 即 故12 R 2 1 R 62 1 3 4 3 球 V 5 如图所示 设侧棱与底面所成的角为 则 2 2 cos SC OC 所以 0 45 6 选 A 由底面边长为 2 可知底面半径为 2 由勾股定理可知侧棱长为 2 所以 24226 侧 S 7 选 D 命题 和可能平行 命题 中 和相交 l 8 选 C 如图所示 取 DF 的中点 O 易证为二面角的平面角 因为 P 点在底POA ADEP 面上的射影是底面的中心 故不可能为直角 所以平面 PDF 与平面 ABC 不垂直 POA 9 选 B 还原成平面图形为如图所示的直角梯形 且 21 AB 故 2 AD1 DC222 211 2 1 S 10 文科 如图所示 连结 则或其补角是异面直线 A1E 与 GF 所成的角 GB1FB1GFB1 由余弦定理 所以 5 10 522 352 2 11 22 1 2 1 1 FBGB GFFBGB GFB 5 10 arccos 理科 选 A B C A1 B1 C1 第 11 题 图 A B C D A1 B1 C1D1 E F G 第 10 题 文 图 P A B C H O D 第 10 题 理 图 AB CD 第 9 题 图 A B C D S 第 5 题图 O A 即正四面体的各顶点与中心连线所成的角 如图 设棱长为 1 则有 2 3 AD 3 3 AH 设 在中 由 3 6 22 AHPAPHrOPODOCOBOA OAHRt 得 故 222 AHOHOA 4 6 r 3 1 2 1 cos 2 22 r rr 11 设点 A 到平面的距离为 则由可得 BCA1h ABCABCAA VV 11 2 3 152 2 1 3 1 1 BCA ABC S AAS h 12 曲线在过 A 的三个面上都是以 A 为圆心 为半径的四分之一圆弧 所以曲线的总长度为 3 32 3 3 32 2 4 3 13 设 P 点到面 ABC 的距离为 由体积公式可得 故 h 3 2 6 1 2 3 1 aha ah 3 32 14 如图 构造长方体 其中侧面 AO BO A1O 所在的平面 即为已知的三个两两垂直的平面 则长方体的长 宽 高分别为 6 8 10 而 OP 的长即为长方体的体对角线的长 所以 OP2 36 64 100 200 故 210 OP 理科 设长方体的长 宽 高分别为 则cba 4 cabcab 对角线 222 cbal 2 2 222 2 222 222 cabcabcba 15 答案 BM PC 或 DM PC 底面四边形 ABCD 各边都相等 所以四边形 ABCD 是菱形 故 AC BD 又因为 PA 平面 ABCD 所以 PA BD 又 所以 BD 平面 PAC 即有PAACA PC BD 故要使平面 MBD 平面 PCD 只须 BM PC 或 DM PC 16 答案 的逆命题是 若四点中的任何三点都不共线 则这四点不共面 为假命题 反 例可以找正方形 没有三点共线 但四个顶点共面 的逆命题是 若两条直线是异面直线 那么这 两条直线没有公共点 由异面直线的定义知这个命题正确 17 解 因为 3 128 4 3 4 2 1 3 半球 V 64124 3 1 3 1 3 1 22 hrShV锥 锥半球 VV 故冰淇淋融化了 不会溢出杯子 18 如图 连结 AQ PQ QD PA QD PQ PA P QD 平面 PQA 于是 QD AQ 在线段 BC 上存在一点 Q 使得 QD AQ 等价于以 AD 为直径的圆与线段 BC 有交点 2 1 2 a a 1 1 O 第 14 题图 19 1 分别为 的中点 又平面 ACPC ODPAPA PAB 平面 PABOD面 OD PAB 2 又平面 取 ABBC OAOC OAOBOC OP ABCPAPBPC 中点 连结 则平面 作于 F 连结 则平面 BCPEBC POEOFPE DFOF PBC 是与平面所成的角 在中 所以与平面ODF ODPBCODFRt 210 sin 30 OF ODF OD OD 所成的角正弦值为 PBC 30 210 20 文科 由题意 AB CD C1BA 是异面直线 BC1与 DC 所成的角 连结 AC1与 AC 在 Rt ADC 中 可得 AC 又在 Rt ACC1中 可得 AC1 3 在梯形 ABCD 中 过 C 作 CH AD5 交 AB 于 H 得 CHB 90 CH 2 HB 3 CB 又在 Rt CBC1中 可得 BC1 在 1317 ABC1中 cos C1BA C1BA arccos 所以 17 173 17 173 异面直 线 BC1与 DC 所成角的余弦值大小为 17 173 理 如图 建立空间直角坐标系 A xyz 则 A 0 0 0 B1 2 0 3 F 1 2 0 3 0 2 1 AB 1 2 0 AF 1 设平面 AB1F 的一个法向量为 由 zyxn 得即 1 nAF nAB 0 0 1 nAF nAB 可取平面 AB1F 的一个法 02 032 yx zx 2 3 2 x y x z P A B C D Q 第 18 题图 P A B C D E F O 第 19 题图 A B C D F A1 B1C 1 D1 第 20 题理图 x y z A B C D D1 C1 B1 A1 H 第 20 题文图 向量为 4 3 6 n 2 D1 0 2 3 设 E 2 y z 则 由 1 知 平面 AB1F 的一个 3 2 2 1 zyED 法向量为 要使 D1E平面 AB1F 只须使 令 即 4 3 6 n nED 1 EDkn 1 当 E 点坐标为 2 1 时 3 4 2 3 26 kz ky k 3 5 1 3 z y k 3 5 D1E平面 AB1F 21 设棱长为 1 取 MN 的中点 E 连结 BE 正方 1E B 体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为棱 AB BC 的中点 BNBM MNBE MNBB 1 是二面角的平面BEBMN 1 平面 EBB1BMNB 1 角 且 BE 4 2 22 MEMB 22 4 2 1 tan 1 1 BE BB EBB 2 展开图如右图所示 P B 两点间的距离共计 4 种情 况 PB PB PB PB 2 13 2 89 2 29 2 17 求得其中一个即可 22 设经过时间 t 汽车在 A 点 船在 B 点 如图所示 则 AQ 30 20t BP 40 10t PQ 20 且有 AQ BP PQ AQ PQ PB 设小船所在平面为 AQ QP 确定平面为 记 l 由 AQ AQ 得 AQ l 又 AQ PQ 得 PQ l 又 PQ PB 及 l PB P 得 PQ 作 AC PQ 则 AC 连 CB 则 AC CB 进而 AQ BP CP AQ 得 CP BP AB2 AC2 BC2 PQ2 PB2 PC2 202 40 10t 2 30 20t 2 100 5 t 2 2 9 t 2 时 AB 最短 最短距离为 30 m A B C M D N P 1 A 1 C 1 B 1 D E A B D C 1 A 1 B 1 C 1 D C D 1 A B 1 D 1 B P P 第 21 题 1 第 21 题 2 A Q P B l C 备用题 1 正方体 ABCD A1